לשלוט בחזקות
כיתה ט משלימה באופן פורמלי את חוקי החזקות עם מעריך טבעי: כפל וחילוק חזקות באותו בסיס, חזקת חזקה וחזקת מכפלה. גררו את המעריכים במעבדה וראו איך הם מתחברים, מתכפלים ומתקצרים בזמן אמת.
למה חוקים לחזקות? חזקה היא קיצור לכפל חוזר: x³ = x·x·x. כשמכפילים x³·x⁴ פשוט סופרים כמה פעמים x מופיע בסך הכול - שבע פעמים, ולכן x⁷. במקום לכתוב שרשראות ארוכות, ארבעה חוקים קצרים עושים את כל העבודה.
האנטומיה של חזקה
לכל חזקה שני חלקים בלבד: הבסיס - המספר שכופלים בעצמו, והמעריך - כמה פעמים כופלים אותו. כשמזהים אותם, כל חוק הופך לברור: בכל חוק הבסיס נשאר, ורק המעריכים משתנים.
ארבעת חוקי החזקות
ארבעה חוקים שנותנים שליטה מלאה בכל ביטוי עם חזקות (מעריך טבעי בלבד - עדיין בלי מעריך אפס או שלילי). נסו כל חוק במחבר שלמעלה תוך כדי קריאה.
כפל חזקות באותו בסיס
כשמכפילים חזקות בעלות אותו בסיס, הבסיס נשאר והמעריכים מתחברים: am·an = am+n. למשל x³·x⁴ = x⁷.
חילוק חזקות באותו בסיס
כשמחלקים חזקות בעלות אותו בסיס, הבסיס נשאר והמעריכים מחוסרים: am / an = am−n (כאשר m > n). למשל x⁵ / x² = x³.
חזקת חזקה
כשמעלים חזקה בחזקה נוספת, הבסיס נשאר והמעריכים מוכפלים: (am)n = am·n. למשל (x²)³ = x⁶.
חזקת מכפלה
חזקה של מכפלה מתחלקת בין הגורמים - כל גורם מקבל את החזקה: (a·b)n = an·bn. למשל (2x)³ = 8x³.
אותו בסיס - תנאי לחוקי הכפל והחילוק
חוקי הכפל והחילוק פועלים רק כשהבסיס זהה. את x³·x⁴ אפשר לאחד ל-x⁷, אבל את x³·y⁴ אי אפשר - הבסיסים שונים.
חזקה כקיצור לכפל חוזר
כל החוקים נובעים מהגדרה אחת: an הוא a כפול עצמו n פעמים. אם שוכחים חוק, פשוט פורשים את החזקה וסופרים את הגורמים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב: תמיד מזהים קודם איזה חוק פועל, ורק אז מטפלים במעריכים.
- מזהים את החוק: אותו בסיס x בכפל, ולכן חוק כפל חזקות: המעריכים מתחברים.
- מחברים מעריכים: 3 + 4 = 7.
- בדיקה בפרישה: (x·x·x)·(x·x·x·x) הם שבעה גורמי x.
- התוצאה היא x⁷.
- מזהים את החוק: חזקה המועלית בחזקה - חוק חזקת חזקה: המעריכים מוכפלים.
- מכפילים מעריכים: 2 · 3 = 6.
- בדיקה בפרישה: x²·x²·x² = x2+2+2 = x⁶.
- התוצאה היא x⁶.
- מזהים את החוק: חזקה של מכפלה - כל גורם מקבל את החזקה: (2x)³ = 2³·x³.
- מחשבים את החלק המספרי: 2³ = 2·2·2 = 8.
- מאחדים: 8·x³.
- התוצאה היא 8x³.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לשלושה שלבים (בסיס, ביניים, אתגר) ולסט מעורב. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את מחשבון החזקות של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1כפל: am·an = am+n - מחברים מעריכים.
- 2חילוק: am / an = am−n (m > n) - מחסרים מעריכים.
- 3חזקת חזקה: (am)n = am·n - מכפילים מעריכים.
- 4חזקת מכפלה: (a·b)n = an·bn - מחלקים לכל גורם.
- 5תנאי: חוקי הכפל והחילוק פועלים רק כשהבסיס זהה.
