תרגול תכונות של פונקציה
כל מה שלמדנו על קריאת גרף פונקציה - שש התכונות ומה כל אחת אומרת: חיתוך עם ציר x (האפסים, שם f(x) = 0), חיתוך עם ציר y (מציבים x = 0), תחום חיוביות (f > 0) ותחום שליליות (f < 0), נקודת קיצון (מקסימום או מינימום, תמיד כזוג סדור) ותחומי עלייה וירידה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקריאה ישירה ועד איתור טעות וטענות ברמת מבחן.
בכל שורה בחרו את התכונה הנכונה - חיתוך עם ציר, תחום שליליות, נקודת קיצון, תחום ירידה או כיוון פתיחה. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". אפסים: פותרים f(x) = 0 · חיתוך עם y: מציבים x = 0 · קיצון: אמצע האפסים · שליליות: בין האפסים (פרבולה כלפי מעלה)
גרף אחד = כל התכונות. אותו גרף עונה בבת אחת על שאלות רבות: היכן הוא חותך את הצירים, מתי הוא חיובי ומתי שלילי, היכן הנקודה הגבוהה או הנמוכה ביותר, ואיפה הוא עולה ואיפה יורד. בדף הזה נחזור במהירות על שש התכונות. נקפיד להבחין בין תכונות שנראות דומות, כמו "היכן עולה" לעומת "היכן חיובי".
האנטומיה של גרף הפונקציה - תזכורת
לכל גרף פונקציה יש אותן תכונות שאפשר לקרוא ממנו - חיתוכים עם הצירים, תחום חיובי ותחום שלילי, נקודת קיצון ותחומי עלייה וירידה. כשמזהים אותן, קוראים את הגרף במבט אחד. התחילו תמיד מהאפסים: הם קובעים את החיתוכים, את הסימן, ואת ציר הקיצון.
שש כרטיסיות תזכורת
שש התכונות של הפרק מכיתה ט, בקצרה, בדיוק כפי שהן מופיעות בדף הלימוד: חיתוכים עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות, קיצון, עלייה וירידה, שתי ההזזות והשיקוף ביחס לציר ה-x.
חיתוך עם הצירים
עם ציר x: שם y = 0, ולכן פותרים f(x) = 0 (האפסים). עם ציר y: מציבים x = 0. ל-f = (x - 2)(x + 3): (2, 0), (-3, 0) ו-(0, -6).
תחומי חיוביות ושליליות
היכן הגרף מעל ציר x והיכן מתחתיו. בפרבולה שנפתחת כלפי מעלה: שלילית בין האפסים, חיובית מחוצה להם. ל-f = (x - 2)(x + 3) השליליות היא -3 < x < 2.
נקודת קיצון
הנקודה הגבוהה (מקסימום) או הנמוכה (מינימום) ביותר, ותמיד רושמים אותה כזוג סדור. עבור y = (x - 2)² + 5 נקודת המינימום היא (2, 5).
תחומי עלייה וירידה
תחום שבו הגרף עולה או יורד. עבור y = (x - 2)² + 5 הפונקציה יורדת ל-x < 2 ועולה ל-x > 2.
הזזה אנכית והזזה אופקית
מספר מחוץ לביטוי מזיז אנכית: f(x) + k מעלה כש-k > 0. שינוי בתוך הביטוי מזיז אופקית, והסימן הפוך ממה שנראה: f(x - p) מזיז ימינה ב-p.
שיקוף ביחס לציר ה-x
-f(x) היא תמונת הראי מעבר לציר x. החיתוכים עם ציר x נשארים, תחומי החיוביות והשליליות מתחלפים, ומינימום הופך למקסימום.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בדיוק כפי שקוראים תכונות בבחינה. שימו לב לשיטה שחוזרת על עצמה: מתחילים מהאפסים, וקוראים מהם את הסימן ואת ציר הקיצון. זו בדיוק השיטה שתעבוד בתרגול.
- חיתוכים עם ציר x: מציבים f(x) = 0, כלומר (x - 2)(x + 3) = 0, ומקבלים (2, 0) ו-(-3, 0).
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0: (0 - 2)(0 + 3) = -6, כלומר (0, -6).
- תחום שליליות: הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן f(x) < 0 בין האפסים: -3 < x < 2.
- חיתוכים (2, 0), (-3, 0), (0, -6), ושליליות בתחום -3 < x < 2.
- מזהים את הצורה: ייצוג קדקודי y = (x - p)² + k עם p = 2 ו-k = 5.
- נקודת קיצון: המקדם חיובי, ולכן זו נקודת מינימום, והיא הזוג הסדור (2, 5).
- עלייה וירידה: משמאל לקדקוד הפונקציה יורדת, ומימין לו היא עולה: יורדת ל-x < 2, עולה ל-x > 2.
- מינימום ב-(2, 5); יורדת ל-x < 2 ועולה ל-x > 2.
- חיתוכים עם ציר x: (x + 1)(x - 5) = 0 נותן (-1, 0) ו-(5, 0).
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0: (0 + 1)(0 - 5) = -5, כלומר (0, -5).
- קיצון: שיעור ה-x של הקדקוד הוא אמצע האפסים, -1 + 52 = 2, ובהצבה (2 + 1)(2 - 5) = -9. מינימום ב-(2, -9).
- חיובית מחוץ לתחום -1 < x < 5 ושלילית בתוכו; מינימום ב-(2, -9).
תרגול מדורג - תכונות של פונקציה
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: קריאת תכונה בודדת (חיתוך עם ציר, שליליות, קיצון); כמה תכונות יחד על אותה פונקציה; קישור ביטוי לגרף וסימטריה; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן - כולל ההבחנה החשובה בין "היכן עולה" ל"היכן חיובי". בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - בלשונית "ניתוח פונקציה" הוא מנתח את (x - x₁)(x - x₂) עבורכם. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1חיתוך עם ציר x: פותרים f(x) = 0 (האפסים).
- 2חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים (0, f(0)).
- 3חיוביות ושליליות: היכן הגרף מעל ציר x ומתחתיו. לפרבולה חיובית, שליליות היא בין האפסים.
- 4קיצון: מקסימום או מינימום, תמיד זוג סדור, למשל (2, 5).
- 5עלייה וירידה: יורדת עד הקיצון, ואז עולה (או להפך במקסימום) - וזו תכונה שונה מ"חיובי".
| התכונה | איך קוראים אותה | דוגמה |
|---|---|---|
| חיתוך עם ציר x | פותרים f(x) = 0 (האפסים) | (x - 2)(x + 3) → 2, -3 |
| חיתוך עם ציר y | מציבים x = 0 | (x - 2)(x + 3) → (0, -6) |
| שליליות | בין האפסים (פרבולה כלפי מעלה) | (x - 2)(x + 3) → -3 < x < 2 |
| חיוביות | מחוץ לאפסים (פרבולה כלפי מעלה) | (x - 4)(x - 6) → x < 4 או x > 6 |
| קיצון | אמצע האפסים, ואז מציבים | (x + 1)(x - 5) → (2, -9) |
| עלייה וירידה | יורדת עד הקיצון, ואז עולה | (x - 2)² + 5 → יורדת x < 2 |
