לקרוא כל פונקציה
חיתוכים עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות, נקודת קיצון ותחומי עלייה וירידה - ואחר כך מה קורה לכל אלה כשמזיזים את הגרף אנכית או אופקית, וכשמשקפים אותו ביחס לציר ה-x. גררו את השורשים במעבדה, וראו איך כל תכונה נקראת ישירות מהגרף ומהביטוי האלגברי.
מה גרף מספר לנו? גרף אחד עונה על שאלות רבות בבת אחת: היכן הפונקציה חותכת את הצירים, מתי היא חיובית ומתי שלילית, היכן הנקודה הגבוהה או הנמוכה ביותר, ואיפה היא עולה ואיפה יורדת. כאן נלמד לקרוא את כל התכונות האלה, ולקשר כל אחת מהן לביטוי האלגברי שמאחוריה.
האנטומיה של גרף הפונקציה
לכל גרף פונקציה יש אותן תכונות שאפשר לקרוא ממנו: חיתוכים עם הצירים, תחום חיובי ותחום שלילי, נקודת קיצון ותחומי עלייה וירידה. כשמזהים אותן, קוראים את הגרף במבט אחד.
מה מרכיב את תיאור הפונקציה
שש תכונות לפי חמשת סעיפי הפרק בפריסה הארצית לתשפ"ז: חיתוכים עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות, קיצון, עלייה וירידה, שתי ההזזות, והשיקוף ביחס לציר ה-x. נסו לשנות את השורשים במעבדה שלמעלה, וצפו איך כל תכונה מגיבה.
חיתוך עם הצירים
עם ציר x: שם y = 0, ולכן פותרים f(x) = 0 (אלה האפסים). עם ציר y: שם x = 0, ולכן מציבים x = 0. עבור f = (x - 2)(x + 3): (2, 0), (-3, 0) ו-(0, -6).
תחומי חיוביות ושליליות
היכן הגרף מעל ציר x (f(x) > 0) והיכן מתחתיו (f(x) < 0). עבור פרבולה שנפתחת כלפי מעלה: שלילית בין האפסים וחיובית מחוצה להם. ל-f = (x - 2)(x + 3) השליליות היא -3 < x < 2.
נקודת קיצון
הנקודה הגבוהה (מקסימום) או הנמוכה (מינימום) ביותר, ותמיד רושמים אותה כזוג סדור. עבור y = (x - 2)² + 5 נקודת המינימום היא (2, 5).
תחומי עלייה וירידה
תחום שבו הגרף עולה (y גדל עם x) או יורד. עבור y = (x - 2)² + 5 הפונקציה יורדת ל-x < 2 ועולה ל-x > 2.
הזזה אנכית והזזה אופקית
הוספת מספר מחוץ לביטוי מזיזה אנכית: f(x) + k מעלה כש-k > 0 ומטה כש-k < 0. שינוי בתוך הביטוי מזיז אופקית, ושימו לב לסימן: f(x - p) מזיז ימינה ב-p, ולא שמאלה. אחרי הזזה כל התכונות נוסעות יחד עם הגרף.
שיקוף ביחס לציר ה-x
הפונקציה -f(x) היא תמונת הראי של f(x) מעבר לציר x: כל ערך מחליף סימן. החיתוכים עם ציר x נשארים במקומם, אבל תחום החיוביות והשליליות מתחלפים, ומינימום הופך למקסימום. למשל y = x² הופכת ל-y = -x².
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בדיוק כפי שקוראים תכונות בבחינה. שימו לב לשיטה, היא חוזרת על עצמה.
- חיתוכים עם ציר x: מציבים f(x) = 0, כלומר (x - 2)(x + 3) = 0, ומקבלים (2, 0) ו-(-3, 0).
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0: (0 - 2)(0 + 3) = -6, כלומר (0, -6).
- תחום שליליות: הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן f(x) < 0 בין האפסים: -3 < x < 2.
- חיתוכים (2, 0), (-3, 0), (0, -6), ושליליות בתחום -3 < x < 2.
- מזהים את הצורה: ייצוג קדקודי y = (x - p)² + k עם p = 2 ו-k = 5.
- נקודת קיצון: המקדם חיובי, ולכן זו נקודת מינימום, והיא הזוג הסדור (2, 5).
- עלייה וירידה: משמאל לקדקוד הפונקציה יורדת, ומימין לו היא עולה: יורדת ל-x < 2, עולה ל-x > 2.
- מינימום ב-(2, 5); יורדת ל-x < 2 ועולה ל-x > 2.
- נקודת המוצא: קדקוד (2, 5), מינימום, יורדת ל-x < 2 ועולה ל-x > 2.
- הזזה אופקית של 3 ימינה: מחליפים x ב-x - 3 ומקבלים y = (x - 5)² + 5. הקדקוד עובר ל-(5, 5), וכעת יורדת ל-x < 5 ועולה ל-x > 5.
- שיקוף ביחס לציר x: מכפילים את כל הביטוי ב--1: y = -(x - 5)² - 5. הקדקוד (5, -5).
- אחרי השיקוף המינימום הפך למקסימום, והפונקציה עולה ל-x < 5 ויורדת ל-x > 5 - בדיוק ההפך.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לשלושה שלבים: בסיס, ביניים ואתגר. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים לעוד תרגול. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1חיתוך עם ציר x: פותרים f(x) = 0 (האפסים).
- 2חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים (0, f(0)).
- 3חיוביות ושליליות: היכן הגרף מעל ציר x ומתחתיו. לפרבולה חיובית, שליליות היא בין האפסים.
- 4קיצון: תמיד זוג סדור, למשל (2, 5).
- 5הזזות: f(x) + k מזיז אנכית; f(x - p) מזיז ימינה ב-p.
- 6שיקוף ביחס לציר x: -f(x) - האפסים נשארים, הסימן מתהפך, ומינימום הופך למקסימום.
