תרגול חיתוך בין גרפים
כל מה שלמדנו על נקודת חיתוך - נקודה שנמצאת על שני הגרפים בו-זמנית, ולכן שם ערכי ה-y שווים - עכשיו לתרגול. השיטה קבועה: משווים את שני הביטויים ל-y, מסדרים למשוואה ריבועית ופותרים, ומציבים כל שורש חזרה כדי למצוא את שיעור ה-y. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפתרון בודד ועד משיק, ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה בשיטה של הדף: משווים את שני הביטויים ל-y, פותרים את המשוואה שמתקבלת, ומציבים חזרה כדי למצוא את הנקודה. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". חיתוך = פתרון משותף: אותו x נותן אותו y בשני הגרפים
איפה שני הגרפים נפגשים? נקודת חיתוך היא פתרון משותף: אותו x נותן אותו y בשני הגרפים. לכן הצעד הראשון תמיד זהה - משווים את שני הביטויים ל-y, למשל x² = x + 2, ומקבלים משוואה ריבועית לפתור. אחר כך מציבים כל שורש חזרה כדי למצוא את שיעור ה-y ואת הנקודה המלאה. בדף הזה נחזור במהירות על השיטה.
האנטומיה של נקודת חיתוך - תזכורת
נקודת חיתוך שייכת לשני הגרפים, ולכן שיעורי ה-x וה-y שלה מקיימים את שתי המשוואות יחד. מכאן המפה הקבועה: משווים ביטויים, פותרים ל-x, ומציבים חזרה כדי למצוא את y.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום חיתוך בין גרפים של כיתה ט, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהי נקודת חיתוך, השוואת הביטויים, המשוואה הריבועית, שיעורי הנקודות, מספר החיתוכים, וחיתוך שתי פרבולות.
מהי נקודת חיתוך
נקודה שנמצאת על שני הגרפים באותו זמן. שיעוריה מקיימים גם את משוואת הפרבולה וגם את משוואת הישר, ולכן שם ערכי ה-y שווים.
השוואת הביטויים
בנקודת חיתוך ערכי ה-y שווים, ולכן משווים את שני הביטויים: x² + bx + c = mx + k. זהו הצעד הראשון תמיד.
המשוואה הריבועית
מעבירים הכול לאגף אחד ומקבלים משוואה ריבועית מהצורה ax² + bx + c = 0. פותרים אותה בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים.
שיעורי הנקודות
כל שורש הוא שיעור x של נקודת חיתוך. מציבים אותו באחת המשוואות (הנוחה יותר) ומקבלים את שיעור ה-y - וכך את הנקודה המלאה.
כמה נקודות חיתוך
מספר השורשים הממשיים קובע: שני שורשים - שתי נקודות, שורש כפול - נקודה אחת (הישר משיק), ואין שורש ממשי - אין חיתוך.
חיתוך שתי פרבולות
אותה שיטה בדיוק גם עבור שתי פרבולות: משווים x² + … = x² + …, לרוב איברי ה-x² מצטמצמים, ונשארת משוואה נוחה לפתרון.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה החוזרת: משווים ביטויים, פותרים את המשוואה הריבועית, ומציבים חזרה כדי למצוא את הנקודות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- משווים ביטויים: בנקודת החיתוך ערכי ה-y שווים, ולכן x² = x + 2.
- מסדרים למשוואה ריבועית: מעבירים אגף ומקבלים x² - x - 2 = 0.
- פותרים בפירוק לגורמים: (x - 2)(x + 1) = 0, ולכן x = 2 או x = -1.
- מציבים חזרה: ב-y = x + 2: עבור x = 2 מקבלים y = 4, ועבור x = -1 מקבלים y = 1.
- נקודות החיתוך הן (2, 4) ו-(-1, 1).
- משווים ביטויים: x² = 4.
- פותרים: מוציאים שורש לשני האגפים ומקבלים x = 2 או x = -2.
- מציבים חזרה: בישר y = 4, ולכן בשתי הנקודות שיעור ה-y הוא 4.
- נקודות החיתוך הן (2, 4) ו-(-2, 4).
- משווים ביטויים: x² + 1 = 2x² - 3.
- מסדרים: מעבירים אגף ומקבלים x² = 4.
- פותרים: x = 2 או x = -2.
- מציבים חזרה: ב-y = x² + 1: y = 4 + 1 = 5 (זהה גם עבור x = -2).
- נקודות החיתוך הן (2, 5) ו-(-2, 5).
תרגול מדורג - חיתוך בין גרפים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: השוואה בסיסית, ציר ה-x וישר אופקי; פתרון מלא, סכומים ופרבולה-פרבולה; מספר נקודות, משיק ופרבולה-פרבולה; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל שורש יוצא שלם או פשוט, וכל תשובה אומתה בהצבה חזרה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "חיתוך גרפים". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הרעיון: נקודת חיתוך נמצאת על שני הגרפים, ולכן שם y אחד שווה ל-y השני.
- 2השוואה: משווים את הביטויים, למשל x² = x + 2.
- 3ריבועית: מסדרים ל-ax² + bx + c = 0 ופותרים בפירוק לגורמים.
- 4הצבה חזרה: כל שורש הוא שיעור x, ומציבים כדי למצוא את y.
- 5מספר החיתוכים: מספר השורשים הממשיים קובע: שתיים, אחת (משיק), או אפס.
| הגרפים | משווים ופותרים | נקודות החיתוך |
|---|---|---|
| y = x², y = x + 2 | x² - x - 2 = 0 | (2, 4), (-1, 1) |
| y = x², y = 4 | x² = 4 | (2, 4), (-2, 4) |
| y = x² + 1, y = 2x² - 3 | x² = 4 | (2, 5), (-2, 5) |
| y = x², y = 4x - 4 | (x - 2)² = 0 | (2, 4) · משיק |
| y = x², y = -1 | x² = -1 | אין חיתוך |
