הסוד של המשולש שווה-השוקיים
שתי צלעות שוות מולידות שרשרת שלמה של תכונות: זוויות בסיס שוות, וקו אחד מהקדקוד שהוא בבת אחת תיכון, גובה וחוצה-זווית. גררו את זווית הראש וראו איך הכול נשמר, ואז הוכיחו זאת בעצמכם.
למה שווה-שוקיים? גג של בית, מפרש של סירה, שלט אזהרה משולש - כולם נשענים על אותה סימטריה: שתי צלעות שוות. השוויון הזה אינו רק יפה לעין, הוא מקור לכל התכונות שנוכיח כאן, צעד אחר צעד.
האנטומיה של משולש שווה-שוקיים
לכל משולש שווה-שוקיים יש אותם חלקים בדיוק: שתי שוקיים שוות, בסיס, קדקוד ראש, וזוויות בסיס שוות. כשמזהים אותם, קל לקרוא כל שאלה ולבנות הוכחה.
מה מרכיב את המשולש
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במשולש שווה-שוקיים ובמשולש שווה-צלעות, כפי שלומדים אותם בכיתה ט. נסו לשנות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה.
שוקיים, בסיס וקדקוד ראש
במשולש שווה-שוקיים שתי הצלעות השוות נקראות שוקיים, הצלע השלישית היא הבסיס, והזווית שבין השוקיים היא זווית הראש. מולה נמצא הבסיס.
זוויות הבסיס שוות
המשפט המרכזי: מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות. לכן שתי זוויות הבסיס תמיד שוות זו לזו, למשל 70° ו-70°.
סכום הזוויות 180°
בכל משולש סכום הזוויות הוא 180°. אם ידועה זווית אחת בשווה-שוקיים, אפשר לחשב את השתיים הנותרות: ראש + 2·בסיס = 180°.
הקו מהקדקוד מתלכד
הקו מקדקוד הראש אל הבסיס הוא בבת אחת תיכון, גובה ו-חוצה-זווית. שלושתם נופלים על אותו ישר בדיוק.
המשפט ההפוך
אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו, אז מול הזוויות השוות מונחות צלעות שוות - כלומר המשולש שווה-שוקיים. זה כלי מרכזי בהוכחות.
המשולש שווה-הצלעות
כשכל שלוש הצלעות שוות, כל שלוש הזוויות שוות, וכל אחת מהן 60° (כי 180° : 3 = 60°). זהו מקרה פרטי של שווה-שוקיים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בדיוק כמו שפותרים בבחינה. שימו לב לשיטה: מזהים את סוג המשולש, כותבים את מה שידוע, ומצדיקים כל מעבר בנימוק.
- נתון: משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו 40°.
- נימוק: סכום הזוויות במשולש הוא 180°, ולכן שתי זוויות הבסיס יחד הן 180° - 40° = 140°.
- שוויון זוויות הבסיס: מול השוקיים השוות זוויות שוות, לכן כל אחת היא 140° : 2 = 70°.
- זוויות הבסיס הן 70° ו-70°.
- נתון: משולש שווה-שוקיים שזווית בסיס אחת שלו 55°.
- זווית הבסיס השנייה: זוויות הבסיס שוות, לכן גם היא 55°.
- זווית הראש: משלימים ל-180°: 180° - 55° - 55° = 70°.
- זווית הראש היא 70°.
- נתון: משולש שכל שלוש צלעותיו שוות זו לזו.
- נימוק: מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות, ולכן כל שלוש הזוויות שוות זו לזו.
- חישוב: סכום הזוויות 180°, ומכיוון שהן שוות, כל אחת היא 180° : 3 = 60°.
- כל זווית במשולש שווה-צלעות היא 60°.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לשלבי הקושי: בסיס, ביניים ואתגר. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים לעוד תרגול. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1שוקיים ובסיס: שתי צלעות שוות (שוקיים) והצלע שמולן היא הבסיס.
- 2זוויות הבסיס שוות: מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות.
- 3הקו מהקדקוד מתלכד: תיכון = גובה = חוצה-זווית אל הבסיס.
- 4המשפט ההפוך: שתי זוויות שוות ← מולן צלעות שוות (שווה-שוקיים).
- 5שווה-צלעות: כל הצלעות שוות, וכל זווית 60°.
