נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ט׳ חטיבת הביניים
גאומטריה · הדלתון · תרגול מדורג

תרגול הדלתון

כל מה שלמדנו על הדלתון - שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, האלכסון הראשי שניצב למשני וחוצה אותו, חציית זוויות הראש, ציר הסימטריה, וזוויות הבסיס השוות זו לזו. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי תכונה בודדת ועד ניתוח, נימוק ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו: הראשי חוצה את המשני (ולא בהכרח להפך), והזווית בין האלכסונים היא תמיד 90°.

מעבדת הדלתון - בחרו את התכונה בחרו בכל שורה את הערך או המסקנה הנכונים לפי תכונות הדלתון - השורה הראשונה פתורה כדוגמה

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה לפי תכונות הדלתון: האלכסון הראשי ניצב למשני; הראשי חוצה את המשני; הראשי הוא ציר הסימטריה וחוצה את זוויות הראש; זוויות הבסיס שוות זו לזו. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". ניצב 90° · חוצה את המשני · חוצה את זוויות הראש

מי חוצה את מי? זו הנקודה שהכי קל להתבלבל בה. האלכסון הראשי (בין קדקודי הראש) חוצה את האלכסון המשני - נקודת החיתוך M היא אמצע המשני, ולכן BM = MD. אבל את הראשי הוא לא בהכרח חוצה (זה קורה רק במעוין). בנוסף הראשי ניצב למשני (90°), חוצה את זוויות הראש, והוא ציר הסימטריה של הצורה. עוד מלכודת: זוויות הבסיס שוות זו לזו (∠B = ∠D), אך זוויות הראש אינן שוות בהכרח. בדף הזה נזכיר את הכללים במהירות.

מבט מקרוב

האנטומיה של הדלתון - תזכורת

לדלתון ABCD שני קדקודי ראש (A ו-C, בין הצלעות השוות) ושני קדקודי בסיס. האלכסון הראשי AC מחבר את קדקודי הראש, המשני BD מחבר את קדקודי הבסיס, והם נחתכים בנקודה M בזווית ישרה. בכל שאלה: קודם מזהים איזו תכונה נתונה, ואז מיישמים אותה.

קדקודי הראש, שני האלכסונים, ונקודת החיתוך הניצבת
A B C D M האלכסון הראשי = ציר הסימטריה האלכסון המשני קדקוד ראש קדקוד בסיס האלכסונים ניצבים · 90°
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שש התכונות שנותנות שליטה מלאה בכל דלתון ובכל הוכחה - בדיוק כפי שהן מופיעות בדף הלימוד.

1

הגדרת הדלתון

דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. אם ABCD דלתון עם AB = AD ו-CB = CD, אז A ו-C הם קדקודי הראש.

2

שני האלכסונים

האלכסון הראשי מחבר את קדקודי הראש (AC), והאלכסון המשני מחבר את קדקודי הבסיס (BD). לכל אלכסון תפקיד שונה לגמרי.

3

ניצבות האלכסונים

האלכסון הראשי ניצב למשני. הזווית ביניהם היא תמיד 90°, ולכן ארבעת המשולשים שנוצרים ב-M הם ישרי-זווית.

4

חציית האלכסון המשני

הראשי חוצה את המשני: נקודת החיתוך M היא אמצע המשני, כלומר BM = MD. שימו לב - את הראשי הוא לא בהכרח חוצה (רק במעוין).

5

חציית זוויות הראש

הראשי חוצה את זוויות הראש: הוא מחלק את הזווית ב-A ואת הזווית ב-C לשני חלקים שווים, ולכן ∠BAC = ∠DAC.

6

ציר סימטריה וזוויות בסיס

הראשי הוא ציר הסימטריה של הדלתון. מהחפיפה △ABC ≅ △ADC נובע שזוויות הבסיס שוות: ∠B = ∠D. זוויות הראש אינן שוות בהכרח.

האלכסון הראשי
הראשי חוצה את המשני, ניצב לו, וחוצה את זוויות הראש
90°
זווית האלכסונים
זווית האלכסונים היא תמיד 90°
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות: ההוכחה המרכזית שהראשי ניצב למשני, חישוב זווית בעזרת הניצבות, וחישוב שטח משולש בעזרת חציית המשני. שימו לב לנימוק בכל שלב - הוא הלב של הגיאומטריה הדדוקטיבית. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1הוכיחו: האלכסון הראשי בדלתון ניצב למשני
  1. נתון: בדלתון ABCD מתקיים AB = AD ו-CB = CD. הראשי AC חותך את המשני BD בנקודה M.
  2. חפיפת המשולשים: ב-△ABC ו-△ADC: AB = AD (נתון), CB = CD (נתון), AC משותפת, ולכן △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ).
  3. חציית זווית הראש: מהחפיפה ∠BAC = ∠DAC, כלומר AM חוצה את זווית הראש A.
  4. משולש שווה-שוקיים: ב-△ABD מתקיים AB = AD, ולכן חוצה זווית הראש AM הוא גם הגובה לבסיס BD.
  5. מכאן AM ⊥ BD, כלומר AC ⊥ BD: הראשי ניצב למשני, והזווית ביניהם היא 90°.
דוגמה 2בדלתון ABCD האלכסונים נחתכים ב-M ונתון ∠MBC = 35°. מצאו את ∠BCM
  1. מזהים את הניצבות: הראשי ניצב למשני, ולכן ∠BMC = 90°.
  2. סכום זוויות המשולש: ב-△BMC הסכום 180°, ולכן ∠BCM = 180° - 90° - 35°.
  3. חישוב: ∠BCM = 180° - 125° = 55°.
  4. הזווית ∠BCM = 55°.
דוגמה 3בדלתון ABCD הראשי AC חוצה את BD ב-M וניצב לו, ונתון BD = 12, AM = 8. מצאו את שטח המשולש ABD
  1. חציית המשני: הראשי חוצה את המשני, ולכן BM = MD = 12 : 2 = 6.
  2. ניצבות: AM ⊥ BD, ולכן AM = 8 הוא הגובה במשולש ABD אל הבסיס BD.
  3. שטח: S = (BD · AM) : 2 = (12 · 8) : 2.
  4. שטח המשולש ABD הוא 48 יחידות ריבועיות.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - הדלתון

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זיהוי תכונות וחישוב בודד; חצייה, חציית זווית וחפיפה; פיתגורס במשולשי הניצבות, סכום זוויות המרובע ונימוק; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. חלק מהשאלות דורשות חישוב מספרי וחלקן שאלות בחירה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "אלכסוני הדלתון". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הגדרה: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.
  • 2ניצבות: הראשי ניצב למשני - הזווית ביניהם 90°.
  • 3חצייה: הראשי חוצה את המשני (אך לא בהכרח להפך).
  • 4זוויות: הראשי חוצה את זוויות הראש; זוויות הבסיס שוות (∠B = ∠D).
  • 5סימטריה: האלכסון הראשי הוא ציר הסימטריה של הדלתון.
תכונות הדלתון במבט אחד
מרכיבהתכונהדוגמה
הגדרהשני זוגות צלעות סמוכות שוותAB = AD, CB = CD
האלכסון הראשיניצב למשני וחוצה אותו∠(AC, BD) = 90°, BM = MD
זוויות הראשהראשי חוצה אותן∠BAC = ∠DAC
זוויות הבסיסשוות זו לזו∠B = ∠D
מפתח פתרונות (תרגול)

    הדלתון. האלכסון הראשי הוא ציר סימטרייה, וזו התכונה שפותרת רוב השאלות.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי