הדלתון: תכונות והוכחות
שני זוגות של צלעות סמוכות שוות בונים מרובע מיוחד - הדלתון. האלכסון הראשי שלו הוא ציר סימטריה: הוא ניצב לאלכסון המשני, חוצה אותו, וחוצה את זוויות הראש. גררו את הדלתון, וראו את התכונות מתקיימות בזמן אמת.
למה דלתון? העפיפון שממריא ברוח הוא בדיוק דלתון: שני מוטות שווים למעלה ושני מוטות שווים למטה, נפגשים בקדקודי הראש. המוט האנכי הארוך - האלכסון הראשי - הוא ציר הסימטריה של הצורה, והוא תמיד ניצב למוט השני. מאחורי העפיפון מסתתר מרובע עם תכונות מדויקות שנוכיח כאן צעד אחר צעד.
האנטומיה של דלתון
לכל דלתון יש שני קדקודי ראש (בין הצלעות השוות זו לזו) ושני קדקודי בסיס. האלכסון הראשי מחבר את קדקודי הראש, והאלכסון המשני מחבר את קדקודי הבסיס. כשמזהים את החלקים, כל תכונה של הדלתון נעשית ברורה.
מה מרכיב דלתון
שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בכל דלתון ובכל הוכחה. נסו לגרור את הדלתון במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וראו כל תכונה מתקיימת.
הגדרת הדלתון
דלתון הוא מרובע שבו יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. אם ABCD דלתון עם AB = AD ו-CB = CD, אז A ו-C הם קדקודי הראש.
שני האלכסונים
האלכסון הראשי מחבר בין קדקודי הראש (AC), והאלכסון המשני מחבר בין קדקודי הבסיס (BD). לדלתון שני אלכסונים בעלי תפקידים שונים לגמרי.
ניצבות האלכסונים
האלכסון הראשי ניצב לאלכסון המשני. הזווית שנוצרת ביניהם היא תמיד 90°. זו התכונה שנוכיח בדוגמה המרכזית של הפרק.
חציית האלכסון המשני
האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני: נקודת החיתוך M היא אמצע האלכסון המשני, כלומר BM = MD. שימו לב - את הראשי הוא לא בהכרח חוצה.
חציית זוויות הראש
האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש: הוא מחלק את הזווית ב-A ואת הזווית ב-C לשני חלקים שווים. לכן ∠BAC = ∠DAC.
ציר הסימטריה
האלכסון הראשי הוא ציר הסימטריה של הדלתון: קיפול לאורכו מביא כל צלע וזווית להתלכד עם בת זוגה. מכאן נובעות כל התכונות האחרות של הדלתון.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד. הראשונה היא ההוכחה המרכזית של הפרק - האלכסון הראשי ניצב למשני. שימו לב לשיטת ההוכחה: חופפים משולשים ומסיקים.
- נתון: בדלתון ABCD מתקיים AB = AD ו-CB = CD. האלכסון הראשי AC חותך את המשני BD בנקודה M.
- חפיפת המשולשים: במשולשים ABC ו-ADC: AB = AD (נתון), CB = CD (נתון), והצלע AC משותפת. לכן △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ).
- מסקנה על זוויות הראש: מהחפיפה ∠BAC = ∠DAC, כלומר AM חוצה את זווית הראש A.
- משולש שווה־שוקיים: במשולש ABD מתקיים AB = AD, ולכן הוא שווה־שוקיים. הקטע AM הוא חוצה זווית הראש שלו, ולכן הוא גם התיכון וגם הגובה לבסיס BD.
- מכאן AM ⊥ BD, כלומר AC ⊥ BD: האלכסון הראשי ניצב למשני, והזווית ביניהם היא 90°.
- מזהים את הניצבות: האלכסון הראשי ניצב למשני, ולכן ∠BMC = 90°.
- משולש BMC: סכום הזוויות במשולש הוא 180°, ולכן ∠BCM = 180° - 90° - 35°.
- חישוב: ∠BCM = 180° - 125° = 55°.
- הזווית ∠BCM = 55°.
- חציית האלכסון המשני: האלכסון הראשי חוצה את המשני, ולכן BM = MD = 122 = 6.
- ניצבות: AM ⊥ BD, ולכן AM = 8 הוא הגובה במשולש ABD אל הבסיס BD.
- שטח: S = BD · AM2 = 12 · 82.
- שטח המשולש הוא 48 יחידות ריבועיות.
תרגול אינטראקטיבי
כל התרגילים כאן מבוססים על תכונות הדלתון, מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה, שבו גם פותר יחסי־האלכסונים בדלתון.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הגדרה: דלתון = שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.
- 2ניצבות: האלכסון הראשי ניצב למשני - הזווית ביניהם 90°.
- 3חצייה: הראשי חוצה את האלכסון המשני (אך לא בהכרח להפך).
- 4חציית זוויות: הראשי חוצה את זוויות הראש.
- 5סימטריה: האלכסון הראשי הוא ציר הסימטריה של הדלתון.
