נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ט׳ חטיבת הביניים
הסתברות

לחשב את הסיכוי

הסתברות מודדת עד כמה מאורע צפוי לקרות: מספר המקרים הרצויים חלקי מספר כל המקרים. הטילו קובייה או מטבע במעבדה, וצפו איך השכיחות היחסית מתקרבת לערך התאורטי ככל שמרבים בהטלות.

מעבדת ההטלות בחרו ניסוי והטילו - צפו בשכיחות מתייצבת
הסתברות תאורטית לכל תוצאה: -
קובייה הוגנת
מספר הטלות: 0

מה הסיכוי? כשמטילים קובייה הוגנת, לכל אחת מ-6 התוצאות סיכוי שווה. אבל איך יודעים מראש? ההסתברות עונה: סופרים כמה מקרים "רצויים" מתוך כל המקרים האפשריים. וככל שמטילים יותר ויותר פעמים, השכיחות היחסית שמתקבלת בפועל מתקרבת בדיוק לאותו מספר.

מבט מקרוב

האנטומיה של הסתברות

לכל חישוב הסתברות אותם חלקים בדיוק: מרחב המדגם (כל התוצאות האפשריות), המאורע (התוצאות הרצויות), והשבר שמחבר ביניהם. כשמזהים אותם, כל שאלה הופכת לספירה פשוטה.

החלקים של חישוב הסתברות
מרחב המדגם: כל המקרים בקובייה 1 2 3 4 5 6 המקרים הרצויים: מספר זוגי {2, 4, 6} 3 מקרים רצויים 6 כל המקרים P(זוגי) = = ½ רצויים : כל המקרים
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב הסתברות

שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בכל שאלת הסתברות של כיתה ט: מהנוסחה הבסיסית ועד מאורעות דו-שלביים.

1

הנוסחה הבסיסית

ההסתברות של מאורע היא P(A) = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים. הערך תמיד בין 0 (בלתי אפשרי) ל-1 (ודאי).

2

מרחב מדגם ומאורע

מרחב המדגם הוא אוסף כל התוצאות האפשריות (בקובייה: {1,2,3,4,5,6}). מאורע הוא קבוצת התוצאות שמעניינת אותנו, למשל "מספר זוגי" = {2,4,6}.

3

הקשר לשכיחות יחסית

אם חוזרים על הניסוי הרבה פעמים, השכיחות היחסית של תוצאה (כמה פעמים היא הופיעה חלקי מספר ההטלות) מתקרבת להסתברות התאורטית שלה.

4

מאורע משלים

המאורע המשלים "לא A" כולל את כל מה ש-A לא כולל. תמיד מתקיים P(לא A) = 1 - P(A). למשל בקובייה P(לא 6) = 1 - 16 = 56.

5

מאורעות דו-שלביים

כשמבצעים שני ניסויים ברצף (שתי הטלות מטבע, קובייה ואז מטבע), סופרים את כל הצירופים האפשריים. בשתי הטלות מטבע יש 2·2 = 4 צירופים.

6

ייצוגים: טבלה, עץ, שטח

שלוש דרכים לארגן את כל הצירופים: טבלה דו-ממדית, דיאגרמת עץ שמסתעפת שלב אחר שלב, ומודל השטח שבו כל תוצאה היא חלק משטח הריבוע.

P ≈ 0.85 0 1
מאורע סביר
סיכוי גבוה - קרוב ל-1
P ≈ 0.15 0 1
מאורע נדיר
סיכוי נמוך - קרוב ל-0
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: סופרים רצויים, סופרים כל המקרים, ומחלקים.

דוגמה 1P(זוגי) בקובייה הוגנת
  1. כל המקרים: מרחב המדגם הוא {1, 2, 3, 4, 5, 6}, כלומר 6 תוצאות אפשריות.
  2. המקרים הרצויים: המספרים הזוגיים הם {2, 4, 6}, כלומר 3 תוצאות.
  3. מחלקים: P(זוגי) = 36 = 12 = 0.5.
  4. הסיכוי לקבל מספר זוגי הוא 12.
דוגמה 2P(לא 6) בקובייה - מאורע משלים
  1. מוצאים את P(6): יש תוצאה רצויה אחת מתוך שש, ולכן P(6) = 16.
  2. משתמשים במשלים: "לא 6" הוא המאורע המשלים, ולכן P(לא 6) = 1 - P(6).
  3. מחשבים: P(לא 6) = 1 - 16 = 56.
  4. הסיכוי שלא תתקבל 6 הוא 56.
דוגמה 3שתי הטלות מטבע → P(שני עצים)
  1. כל הצירופים: בכל הטלה עץ (ע) או פלי (פ). הצירופים: עע, עפ, פע, פפ, כלומר 4 מקרים.
  2. המקרה הרצוי: "שני עצים" הוא צירוף אחד בלבד - עע.
  3. מחלקים: P(שני עצים) = 14 = 0.25.
  4. הסיכוי לקבל שני עצים הוא 14.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הנוסחה: P(A) = רצויים : כל המקרים, וערכה בין 0 ל-1.
  • 2מרחב מדגם: קודם סופרים את כל התוצאות האפשריות.
  • 3שכיחות יחסית: בהרבה הטלות היא מתקרבת להסתברות התאורטית.
  • 4מאורע משלים: P(לא A) = 1 - P(A).
  • 5דו-שלבי: סופרים את כל הצירופים (טבלה, עץ או מודל שטח).
מפתח פתרונות (תרגול)

    בחרו קובייה או מטבע והטילו שוב ושוב. השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי