תרגול ההוכחה על דרך השלילה
כל מה שלמדנו על השיטה - מניחים את ההפך מהטענה, מגיעים לסתירה עם עובדה ידועה, ומסיקים שהטענה המקורית נכונה. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה של שלושת השלבים, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי השלב הראשון ועד ניסוח שלילה, איתור הסתירה ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את הכלי המרכזי: סכום הזוויות במשולש הוא 180°, והוא המקור הנפוץ ביותר לסתירה.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה לפי תבנית ההוכחה על דרך השלילה: מניחים את ההפך מהטענה; מפעילים משפטים ידועים עד שמגיעים לסתירה; ומסיקים שהטענה המקורית נכונה. הכלי הנפוץ לסתירה הוא שסכום הזוויות במשולש הוא 180°. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מניחים את ההפך · מגיעים לסתירה · הטענה נכונה
מניחים את ההפך, ורואים לאן זה מוביל. כשקשה להוכיח ישירות שאי אפשר, מניחים לרגע שכן, ומפעילים משפטים ידועים עד הסוף. אם ההנחה מובילה לאבסורד - למשל משולש עם שתי זוויות ישרות שמשאיר 0° לזווית השלישית - אז ההנחה שקרית, והטענה המקורית נכונה. בדף הזה נזכיר את שלושת השלבים במהירות.
שלושת שלבי ההוכחה - תזכורת
לכל הוכחה על דרך השלילה אותם שלושה שלבים בדיוק. קודם מניחים את ההפך מהטענה, אחר כך מפעילים משפטים ידועים עד שמגיעים לסתירה, ולבסוף מסיקים שהטענה המקורית נכונה. בכל שאלה: קודם מזהים באיזה שלב אנחנו, ואז מיישמים אותו.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה רעיונות שנותנים שליטה מלאה בשיטה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד.
מהי הוכחה על דרך השלילה
שיטת הוכחה עקיפה: כדי להוכיח טענה, מניחים שההפך ממנה נכון. אם ההנחה מובילה לסתירה עם עובדה ידועה, מסיקים שההפך בלתי אפשרי, ולכן הטענה המקורית נכונה.
שלב 1 - מניחים את ההפך
מנסחים במדויק את שלילת הטענה, ומניחים לצורך ההוכחה שהיא נכונה. אם הטענה היא "אין שתי זוויות ישרות", ההנחה תהיה "נניח שיש שתי זוויות ישרות".
שלב 2 - מגיעים לסתירה
מפעילים משפטים ועובדות ידועות על ההנחה, עד שמקבלים סתירה: תוצאה שאי אפשר לקבל, למשל 90° + 90° = 180° שמשאיר 0° לזווית השלישית.
שלב 3 - מסיקים מסקנה
מכיוון שההנחה הובילה לסתירה, ההנחה שקרית. לכן שלילת הטענה בלתי אפשרית, והטענה המקורית - זו שרצינו להוכיח - נכונה. מש"ל.
מהי סתירה
סתירה היא מצב שאי אפשר לקבל: הפרה של משפט ידוע (סכום זוויות במשולש הוא 180°), או של אקסיומה, או שני דברים שסותרים זה את זה. הסתירה היא מה שמפיל את ההנחה.
מתי משתמשים בשיטה
במיוחד בטענות מסוג "אין", "לא ייתכן", "יחיד" או "בלתי אפשרי". כשקשה להוכיח ישירות - שלילת ההפך ומציאת סתירה היא לרוב הדרך הקצרה והבטוחה.
הוכחות פתורות
שלוש הוכחות מלאות, בנויות לפי אותה תבנית: מניחים את ההפך, מגיעים לסתירה, ומסיקים. שימו לב שהשיטה חוזרת על עצמה - אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מניחים את ההפך: נניח בשלילה שבמשולש ABC יש שתי זוויות ישרות, למשל ∠A = 90° ו-∠B = 90°.
- משפט ידוע: סכום שלוש הזוויות במשולש הוא 180°, כלומר ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
- מגיעים לסתירה: מציבים ומקבלים 90° + 90° + ∠C = 180°, ולכן ∠C = 0°. אבל זווית במשולש חייבת להיות גדולה מ-0° - סתירה.
- ההנחה הובילה לסתירה, ולכן היא שקרית: במשולש אין שתי זוויות ישרות. מש"ל.
- נתון: הישרים a ו-b מאונכים שניהם לישר c. צריך להוכיח ש-a ∥ b.
- מניחים את ההפך: נניח בשלילה ש-a ו-b אינם מקבילים, ולכן הם נפגשים בנקודה P.
- מגיעים לסתירה: נוצר משולש שקודקודיו P ושתי נקודות החיתוך עם c. בקודקודים שעל c יש שתי זוויות של 90° - משולש עם שתי זוויות ישרות, וזה בלתי אפשרי.
- ההנחה הובילה לסתירה, ולכן a ו-b אינם נפגשים: a ∥ b. מש"ל.
- מניחים את ההפך: נניח בשלילה שבמשולש יש שתי זוויות קהות, כלומר שתי זוויות שכל אחת גדולה מ-90°.
- מגיעים לסתירה: אם שתי הזוויות גדולות מ-90°, סכומן כבר גדול מ-180°, ועוד לפני שהוספנו את הזווית השלישית סכום הזוויות עולה על 180°.
- משפט ידוע: סכום שלוש הזוויות במשולש הוא בדיוק 180° - סתירה.
- ההנחה שקרית, ולכן במשולש אין שתי זוויות קהות. מש"ל.
תרגול מדורג - הוכחה על דרך השלילה
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות השיטה; יישום התבנית וניסוח שלילה; הנמקה מלאה ובחירת המשפט הנכון; ועד ניתוח, איתור טעות וסדר השלבים ברמת מבחן. רוב השאלות הן שאלות בחירה, וחלקן דורשות חישוב מספרי. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את "בודק הסתירה" של נדב כץ כדי לוודא שסכום הזוויות אכן מוביל לסתירה. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ההגדרה: מניחים שההפך מהטענה נכון, ומראים שההנחה מובילה לסתירה.
- 2שלב 1: מנסחים את שלילת הטענה ומניחים אותה "בשלילה".
- 3שלב 2: מפעילים משפטים ידועים עד שמקבלים סתירה.
- 4שלב 3: ההנחה שקרית, ולכן הטענה המקורית נכונה. מש"ל.
- 5הכלי המרכזי: סכום הזוויות במשולש הוא 180° - מקור נפוץ לסתירות.
| שלב | מה עושים | דוגמה |
|---|---|---|
| שלב 1 | מניחים את ההפך מהטענה | נניח ∠A = ∠B = 90° |
| שלב 2 | מגיעים לסתירה עם משפט ידוע | 90° + 90° + ∠C = 180° ⟹ ∠C = 0° |
| שלב 3 | ההנחה שקרית, הטענה נכונה | אין שתי זוויות ישרות |
| מתי | טענות "אין" / "בלתי אפשרי" / "יחיד" | אין / לא ייתכן / יחיד |
| הכלי | סכום זוויות המשולש | ∠A + ∠B + ∠C = 180° |
