להוכיח דרך הסתירה
שיטת הוכחה חדשה וחזקה: במקום להוכיח ישירות שהטענה נכונה, מניחים שההפך ממנה נכון, ומראים שההנחה הזו מובילה לסתירה. אם ההפך בלתי אפשרי - הטענה חייבת להיות נכונה. בנו את ההוכחה שלב אחר שלב.
מניחים את ההפך
נניח בשלילה שבמשולש ABC יש שתי זוויות ישרות: ∠A = 90° ו-∠B = 90°.
מגיעים לסתירה
לפי משפט סכום הזוויות ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ומכאן 90° + 90° + ∠C = 180°, כלומר ∠C = 0° - בלתי אפשרי.
מסיקים מסקנה
ההנחה הובילה לסתירה, ולכן היא שקרית: במשולש אין שתי זוויות ישרות. מש"ל.
איך מוכיחים שאי אפשר? יש טענות שקשה להוכיח ישירות - במיוחד כשצריך להראות שמשהו לעולם לא קורה. הטריק: נניח לרגע שהוא כן קורה, ונלך אחרי ההנחה עד הסוף. אם היא מובילה לאבסורד - למשל משולש שסכום זוויותיו גדול מ-180° - אז ההנחה שקרית, והטענה המקורית נכונה.
האנטומיה של הוכחה על דרך השלילה
לכל הוכחה על דרך השלילה יש אותם שלושה שלבים בדיוק. כשמזהים אותם, אפשר לבנות כל הוכחה כזו לפי אותה תבנית. הנה המפה המלאה:
מה מרכיב הוכחה על דרך השלילה
שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בשיטה. נסו לעקוב אחריהם בבונה ההוכחה שלמעלה, שלב אחר שלב.
מהי הוכחה על דרך השלילה
שיטת הוכחה עקיפה: כדי להוכיח טענה, מניחים שההפך ממנה נכון. אם ההנחה הזו מובילה לסתירה עם עובדה ידועה, מסיקים שההפך בלתי אפשרי, ולכן הטענה המקורית נכונה.
שלב 1 - מניחים את ההפך
מנסחים במדויק את שלילת הטענה, ומניחים לצורך ההוכחה שהיא נכונה. אם הטענה היא "אין שתי זוויות ישרות", ההנחה תהיה "נניח שיש שתי זוויות ישרות".
שלב 2 - מגיעים לסתירה
מפעילים משפטים ועובדות ידועות על ההנחה, עד שמקבלים סתירה: תוצאה שלא ייתכן שתהיה נכונה, למשל 2·90° = 180° שמשאיר 0° לזווית השלישית.
שלב 3 - מסיקים מסקנה
מכיוון שההנחה הובילה לסתירה, ההנחה שקרית. לכן שלילת הטענה בלתי אפשרית, והטענה המקורית - זו שרצינו להוכיח - נכונה. מש"ל.
מהי סתירה
סתירה היא מצב שאי אפשר לקבל: הפרה של משפט ידוע (סכום זוויות במשולש הוא 180°), או של אקסיומה, או שני דברים שסותרים זה את זה. הסתירה היא מה שמפיל את ההנחה.
מתי כדאי להשתמש בשיטה
במיוחד בטענות מסוג "אין", "לא ייתכן", "יחיד" או "בלתי אפשרי". כשקשה להוכיח ישירות - שלילת ההפך ומציאת סתירה היא לרוב הדרך הקצרה והבטוחה.
הוכחות פתורות
שלוש הוכחות מלאות, בנויות לפי אותה תבנית: מניחים את ההפך, מגיעים לסתירה, ומסיקים. שימו לב שהשיטה חוזרת על עצמה.
- מניחים את ההפך: נניח בשלילה שבמשולש ABC יש שתי זוויות ישרות, למשל ∠A = 90° ו-∠B = 90°.
- משפט ידוע: סכום שלוש הזוויות במשולש הוא 180°, כלומר ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
- מגיעים לסתירה: מציבים ומקבלים 90° + 90° + ∠C = 180°, ולכן ∠C = 0°. אבל זווית במשולש חייבת להיות גדולה מ-0° - סתירה.
- ההנחה הובילה לסתירה, ולכן היא שקרית: במשולש אין שתי זוויות ישרות. מש"ל.
- נתון: הישרים a ו-b מאונכים שניהם לישר c. צריך להוכיח ש-a ∥ b.
- מניחים את ההפך: נניח בשלילה ש-a ו-b אינם מקבילים, ולכן הם נפגשים בנקודה P.
- מגיעים לסתירה: נוצר משולש שקודקודיו P ושתי נקודות החיתוך עם c. בקודקודים שעל c יש שתי זוויות של 90° - משולש עם שתי זוויות ישרות, וזה בלתי אפשרי.
- ההנחה הובילה לסתירה, ולכן a ו-b אינם נפגשים: a ∥ b. מש"ל.
- מניחים את ההפך: נניח בשלילה שבמשולש יש שתי זוויות קהות, כלומר שתי זוויות שכל אחת גדולה מ-90°.
- מגיעים לסתירה: אם שתי הזוויות גדולות מ-90°, סכומן כבר גדול מ-180°, ועוד לפני שהוספנו את הזווית השלישית סכום הזוויות עולה על 180°.
- משפט ידוע: סכום שלוש הזוויות במשולש הוא בדיוק 180° - סתירה.
- ההנחה שקרית, ולכן במשולש אין שתי זוויות קהות. מש"ל.
תרגול אינטראקטיבי
כל התרגילים כאן מבוססים על תבנית ההוכחה על דרך השלילה, מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את "בודק הסתירה" שבפינה כדי לוודא שסכום הזוויות אכן מוביל לסתירה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ההגדרה: מניחים שההפך מהטענה נכון, ומראים שההנחה מובילה לסתירה.
- 2שלב 1: מנסחים את שלילת הטענה ומניחים אותה "בשלילה".
- 3שלב 2: מפעילים משפטים ידועים עד שמקבלים סתירה.
- 4שלב 3: ההנחה שקרית, ולכן הטענה המקורית נכונה. מש"ל.
- 5הכלי המרכזי: סכום הזוויות במשולש הוא 180° - מקור נפוץ לסתירות.
