תרגול המשוואה הריבועית ax² + bx + c = 0
כל מה שלמדנו על המשוואה הריבועית - פתרון בפירוק לגורמים, פתרון בנוסחת השורשים x = -b ± b² - 4ac2a, וקריאת מספר הפתרונות מהדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפירוק פשוט ועד איתור טעות וטענות ברמת מבחן. זכרו את המספר הקטן שמגלה הכול: Δ > 0 שני פתרונות, Δ = 0 פתרון יחיד, Δ < 0 אין פתרון ממשי.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - פתרון המשוואה, חישוב הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac, או מספר הפתרונות הממשיים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". Δ > 0 שני פתרונות · Δ = 0 פתרון יחיד · Δ < 0 אין פתרון
מספר אחד מגלה הכול. לפני שמפרקים או מציבים בנוסחה, הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac כבר אומרת כמה פתרונות מחכים: חיובית - שני פתרונות, אפס - פתרון יחיד, שלילית - אין פתרון ממשי. גרפית זה בדיוק מספר הפעמים שהפרבולה חוצה את ציר ה-x. בדף הזה נחזור במהירות על שתי דרכי הפתרון ועל הדיסקרימיננטה.
האנטומיה של נוסחת השורשים - תזכורת
לכל משוואה ריבועית בצורה הסטנדרטית ax² + bx + c = 0 יש שלושה מקדמים בלבד - a, b ו-c - ומהם בונים את כל הנוסחה. -b הוא הנגדי של b, הביטוי שמתחת לשורש הוא הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac, והמכנה הוא 2a.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהמשוואה הריבועית של כיתה ט, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משתי דרכי הפתרון ועד הדיסקרימיננטה והקשר הגרפי.
הצורה הסטנדרטית
משוואה ריבועית נכתבת תמיד בצורה ax² + bx + c = 0 (כאשר a ≠ 0). לפני כל פתרון מסדרים לצורה הזו ומזהים את a, b ו-c.
פתרון בפירוק לגורמים
הדרך הקצרה כשאפשר לפרק: x² - 5x + 6 = 0 מתפרק ל-(x - 2)(x - 3) = 0, ומכיוון שמכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים אפס - x = 2 או x = 3.
נוסחת השורשים
עובדת תמיד, גם כשקשה לפרק: x = -b ± b² - 4ac2a. מציבים את שלושת המקדמים, מחשבים, ומקבלים את שני הפתרונות.
הדיסקרימיננטה
הביטוי שמתחת לשורש, Δ = b² - 4ac, קובע כמה פתרונות יש: Δ > 0 שני פתרונות, Δ = 0 פתרון יחיד, Δ < 0 אין פתרון ממשי.
נקודות האפס
פתרונות המשוואה ax² + bx + c = 0 הם בדיוק שיעורי ה-x של החיתוכים של הפרבולה y = ax² + bx + c עם ציר ה-x - נקודות האפס של הפונקציה.
הקשר הגרפי
מספר הפתרונות = מספר הפעמים שהפרבולה נוגעת בציר ה-x. שני חיתוכים כש-Δ > 0, השקה בנקודה אחת כש-Δ = 0, ובכלל לא חוצה כש-Δ < 0.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: אחת בפירוק, אחת בנוסחת השורשים, ואחת שבה הדיסקרימיננטה מכריעה מראש. שימו לב לשיטה שחוזרת על עצמה - וזו בדיוק השיטה שתעבוד בתרגול.
- מזהים מקדמים: a = 1, b = -5, c = 6.
- מפרקים לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם -5: המספרים -2 ו--3, ולכן (x - 2)(x - 3) = 0.
- מאפסים כל גורם: x - 2 = 0 או x - 3 = 0.
- הפתרונות הם x = 2 ו-x = 3 (הגדול הוא 3).
- מזהים מקדמים: a = 1, b = 2, c = -8.
- דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac = 2² - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36, ו-36 = 6.
- נוסחת השורשים: x = -2 ± 62, כלומר x = 42 = 2 או x = -82 = -4.
- הפתרונות הם x = 2 ו-x = -4 (בדיוק כמו הפירוק (x + 4)(x - 2) = 0).
- מזהים מקדמים: a = 1, b = 1, c = 1.
- מחשבים דיסקרימיננטה קודם: Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3.
- מסקנה: מכיוון ש-Δ = -3 < 0, אין שורש ממשי למספר שלילי, ולכן אין פתרון.
- למשוואה אין פתרונות ממשיים - הפרבולה כלל אינה חוצה את ציר ה-x.
תרגול מדורג - המשוואה הריבועית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פירוק פשוט וצורות x² = k; דיסקרימיננטה, מספר פתרונות ונוסחת השורשים; פירוק עם שורשים שליליים, נוסחה עם a ≠ 1 וזיהוי פתרון תקף; ועד ניתוח גרפי, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "נוסחת השורשים". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הצורה הסטנדרטית: מסדרים ל-ax² + bx + c = 0 ומזהים a, b, c.
- 2פירוק לגורמים: אם אפשר, (x - r₁)(x - r₂) = 0 נותן מיד את הפתרונות.
- 3נוסחת השורשים: x = -b ± b² - 4ac2a עובדת תמיד.
- 4דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac - חיובי 2, אפס 1, שלילי 0 פתרונות.
- 5הקשר הגרפי: הפתרונות הם נקודות האפס - החיתוכים של הפרבולה עם ציר ה-x.
| המצב | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| פירוק לגורמים | מכפלה-סכום, ואז מאפסים כל גורם | x² - 5x + 6 → (x-2)(x-3) → 2, 3 |
| נוסחת השורשים | x = (-b ± Δ) / 2a | x² + 2x - 8 → 2, -4 |
| דיסקרימיננטה Δ | Δ = b² - 4ac | x² + 2x - 8 → Δ = 36 |
| מספר פתרונות | Δ>0 שני, Δ=0 יחיד, Δ<0 אין | x² + x + 1 → Δ = -3 → אין |
| צורה x² = k | מוציאים שורש: x = ±k | x² - 9 = 0 → x = ±3 |
