לפצח את נוסחת השורשים
כל משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 מתחבאת מאחורי פרבולה. נלמד לפתור בפירוק לגורמים ובנוסחת השורשים, ולקרוא מהדיסקרימיננטה כמה פתרונות יש עוד לפני שפותרים. הזיזו את המקדמים במעבדה וראו איפה הפרבולה חוצה את ציר ה-x.
כמה פתרונות? לפני שמפרקים או מציבים בנוסחה, מספר קטן אחד כבר מגלה הכול: הדיסקרימיננטה b² - 4ac. חיובית - שני פתרונות, אפס - פתרון יחיד, שלילית - אין פתרון ממשי. גרפית זה בדיוק מספר הפעמים שהפרבולה חוצה את ציר ה-x.
האנטומיה של נוסחת השורשים
לכל משוואה ריבועית בצורה הסטנדרטית יש שלושה מקדמים בלבד - a, b ו-c - ומהם בונים את כל הנוסחה. כשמזהים כל חלק, קל להציב נכון ולא להתבלבל בסימנים.
מה מרכיב פתרון של משוואה ריבועית
שישה מושגים שייתנו לכם שליטה מלאה בכל משוואה ריבועית - משתי דרכי הפתרון ועד הקשר הגרפי. נסו לשנות במעבדה שלמעלה כל רעיון תוך כדי קריאה.
הצורה הסטנדרטית
משוואה ריבועית נכתבת תמיד בצורה ax² + bx + c = 0 (כאשר a ≠ 0). לפני כל פתרון מסדרים את המשוואה לצורה הזו ומזהים את a, b ו-c.
פתרון בפירוק לגורמים
אם אפשר לפרק, זו הדרך הקצרה: x² - 5x + 6 = 0 מתפרק ל-(x - 2)(x - 3) = 0, ומכיוון שמכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים אפס - x = 2 או x = 3.
נוסחת השורשים
עובדת תמיד, גם כשקשה לפרק: x = -b ± b² - 4ac2a. מציבים את שלושת המקדמים, מחשבים, ומקבלים את שני הפתרונות.
הדיסקרימיננטה
הביטוי שמתחת לשורש, Δ = b² - 4ac, קובע כמה פתרונות יש: Δ > 0 שני פתרונות, Δ = 0 פתרון יחיד, Δ < 0 אין פתרון ממשי.
נקודות האפס
פתרונות המשוואה ax² + bx + c = 0 הם בדיוק שיעורי ה-x של החיתוכים של הפרבולה y = ax² + bx + c עם ציר ה-x - נקודות האפס של הפונקציה.
הקשר הגרפי
מספר הפתרונות = מספר הפעמים שהפרבולה נוגעת בציר ה-x. שני חיתוכים כש-Δ > 0, השקה בנקודה אחת כש-Δ = 0, ובכלל לא חוצה כש-Δ < 0.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: אחת בפירוק, אחת בנוסחת השורשים, ואחת שבה הדיסקרימיננטה מכריעה מראש. שימו לב לשיטה שחוזרת על עצמה.
- מזהים מקדמים: a = 1, b = -5, c = 6.
- מפרקים לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם -5: המספרים -2 ו--3, ולכן (x - 2)(x - 3) = 0.
- מאפסים כל גורם: x - 2 = 0 או x - 3 = 0.
- הפתרונות הם x = 2 ו-x = 3.
- מזהים מקדמים: a = 1, b = 2, c = -8.
- דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac = 2² - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36, ו-36 = 6.
- נוסחת השורשים: x = -2 ± 62, כלומר x = 42 = 2 או x = -82 = -4.
- הפתרונות הם x = 2 ו-x = -4 (בדיוק כמו הפירוק (x + 4)(x - 2) = 0).
- מזהים מקדמים: a = 1, b = 1, c = 1.
- מחשבים דיסקרימיננטה קודם: Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3.
- מסקנה: מכיוון ש-Δ = -3 < 0, אין שורש ממשי למספר שלילי, ולכן אין פתרון.
- למשוואה אין פתרונות ממשיים - הפרבולה כלל אינה חוצה את ציר ה-x.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לשלבי הקושי (בסיס, ביניים, אתגר) ולסט מעורב. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הצורה הסטנדרטית: מסדרים ל-ax² + bx + c = 0 ומזהים a, b, c.
- 2פירוק לגורמים: אם אפשר, (x - r₁)(x - r₂) = 0 נותן מיד את הפתרונות.
- 3נוסחת השורשים: x = -b ± b² - 4ac2a עובדת תמיד.
- 4דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac - חיובי 2, אפס 1, שלילי 0 פתרונות.
- 5הקשר הגרפי: הפתרונות הם נקודות האפס - החיתוכים של הפרבולה עם ציר ה-x.
