פרבולה אחת, שתי הזזות
הכול מתחיל בפרבולת היסוד f(x) = ax², שקדקודה בראשית. הוספת מספר בסוף מזיזה אותה אנכית, שינוי בתוך הסוגריים מזיז אותה אופקית, ושילוב השניים נותן את הייצוג הקדקודי a(x − p)² + k. במעבדה תגררו את שתי ההזזות ותראו את הקדקוד נוסע איתן.
אותה פרבולה, רק במקום אחר. y = x² יושבת עם הקדקוד בראשית. y = x² + 3 היא בדיוק אותה פרבולה, מוזזת שלוש יחידות מעלה. y = (x − 3)² היא שוב אותה פרבולה, הפעם מוזזת שלוש יחידות ימינה. שימו לב לסימן: המינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה, והפלוס מזיז שמאלה - זו הנקודה שהכי קל להתבלבל בה.
האנטומיה של הפרבולה
לכל פרבולה יש קדקוד - הנקודה הגבוהה או הנמוכה ביותר - וציר סימטריה אנכי שעובר דרכו וחוצה את הפרבולה לשני חצאים זהים. הסימן של המקדם a קובע את כיוון הפתיחה (חיובי כלפי מעלה, שלילי כלפי מטה), ולכן גם אם הקדקוד הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום. ההזזות אינן משנות את הצורה כלל: הן רק מסיעות את הקדקוד, וציר הסימטריה נוסע איתו.
מ-ax² אל הייצוג הקדקודי
שישה שלבים לפי סדר ההוראה: פרבולת היסוד ax², הזזה אנכית, הזזה אופקית, שילוב השתיים, ואחר כך שמות שלושת הייצוגים. נסו כל שלב במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה.
פרבולת היסוד f(x) = ax²
הקדקוד בראשית (0, 0) וציר הסימטריה הוא ציר y. הסימן של a קובע את כיוון הפתיחה: a > 0 כלפי מעלה, a < 0 כלפי מטה. כשהפרבולה פתוחה כלפי מעלה הקדקוד הוא נקודת מינימום, וכשהיא פתוחה כלפי מטה הוא נקודת מקסימום.
הזזה אנכית
f(x) = ax² + k. הפרבולה כולה נוסעת מעלה כש-k > 0 ומטה כש-k < 0. הקדקוד עובר ל-(0, k), וציר הסימטריה נשאר x = 0.
הזזה אופקית
f(x) = a(x − p)². שימו לב לסימן: (x − 3)² מזיז ימינה ב-3, ואילו (x + 3)² מזיז שמאלה ב-3. הקדקוד עובר ל-(p, 0) וציר הסימטריה ל-x = p.
שילוב שתי ההזזות
f(x) = a(x − p)² + k מזיז אופקית ואנכית יחד. הקדקוד נוחת ב-(p, k) וציר הסימטריה ב-x = p. זה בדיוק הייצוג הקדקודי של הפונקציה הריבועית.
הייצוג הסטנדרטי
f(x) = ax² + bx + c (כאשר a ≠ 0). ממנו קוראים מיד את החיתוך עם ציר y בנקודה (0, c) ואת כיוון הפתיחה לפי הסימן של a.
הייצוג כמכפלה
h(x) = a(x − t)(x − r). האפסים גלויים בו מיד: t ו-r. המעבר לייצוג הזה נעשה רק כאשר a = ±1, ולכן כל התרגילים כאן הם עם a = 1.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות צעד אחר צעד: הזזה אנכית טהורה, הזזה אופקית טהורה, ושילוב של שתיהן. השיטה קבועה: מזהים מה מוסיפים ואיפה, ומסיעים את הקדקוד בהתאם.
- מזהים את סוג ההזזה: המספר −4 מתווסף מחוץ לריבוע, ולכן זו הזזה אנכית.
- קובעים כיוון: k = −4 שלילי, ולכן הפרבולה יורדת 4 יחידות מטה.
- מסיעים את הקדקוד: מ-(0, 0) אל (0, −4).
- קדקוד (0, −4), ציר סימטריה x = 0 (לא זז).
- מזהים את סוג ההזזה: השינוי הוא בתוך הסוגריים, ולכן זו הזזה אופקית.
- שמים לב לסימן: כותבים (x + 2) = (x − (−2)), ולכן p = −2.
- קובעים כיוון: p שלילי, ולכן הפרבולה נוסעת 2 יחידות שמאלה. (זו בדיוק המלכודת: הפלוס מזיז שמאלה.)
- קדקוד (−2, 0), ציר סימטריה x = −2.
- מזהים את הייצוג: זהו הייצוג הקדקודי a(x − p)² + k עם a = 1, p = 2 ו-k = 5.
- מפרקים לשתי הזזות: 2 יחידות ימינה ועוד 5 יחידות מעלה.
- קוראים את הקדקוד: (p, k) = (2, 5), וציר הסימטריה x = 2.
- הפרבולה פתוחה כלפי מעלה והקדקוד גבוה מציר x, ולכן אין חיתוך עם ציר x.
תרגול אינטראקטיבי
חמישה-עשר תרגילים בשלושה שלבי קושי: בסיס (הזזה אחת), ביניים (שילוב הזזות וקריאת קדקוד) ואתגר (אפסים וחיתוכים). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה - בלשונית "ייצוג קדקודי" הוא פותר a(x − p)² + k עבורכם.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1פרבולת היסוד: f(x) = ax² - קדקוד בראשית, והסימן של a קובע את כיוון הפתיחה ואת סוג הקיצון.
- 2הזזה אנכית: +k מעלה, −k מטה; הציר לא זז.
- 3הזזה אופקית: (x − p) מזיז ימינה, (x + p) מזיז שמאלה.
- 4ייצוג קדקודי: a(x − p)² + k - קדקוד (p, k), ציר x = p.
- 5שלושת הייצוגים: סטנדרטי לחיתוך עם y, קדקודי לקדקוד, כמכפלה לאפסים.
