תרגול אי-שוויונות ריבועיים דרך הפרבולה
כל מה שלמדנו על אי-שוויונות ריבועיים - מפרקים לגורמים ומוצאים את האפסים, קובעים את כיוון הפרבולה לפי הסימן של a, וקוראים מהגרף איפה היא מעל הציר (> 0) ואיפה מתחתיו (< 0) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקריאת קטע פשוטה ועד איתור טעות וטענות ברמת מבחן. זכרו את הכלל: פרבולה כלפי מעלה חיובית מחוץ לאפסים ושלילית בין האפסים.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - קטע הפתרון, גבול הקטע, מספר הפתרונות השלמים, או האם האפסים נכללים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". כלפי מעלה: > 0 מחוץ לאפסים · < 0 בין האפסים · חלש (≤ ≥) כולל את האפסים
לא צריך לנחש. לפני שבוחרים קטע, מפרקים לגורמים ומסמנים את שני האפסים על ציר ה-x. הסימן של a קובע את כיוון הפרבולה, והגרף כבר אומר איפה היא מעל הציר (חיובית) ואיפה מתחתיו (שלילית): כלפי מעלה חיובית מחוץ לאפסים ושלילית בין האפסים. בדף הזה נחזור במהירות על השיטה.
האנטומיה של הפתרון - תזכורת
שני האפסים מחלקים את ציר ה-x לשלושה קטעים, והפרבולה קובעת בכל קטע אם הערך חיובי או שלילי. הסימן של a קובע את כיוון הפתיחה, והסימן של האי-שוויון (>, <, ≥, ≤) קובע איזה קטע לוקחים ואם האפסים נכללים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מאי-שוויונות ריבועיים של כיתה ט, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהפירוק והאפסים ועד הכיוון, בחירת הקטע וההבדל בין סימן חזק לחלש.
מה זה אי-שוויון ריבועי
אי-שוויון מהצורה ax² + bx + c > 0 (או <, ≥, ≤), עם a ≠ 0. הפתרון הוא כל ערכי x שמקיימים אותו - בדרך כלל קטע או שני קטעים.
מוצאים את האפסים
מפרקים לגורמים ומשווים לאפס: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2), ולכן האפסים הם x = 3 ו-x = -2. הם מסמנים את הגבולות.
הכיוון של הפרבולה
הסימן של a קובע: אם a > 0 הפרבולה נפתחת כלפי מעלה - חיובית מחוץ לאפסים, שלילית ביניהם. אם a < 0 - הפוך.
בין האפסים או מחוצה להם
לפרבולה כלפי מעלה: > 0 נותן את הקטעים מחוץ לאפסים, ו-< 0 נותן את הקטע שבין האפסים. זה כל הסוד.
חזק לעומת חלש
ב-> או < האפסים עצמם לא נכללים (עיגול ריק). ב-≥ או ≤ הם כן נכללים (עיגול מלא), למשל x² - 4 ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 2.
כותבים את הפתרון
קטע אחד נכתב כאי-שוויון כפול: -2 < x < 3. שני קטעים נכתבים עם "או": x < -2 או x > 3.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: אחת עם > 0 (מחוץ לאפסים), אחת עם < 0 (בין האפסים), ואחת עם סימן חלש שבו האפסים נכללים. שימו לב לשיטה שחוזרת - וזו בדיוק השיטה שתעבוד בתרגול.
- מפרקים לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם -6 וסכומם -1, ומקבלים (x - 3)(x + 2) > 0.
- אפסים: x = 3 ו-x = -2. הם מחלקים את ציר ה-x לשלושה קטעים.
- כיוון: a = 1 > 0, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן חיובית מחוץ לאפסים.
- הפתרון: x < -2 או x > 3.
- אותם אפסים: (x - 3)(x + 2) < 0, כלומר האפסים הם -2 ו-3.
- מה מבקשים: הפעם < 0 - איפה הפרבולה מתחת לציר.
- קוראים מהגרף: פרבולה כלפי מעלה שלילית רק בין האפסים.
- הפתרון: -2 < x < 3.
- הפרש ריבועים: x² - 4 = (x - 2)(x + 2), ולכן האפסים הם x = 2 ו-x = -2.
- כיוון וסוג: a = 1 > 0 (מתחת לציר = בין האפסים), והסימן ≤ חלש, ולכן האפסים עצמם נכללים.
- קוראים מהגרף: הפרבולה מתחת לציר או נוגעת בו בין -2 ל-2.
- הפתרון: -2 ≤ x ≤ 2.
תרגול מדורג - אי-שוויונות ריבועיים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: קריאת קטע מצורה מפורקת ומהפרש ריבועים; פירוק טרינום וקריאת הקטע; כיוון כלפי מטה, מקרים ללא פתרון, הוצאת גורם משותף וזיהוי שייכות לקטע; ועד איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "אי-שוויון ריבועי". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מפרקים לגורמים ומוצאים את שני האפסים - הם הגבולות על ציר ה-x.
- 2בודקים כיוון: a > 0 כלפי מעלה, a < 0 כלפי מטה.
- 3פרבולה כלפי מעלה: > 0 מחוץ לאפסים, < 0 בין האפסים.
- 4קטע אחד נכתב -2 < x < 3, שני קטעים עם "או".
- 5סימן חלש (≥, ≤) כולל את האפסים; חזק (>, <) לא.
| המצב | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| מפרקים ומסמנים אפסים | האפסים הם הגבולות על ציר ה-x | x² - x - 6 → (x-3)(x+2) → -2, 3 |
| כלפי מעלה, > 0 | מחוץ לאפסים - שני קטעים | x² - x - 6 > 0 → x < -2 או x > 3 |
| כלפי מעלה, < 0 | בין האפסים - קטע אחד | x² - x - 6 < 0 → -2 < x < 3 |
| סימן חלש (≤, ≥) | האפסים נכללים בפתרון | x² - 4 ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 2 |
| כלפי מטה (a < 0) | הכיוון הפוך | -x² + 4 > 0 → -2 < x < 2 |
