מתי הפרבולה מעל האפס
אי-שוויון ריבועי נפתר דרך הפרבולה: מסמנים את האפסים על ציר ה-x, ושואלים איפה הגרף מעל הציר (חיובי) ואיפה מתחתיו (שלילי). גררו את המקדמים במעבדה וצבעו את הפתרון בזמן אמת.
למה בכלל פרבולה? כדי לפתור x² - x - 6 > 0 לא צריך לנחש. מפרקים לגורמים, מסמנים את שני האפסים על ציר ה-x, ומסתכלים על הקשת: הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא מעל הציר (חיובית) מחוץ לאפסים, ומתחתיו (שלילית) בין האפסים. הגרף עונה על השאלה בשבילנו.
האנטומיה של הפתרון
לכל אי-שוויון ריבועי יש אותה מפה: שני אפסים שמחלקים את ציר ה-x לשלושה קטעים, ופרבולה שקובעת בכל קטע אם הערך חיובי או שלילי. כשמזהים את החלקים, קוראים את הפתרון ישירות מהגרף.
איך פותרים אי-שוויון ריבועי
שישה רעיונות שנותנים שליטה מלאה. נסו לשנות במעבדה שלמעלה כל מושג תוך כדי קריאה, וצפו איך משתנה הקטע הצבוע.
מה זה אי-שוויון ריבועי
אי-שוויון מהצורה ax² + bx + c > 0 (או <, ≥, ≤), עם a ≠ 0. הפתרון הוא כל ערכי x שמקיימים אותו - בדרך כלל קטע או שני קטעים.
מוצאים את האפסים
מפרקים לגורמים ומשווים לאפס: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2), ולכן האפסים הם x = 3 ו-x = -2. הם מסמנים את הגבולות.
הכיוון של הפרבולה
הסימן של a קובע: אם a > 0 הפרבולה נפתחת כלפי מעלה - חיובית מחוץ לאפסים, שלילית ביניהם. אם a < 0 - הפוך.
בין האפסים או מחוצה להם
לפרבולה כלפי מעלה: > 0 נותן את הקטעים מחוץ לאפסים, ו-< 0 נותן את הקטע שבין האפסים. זה כל הסוד.
חזק לעומת חלש
ב-> או < האפסים עצמם לא נכללים (עיגול ריק). ב-≥ או ≤ הם כן נכללים (עיגול מלא), למשל x² - 4 ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 2.
כותבים את הפתרון
קטע אחד נכתב כאי-שוויון כפול: -2 < x < 3. שני קטעים נכתבים עם "או": x < -2 או x > 3.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, בדיוק כמו בבחינה. שימו לב לשיטה החוזרת: מפרקים, מסמנים אפסים, קובעים כיוון, וקוראים את הקטע מהגרף.
- מפרקים לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם -6 וסכומם -1, ומקבלים (x - 3)(x + 2) > 0.
- אפסים: x = 3 ו-x = -2. הם מחלקים את ציר ה-x לשלושה קטעים.
- כיוון: a = 1 > 0, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן חיובית מחוץ לאפסים.
- הפתרון: x < -2 או x > 3.
- אותם אפסים: (x - 3)(x + 2) < 0, כלומר האפסים הם -2 ו-3.
- מה מבקשים: הפעם < 0 - איפה הפרבולה מתחת לציר.
- קוראים מהגרף: פרבולה כלפי מעלה שלילית רק בין האפסים.
- הפתרון: -2 < x < 3.
- הפרש ריבועים: x² - 4 = (x - 2)(x + 2), ולכן האפסים הם x = 2 ו-x = -2.
- כיוון וסוג: a = 1 > 0 (מתחת לציר = בין האפסים), והסימן ≤ חלש, ולכן האפסים עצמם נכללים.
- קוראים מהגרף: הפרבולה מתחת לציר או נוגעת בו בין -2 ל-2.
- הפתרון: -2 ≤ x ≤ 2.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לשלבי הקושי (בסיס, ביניים, אתגר) ולסט מעורב. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה ולהיעזר בפותר אי-השוויונות שבו.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מפרקים לגורמים ומוצאים את שני האפסים - הם הגבולות על ציר ה-x.
- 2בודקים כיוון: a > 0 כלפי מעלה, a < 0 כלפי מטה.
- 3פרבולה כלפי מעלה: > 0 מחוץ לאפסים, < 0 בין האפסים.
- 4קטע אחד נכתב -2 < x < 3, שני קטעים עם "או".
- 5סימן חלש (≥, ≤) כולל את האפסים; חזק (>, <) לא.
