תרגול נעלם במכנה
כל מה שלמדנו על משוואות עם נעלם במכנה - תחום ההצבה x ≠ 3, ניקוי המכנה בכפל צולב, ופתרון עם בדיקת קבילות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מתחום הצבה בסיסי ועד איתור טעות וטענות ברמת מבחן. זכרו את הכלל שמוביל את הכול: מפרקים כל מכנה, פוסלים ערך שמאפס אותו, פותרים, ובודקים שכל פתרון באמת קביל.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - תחום ההצבה (הערך האסור), הפתרון, או מספר הפתרונות הקבילים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מפרקים כל מכנה · פוסלים ערך שמאפס מכנה · לא שוכחים לבדוק קבילות
למה אסור אפס במכנה? חלוקה באפס אינה מוגדרת - אין מספר שמכפלתו באפס נותנת את המונה. לכן לפני שפותרים משוואה עם נעלם במכנה, מגדירים תחום הצבה: כל ערך של x שמאפס מכנה כלשהו יוצא מהמשחק. פתרון שנופל בדיוק על ערך אסור נקרא פתרון שאינו קביל, ומוחקים אותו. בדף הזה נתרגל בדיוק את זה: תחום, פתרון, ובדיקת קבילות.
האנטומיה של משוואה רציונלית - תזכורת
בכל משוואה עם נעלם במכנה מסתתרים אותם חלקים - מונה, מכנה, וערכים אסורים שנובעים מהמכנה. כשמזהים אותם, סדר הפעולות מתבקש מאליו: קודם תחום, אחר כך פתרון, ובסוף בדיקת קבילות.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים על משוואות עם נעלם במכנה של כיתה ט, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מתחום ההצבה ועד בדיקת הקבילות.
ביטוי רציונלי
מנה של שני ביטויים, מונהמכנה, כשהמכנה מכיל את הנעלם - למשל 1x - 3. השבר מוגדר רק כאשר המכנה שונה מאפס.
תחום ההצבה
אוסף כל הערכים ש-x רשאי לקבל. פוסלים כל ערך שמאפס מכנה כלשהו. עבור 1x - 3 התחום הוא x ≠ 3.
פירוק המכנה לגורמים
מכנה ריבועי מפרקים כדי לחשוף את כל הערכים האסורים: x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5), ולכן x ≠ 2 וגם x ≠ 5.
מכנה משותף
מכפילים את שני האגפים במכנה המשותף כדי "לנקות" את השברים ולקבל משוואה רגילה. זו פעולה חוקית רק בזכות תחום ההצבה שהגדיר מכנה ≠ 0.
פתרון המשוואה
לאחר הניקוי מקבלים משוואה ליניארית או ריבועית ופותרים אותה כרגיל - העברת אגפים, כינוס, ואם צריך הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית.
בדיקת קבילות
כל פתרון שהתקבל נבדק מול תחום ההצבה. פתרון שנופל על ערך אסור - אינו קביל ונמחק. לפעמים כל הפתרונות נמחקים ואז אין פתרון קביל.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה שחוזרת: תחום → ניקוי מכנה → פתרון → בדיקת קבילות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- תחום הצבה: המכנה x - 3 חייב להיות שונה מאפס, ולכן x ≠ 3.
- ניקוי מכנה: מכפילים את שני האגפים ב-(x - 3) ומקבלים 1 = 2(x - 3).
- פותרים: 1 = 2x - 6, ואז 2x = 7, כלומר x = 3.5.
- הפתרון x = 3.5 שונה מ-3, ולכן קביל.
- מפרקים את המכנה: x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5).
- תחום הצבה: אף גורם לא יתאפס, ולכן x ≠ 2 וגם x ≠ 5.
- ניקוי מכנה: כפל צולב נותן 2(2x - 1) = (x - 2)(x - 5), כלומר 4x - 2 = x² - 7x + 10.
- מסדרים ל-x² - 11x + 12 = 0 ופותרים; כל שורש נבדק מול x ≠ 2, 5.
- תחום הצבה: שני המכנים הם x - 3, ולכן x ≠ 3.
- ניקוי מכנה: אותו מכנה בשני האגפים, ולכן x² = 9.
- פותרים: x = 3 או x = -3.
- x = 3 אסור (מאפס את המכנה) ולכן אינו קביל; נשאר רק x = -3.
תרגול מדורג - נעלם במכנה
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תחום ומשוואה בסיסית; פירוק מכנה ופתרון; קבילות ומחיקת פתרונות; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות ברמת מבחן. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "נעלם במכנה". בחרו תשובה, בדקו בהצבה, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1תחום קודם: מפרקים כל מכנה לגורמים ופוסלים כל ערך שמאפס אותו.
- 2ניקוי מכנה: מכפילים במכנה המשותף (כפל צולב) וממירים למשוואה ללא שברים.
- 3פותרים: המשוואה שנשארת ליניארית או ריבועית - פותרים כרגיל.
- 4בדיקת קבילות: משווים כל פתרון לתחום; פתרון על ערך אסור אינו קביל ונמחק.
- 5ייתכן ואין פתרון: אם כל השורשים נמחקו, למשוואה אין פתרון קביל.
| השלב | מה עושים | דוגמה |
|---|---|---|
| תחום הצבה | פוסלים כל ערך שמאפס מכנה | x - 3 = 0 → x ≠ 3 |
| פירוק המכנה | מפרקים מכנה ריבועי לגורמים | x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) |
| ניקוי מכנה | כופלים במכנה המשותף (כפל צולב) | 1/(x - 3) = 2 → 1 = 2(x - 3) |
| פתרון | פותרים את המשוואה שנשארת | 2x = 7 → x = 3.5 |
| בדיקת קבילות | מוחקים פתרון שמאפס מכנה | x²/(x - 3) = 9/(x - 3) → x = -3 (מוחקים x = 3) |
