תרגול מלבן, מעוין וריבוע
שלוש המקביליות המיוחדות, וסוד אחד שמבדיל ביניהן - האלכסונים. במלבן האלכסונים שווים, במעוין הם מאונכים וחוצים את הזוויות, ובריבוע גם וגם. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי תכונה בודדת ועד ניתוח, נימוק ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו: אלכסונים שווים ← מלבן, אלכסונים מאונכים ← מעוין.
בכל שורה בחרו את המסקנה הנכונה לפי תכונות האלכסונים: אלכסונים שווים ← מלבן; אלכסונים מאונכים ← מעוין; שווים וגם מאונכים ← ריבוע; במלבן כל הזוויות ישרות; במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". שווים ← מלבן · מאונכים ← מעוין · שניהם ← ריבוע
שווים או מאונכים? שלושתם מקביליות - שני זוגות צלעות מקבילות - אבל האלכסונים מספרים את הסיפור. "האלכסונים שווים?" - אם כן, זהו מלבן (AC = BD). "האלכסונים מאונכים?" - אם כן, זהו מעוין (AC ⊥ BD). כששתי התכונות מתקיימות יחד מקבלים ריבוע. אחרי שמזהים איזו תכונה חלה, כל תרגיל נפתח מאליו. ובכיוון ההפוך: שוויון אלכסונים מוכיח מלבן, וניצבות אלכסונים מוכיחה מעוין. בדף הזה נזכיר את הכללים במהירות.
האנטומיה של הריבוע - תזכורת
הריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין, ולכן הוא יורש את כל התכונות משניהם. במבט אחד על האלכסונים אפשר לראות את התכונות שהופכות אותו למרובע העשיר ביותר - שווים, מאונכים, חוצים זה את זה וגם חוצים את הזוויות. בכל שאלה: קודם מזהים איזו תכונה נתונה, ואז מיישמים אותה.
שש כרטיסיות תזכורת
שש התכונות והמשפטים שנותנים שליטה מלאה במשפחת המקביליות המיוחדות - תכונות המלבן, המעוין והריבוע, ושני המשפטים ההופכיים - בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד.
מלבן - הזוויות והאלכסונים
מלבן הוא מקבילית שכל זוויותיה ישרות (90°). מכאן נובע: האלכסונים במלבן שווים זה לזה (AC = BD) וחוצים זה את זה.
מעוין - הצלעות והאלכסונים
מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות. האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה (90°), חוצים זה את זה, וגם חוצים את זוויות המעוין.
ריבוע - שניהם יחד
הריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין. לכן האלכסונים בו שווים, מאונכים וחוצים זה את זה, וגם חוצים את הזוויות. זהו המרובע העשיר ביותר בתכונות.
משפט הופך למלבן
גם ההפך נכון: מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן. זהו כלי הוכחה חזק - מראים שוויון אלכסונים ומסיקים שהמרובע מלבן.
משפט הופך למעוין
גם כאן ההפך תקף: מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין. אם הוכחתם שהאלכסונים של מקבילית מאונכים - המרובע חייב להיות מעוין.
איך מזהים מרובע
מתחילים ממקבילית, בודקים את האלכסונים: שווים ← מלבן, מאונכים ← מעוין, שווים וגם מאונכים ← ריבוע. כל מסקנה נשענת על המשפט ההופך המתאים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות: זיהוי מרובע מהאלכסונים, חישוב אורך צלע מעוין מחצאי האלכסונים, וזיהוי ריבוע משתי תכונות. שימו לב לנימוק בכל שלב - הוא הלב של הגיאומטריה הדדוקטיבית. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- נתון: ABCD מקבילית, והאלכסונים שווים: AC = BD.
- איזו תכונה חלה: שוויון אלכסונים במקבילית הוא בדיוק תנאי המשפט ההופך למלבן.
- המסקנה: לפי המשפט ההופך, מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן, ולכן כל זוויות ABCD ישרות.
- ABCD הוא מלבן. (משפט הופך: שוויון אלכסונים ← מלבן)
- נתון: מעוין שאלכסוניו 6 ו-8. במעוין האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה.
- חצאי האלכסונים: נקודת החיתוך היא אמצע כל אלכסון, ולכן חצאיהם הם 3 ו-4.
- משולש ישר-זווית: האלכסונים מאונכים, ולכן חצאי האלכסונים הם ניצבים במשולש ישר-זווית שהיתר שלו הוא צלע המעוין.
- אורך הצלע: 3² + 4² = 25 = 5.
- נתון: ABCD מקבילית, האלכסונים שווים AC = BD וגם מאונכים AC ⊥ BD.
- מהשוויון - מלבן: מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן, ולכן כל זוויות ABCD ישרות.
- מהניצבות - מעוין: מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין, ולכן כל צלעות ABCD שוות.
- מרובע שהוא גם מלבן וגם מעוין הוא ריבוע. (חיתוך התכונות)
תרגול מדורג - מלבן, מעוין וריבוע
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תכונות בסיסיות וזיהוי מרובע; המשפטים ההופכיים, חצייה וחישוב צלע מעוין; טענות ומסקנות רב-שלביות; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. חלק מהשאלות דורשות חישוב מספרי וחלקן שאלות בחירה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "זיהוי מרובע". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מלבן: כל הזוויות ישרות, והאלכסונים שווים וחוצים זה את זה.
- 2מעוין: כל הצלעות שוות, והאלכסונים מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות.
- 3ריבוע: גם מלבן וגם מעוין - אלכסונים שווים, מאונכים וחוצים.
- 4משפט הופך: מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן.
- 5משפט הופך: מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין.
| המרובע | תכונת האלכסונים | המשפט ההופך |
|---|---|---|
| מלבן | שווים וחוצים זה את זה (AC = BD) | אלכסונים שווים ← מלבן |
| מעוין | מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות | אלכסונים מאונכים ← מעוין |
| ריבוע | שווים, מאונכים וחוצים זה את זה | שווים וגם מאונכים ← ריבוע |
