מלבן, מעוין וריבוע
שלוש מקביליות מיוחדות, וסוד אחד שמבדיל ביניהן - האלכסונים. גררו את המעבדה, מתחו מקבילית למלבן, למעוין ולריבוע, וראו במו עיניכם מתי האלכסונים שווים, מתי מאונכים, ומתי גם וגם.
מה מבדיל מרובע ממרובע? כולם מקביליות - שני זוגות צלעות מקבילות - אבל האלכסונים מספרים את הסיפור האמיתי. במלבן האלכסונים שווים, במעוין הם מאונכים, ובריבוע הם גם שווים וגם מאונכים. שתי תכונות פשוטות של קטע אחד קובעות בדיוק מול איזה מרובע אנחנו עומדים.
האנטומיה של הריבוע
הריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין, ולכן הוא יורש את כל התכונות משניהם. במבט אחד על האלכסונים אפשר לראות את שלוש התכונות שהופכות אותו למרובע המושלם:
שלושת המרובעים המיוחדים
שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה במשפחת המקביליות - התכונה, המשפט ההופכי, והדרך להוכיח לאיזה מרובע מתאים כל תיאור.
מלבן - הזוויות והאלכסונים
מלבן הוא מקבילית שכל זוויותיה ישרות (90°). מכאן נובעת תכונה חשובה: האלכסונים במלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
מעוין - הצלעות והאלכסונים
מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות. האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה (זווית 90°), חוצים זה את זה, וגם חוצים את זוויות המעוין.
ריבוע - שניהם יחד
הריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין. לכן האלכסונים בו שווים, מאונכים וחוצים זה את זה, וגם חוצים את הזוויות. זהו המרובע העשיר ביותר בתכונות.
המשפט ההופכי למלבן
לא רק שבמלבן האלכסונים שווים - גם ההפך נכון: מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן. זהו כלי הוכחה חזק: מראים שוויון אלכסונים ומסיקים שהמרובע מלבן.
המשפט ההופכי למעוין
גם כאן ההפך תקף: מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין. כלומר, אם הוכחתם שהאלכסונים של מקבילית מאונכים - המרובע חייב להיות מעוין.
איך בונים הוכחה
מתחילים ממקבילית, מוסיפים נתון על האלכסונים (שווים / מאונכים), ומצטטים את המשפט ההופכי המתאים כדי להסיק את שם המרובע. כל צעד מלווה בנימוק.
הוכחות פתורות
שלוש הוכחות, צעד אחר צעד עם נימוק לכל שלב. שימו לב לשיטה: נתון על המקבילית ועל האלכסונים, ואז המשפט ההופכי המתאים.
- נתון: ABCD מקבילית, והאלכסונים שווים: AC = BD.
- הצלעות המקבילות: במקבילית צלעות נגדיות שוות, ולכן AB = DC, וגם BC משותפת לשני המשולשים ABC ו-DCB.
- חפיפת משולשים: במשולשים ABC ו-DCB: AB = DC, BC = CB, ו-AC = DB (הנתון). לפי צ.צ.צ המשולשים חופפים.
- מסקנה על הזווית: מהחפיפה ∠ABC = ∠DCB. שתי זוויות אלה גם משלימות ל-180° (זוויות שנמצאות בין מקבילים), ולכן כל אחת מהן 90°.
- למקבילית יש זווית ישרה, ולכן היא מלבן. (משפט הופכי למלבן)
- נתון: ABCD מקבילית, והאלכסונים מאונכים: AC ⊥ BD. נסמן את חיתוך האלכסונים ב-O.
- אלכסוני מקבילית: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן AO = OC.
- הניצב המשותף: במשולשים ABO ו-CBO: AO = OC, הצלע BO משותפת, והזווית ביניהן ∠AOB = ∠COB = 90° (הנתון).
- חפיפה ומסקנה: לפי צ.ז.צ המשולשים חופפים, ולכן AB = CB. שתי צלעות סמוכות במקבילית שוות.
- למקבילית יש שתי צלעות סמוכות שוות, ולכן כל צלעותיה שוות והיא מעוין. (משפט הופכי למעוין)
- נתון: ABCD מקבילית, האלכסונים שווים AC = BD וגם מאונכים AC ⊥ BD.
- מהשוויון - מלבן: מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן, ולכן כל זוויות ABCD ישרות.
- מהניצבות - מעוין: מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין, ולכן כל צלעות ABCD שוות.
- מחברים את השניים: מרובע שהוא גם מלבן וגם מעוין הוא ריבוע (זוויות ישרות וצלעות שוות).
- ABCD הוא ריבוע. (חיתוך התכונות של מלבן ומעוין)
תרגול אינטראקטיבי
כל התרגילים כאן מבוססים על תכונות המלבן, המעוין והריבוע, מסודרים לפי שלושה שלבים: בסיס, ביניים ואתגר. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון והמזהה של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מלבן: כל הזוויות ישרות, והאלכסונים שווים וחוצים זה את זה.
- 2מעוין: כל הצלעות שוות, והאלכסונים מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות.
- 3ריבוע: גם מלבן וגם מעוין - אלכסונים שווים, מאונכים וחוצים.
- 4משפט הופכי: מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן.
- 5משפט הופכי: מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין.
