תרגול נוסחאות הכפל המקוצר
כל מה שלמדנו על שלוש הנוסחאות - ריבוע סכום (a + b)² = a² + 2ab + b², ריבוע הפרש (a - b)² = a² - 2ab + b² והפרש ריבועים (a - b)(a + b) = a² - b² - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפיתוח בסיסי ועד ניתוח, איתור טעות וטענות ברמת מבחן. זכרו את הלב של הכול: האיבר האמצעי 2ab - הוא שני המלבנים שבריבוע, ולעולם אסור לשכוח אותו.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - האיבר האמצעי 2ab, האיבר החופשי b², מקדם x², פיתוח מלא או פירוק חזרה. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". ריבוע סכום (a + b)² = a² + 2ab + b² · הפרש ריבועים (a - b)(a + b) = a² - b²
שלוש נוסחאות, פתיחה בשורה אחת. נוסחאות הכפל המקוצר מקצרות פתיחת סוגריים של מכפלה שלמה: (a + b)² ו-(a - b)² נותנות ריבוע של כל איבר ועוד (או פחות) פעמיים המכפלה 2ab, ו-(a - b)(a + b) מוחקת את האמצע ומשאירה a² - b². באותו כיוון הפוך אפשר גם לפרק: x² - 25 = (x - 5)(x + 5). בדף הזה נחזור במהירות על הכללים.
האנטומיה של ריבוע סכום - תזכורת
כל נוסחת כפל מקוצר בנויה משני איברים בסוגריים. בריבוע סכום כל אחד מהם תורם אריח שטח משלו - ריבוע האיבר הראשון a², ריבוע האיבר השני b², ופעמיים המכפלה שלהם 2ab. מזהים את a ואת b, מרובעים כל אחד, ומחשבים את האמצעי.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים משלוש נוסחאות הכפל המקוצר של כיתה ט, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משלוש הנוסחאות ועד המקדם שמתרבע והטעות הנפוצה.
ריבוע סכום
מרובעים כל איבר ומוסיפים פעמיים את המכפלה: (a + b)² = a² + 2ab + b². לדוגמה (x + 4)² = x² + 8x + 16.
ריבוע הפרש
אותו מבנה, אבל האיבר האמצעי שלילי: (a - b)² = a² - 2ab + b². לדוגמה (x - 3)² = x² - 6x + 9.
הפרש ריבועים
מכפלה של סכום בהפרש של אותם איברים מוחקת את האמצע: (a - b)(a + b) = a² - b². לדוגמה (x - 5)(x + 5) = x² - 25.
פירוק לגורמים
אותה נוסחה גם בכיוון ההפוך: הפרש ריבועים מתפרק לסכום כפול הפרש. x² - 25 = (x - 5)(x + 5), וכן x² - 49 = (x - 7)(x + 7).
כשלאיבר יש מקדם
מרובעים גם את המקדם. ב-(2x + 3)² האיבר הראשון הוא (2x)² = 4x², ולכן (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.
הטעות הנפוצה
הסימן ² אינו מתחלק על סכום: (a + b)² ≠ a² + b². חייבים תמיד את האיבר האמצעי 2ab - הוא שני המלבנים שבריבוע.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מהבנק, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: מזהים את הנוסחה, מרובעים כל איבר, ומחשבים את האיבר האמצעי. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים נוסחה: זהו ריבוע סכום (a + b)² עם a = 2x ו-b = 3.
- מרובעים כל איבר: a² = (2x)² = 4x² ו-b² = 3² = 9.
- האיבר האמצעי: 2ab = 2 · 2x · 3 = 12x.
- התוצאה: (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.
- מזהים נוסחה: זהו ריבוע הפרש (a - b)² עם a = x ו-b = 3.
- מרובעים כל איבר: a² = x² ו-b² = 3² = 9.
- האיבר האמצעי (שלילי): -2ab = -2 · x · 3 = -6x.
- התוצאה: (x - 3)² = x² - 6x + 9.
- מזהים נוסחה: זו מכפלת הפרש בסכום - הפרש ריבועים (a - b)(a + b) עם a = x ו-b = 5.
- מפעילים את הנוסחה: (a - b)(a + b) = a² - b², כלומר x² - 5².
- מחשבים: 5² = 25, והאיבר האמצעי מתבטל.
- התוצאה: (x - 5)(x + 5) = x² - 25.
תרגול מדורג - נוסחאות הכפל המקוצר
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פיתוח נוסחה אחת עם מספרים נוחים; מקדמים, זיהוי ופירוק; פשטו רב-שלבי, חישוב מספרי וטענות; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "כפל מקוצר". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ריבוע סכום: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- 2ריבוע הפרש: (a - b)² = a² - 2ab + b².
- 3הפרש ריבועים: (a - b)(a + b) = a² - b², וגם בכיוון ההפוך לפירוק.
- 4מקדם מתרבע גם הוא: (2x)² = 4x², לא 2x².
- 5שימו לב: (a + b)² ≠ a² + b² - האיבר האמצעי 2ab חובה.
| הנוסחה | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| ריבוע סכום | a² + 2ab + b² | (x + 4)² = x² + 8x + 16 |
| ריבוע הפרש | a² - 2ab + b² | (x - 3)² = x² - 6x + 9 |
| הפרש ריבועים | a² - b² | (x - 5)(x + 5) = x² - 25 |
| מקדם מתרבע | (k·x)² = k²x² | (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 |
| פירוק לגורמים | a² - b² = (a - b)(a + b) | x² - 49 = (x - 7)(x + 7) |
