נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ט׳ חטיבת הביניים
נוסחאות הכפל המקוצר

לפתח בלי לטעות עם נוסחאות הכפל

שלוש נוסחאות שמקצרות פתיחת סוגריים למכפלה שלמה בשורה אחת: ריבוע סכום, ריבוע הפרש והפרש ריבועים. גררו את הריבוע והתבוננו איך (a + b)² נבנה מ-a², 2ab ו-b² - ואז תפתחו כל ביטוי בעצמכם.

מעבדת השטח גררו את a ואת b וצפו בארבעת האריחים
a b a² ab ab b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
האיבר הראשון (a)4
האיבר השני (b)3
4² + 2·4·3 + 3² = 16 + 24 + 9 = 49

למה נוסחה? ריבוע שצלעו a + b מתחלק לארבעה חלקים: ריבוע גדול a², שני מלבנים זהים a·b וריבוע קטן b². סכום שטחיהם הוא בדיוק a² + 2ab + b². כך הגאומטריה מוכיחה את הנוסחה (a + b)² = a² + 2ab + b² - ומכאן נבנות שלוש הנוסחאות של הפרק.

מבט מקרוב

האנטומיה של ריבוע סכום

כל נוסחת כפל מקוצר בנויה משני איברים בסוגריים. בריבוע סכום כל אחד מהם תורם אריח שטח משלו: ריבוע האיבר הראשון, ריבוע האיבר השני, ופעמיים המכפלה שלהם. כשמזהים את שלושת החלקים, פותחים כל ביטוי במבט אחד.

שלושת האיברים של (a + b)²
a² + 2ab + b² ריבוע האיבר הראשון פעמיים המכפלה ריבוע האיבר השני פיתוח של (a + b)²
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב נוסחת כפל מקוצר

שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בשלוש הנוסחאות. נסו לפתח כל ביטוי במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וודאו שהתוצאה תואמת.

1

ריבוע סכום

מרובעים כל איבר ומוסיפים פעמיים את המכפלה: (a + b)² = a² + 2ab + b². לדוגמה (x + 4)² = x² + 8x + 16.

2

ריבוע הפרש

אותו מבנה, אבל האיבר האמצעי שלילי: (a − b)² = a² − 2ab + b². לדוגמה (x − 3)² = x² − 6x + 9.

3

הפרש ריבועים

מכפלה של סכום בהפרש של אותם איברים מוחקת את האמצע: (a − b)(a + b) = a² − b². לדוגמה (x − 5)(x + 5) = x² − 25.

4

למה נעלם האיבר האמצעי

בפתיחת (a − b)(a + b) מקבלים a² + ab − ab − b². שני האיברים +ab ו-−ab מבטלים זה את זה, ונשאר a² − b².

5

כשלאיבר יש מקדם

מרובעים גם את המקדם. ב-(2x + 3)² האיבר הראשון הוא (2x)² = 4x², ולכן (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.

6

הטעות הנפוצה

הסימן ² אינו מתחלק על סכום: (a + b)² ≠ a² + b². חייבים תמיד את האיבר האמצעי 2ab - הוא שני המלבנים שבריבוע.

a² b²
(a + b)²
ריבוע סכום - אמצעי חיובי +2ab
a² −
(a − b)²
ריבוע הפרש - אמצעי שלילי −2ab
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מהבנק, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: מזהים את הנוסחה, מרובעים כל איבר, ומחשבים את האיבר האמצעי.

דוגמה 1(2x + 3)²
  1. מזהים נוסחה: זהו ריבוע סכום (a + b)² עם a = 2x ו-b = 3.
  2. מרובעים כל איבר: a² = (2x)² = 4x² ו-b² = 3² = 9.
  3. האיבר האמצעי: 2ab = 2 · 2x · 3 = 12x.
  4. התוצאה: (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.
דוגמה 2(x − 3)²
  1. מזהים נוסחה: זהו ריבוע הפרש (a − b)² עם a = x ו-b = 3.
  2. מרובעים כל איבר: a² = x² ו-b² = 3² = 9.
  3. האיבר האמצעי (שלילי): −2ab = −2 · x · 3 = −6x.
  4. התוצאה: (x − 3)² = x² − 6x + 9.
דוגמה 3(x − 5)(x + 5)
  1. מזהים נוסחה: זו מכפלת הפרש בסכום - הפרש ריבועים (a − b)(a + b) עם a = x ו-b = 5.
  2. מפעילים את הנוסחה: (a − b)(a + b) = a² − b², כלומר x² − 5².
  3. מחשבים: 5² = 25, והאיבר האמצעי מתבטל.
  4. התוצאה: (x − 5)(x + 5) = x² − 25.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף, מחולק לשלושה שלבים (בסיס, ביניים, אתגר) ולסט מעורב. כל התרגילים הם וריאציות על שלוש הנוסחאות שבבנק. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1ריבוע סכום: (a + b)² = a² + 2ab + b².
  • 2ריבוע הפרש: (a − b)² = a² − 2ab + b².
  • 3הפרש ריבועים: (a − b)(a + b) = a² − b².
  • 4מקדם מתרבע גם הוא: (2x)² = 4x², לא 2x².
  • 5שימו לב: (a + b)² ≠ a² + b² - האיבר האמצעי 2ab חובה.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את a ואת b. הריבוע הגדול מתחלק לארבעה אריחים, וזו הנוסחה בעיניים.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי