הטרפז ושני בסיסים מקבילים
כל מה שקורה בטרפז נובע ממקבילוּת הבסיסים: שתי הזוויות שליד אותה שוק משלימות ל-180°, ובטרפז שווה-שוקיים גם זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים. נלמד להוכיח את התכונות, להשתמש במשפט ההפוך, ולשבץ טרפז במערכת צירים. גררו את הבסיסים במעבדה וראו את סכום הזוויות נשמר.
מקבילוּת אחת, שרשרת שלמה של מסקנות. ברגע שיודעים ששני הבסיסים מקבילים, השוק היא חותך שלהם - וכל מה שלמדנו על זוויות בין מקבילים מופעל מיד. שתי הזוויות שליד אותה שוק משלימות זו את זו ל-180°, ולכן זווית בסיס של 70° גוררת 110° מולה. וזה עובד גם בכיוון ההפוך: אם מצאנו שתי זוויות כאלה, הוכחנו שהישרים מקבילים.
האנטומיה של טרפז
לכל טרפז שני בסיסים מקבילים (הגדול והקטן) ושתי שוקיים. כל שוק היא חותך של שני הבסיסים, ולכן היא מייצרת את זוג הזוויות שסכומן 180°. כשמזהים את החלקים, קל לדעת איזו תכונה מפעילים בכל שאלה - ובאיזה כיוון מותר להסיק.
מה מרכיב טרפז
שישה רעיונות על ישרים מקבילים וטרפז: מהגדרת הבסיסים, דרך הזוויות והתכונות של טרפז שווה-שוקיים, ועד הוכחת מקבילוּת ושיבוץ טרפז במערכת צירים. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הבסיסים תוך כדי קריאה.
מהו טרפז
מרובע שיש בו זוג אחד של צלעות מקבילות, הנקראות בסיסים (לרוב AB ו-DC). שתי הצלעות האחרות הן השוקיים.
הזוויות שליד שוק
הבסיסים מקבילים והשוק היא חותך שלהם, ולכן שתי הזוויות שליד אותה שוק סכומן 180°. אם זווית בסיס אחת היא 70°, הזווית שליד אותה שוק היא 110°. (לזוג הזה יש גם שם, "זוויות חד-צדדיות", אבל אין חובה להכיר אותו. מה שחשוב הוא התכונה: סכומן 180°.)
טרפז שווה-שוקיים
טרפז שבו השוקיים שוות. מכך נובע: זוויות הבסיס שוות (בכל בסיס), והאלכסונים שווים זה לזה. אלה שתי תוצאות שמוכיחים ומשתמשים בהן.
המשפט ההפוך
גם הכיוון ההפוך נכון: טרפז שאלכסוניו שווים הוא טרפז שווה-שוקיים, וכך גם טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות. בהוכחה תמיד ציינו באיזה כיוון אתם משתמשים.
להוכיח שישרים מקבילים
אותם משפטים עובדים לאחור, וכך מוכיחים שמרובע הוא טרפז: אם זוג זוויות מתחלפות שווה, או זוג זוויות מתאימות שווה, או שתי זוויות שליד אותו חותך שסכומן 180° - הישרים מקבילים.
טרפז במערכת צירים
כששרטטו את הקדקודים לפי שיעורים, מזהים בסיסים מקבילים לפי שתי צלעות אופקיות (אותו y בכל אחת). למשל A(0,0), B(10,0), C(8,4), D(2,4) הוא טרפז שבסיסיו 10 ו-6.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בדיוק כמו שפותרים בבחינה. שימו לב לנימוקים - בגיאומטריה דדוקטיבית כל שלב חייב סיבה.
- נתון: טרפז שווה-שוקיים שבו זווית בסיס אחת שווה 70°.
- הזווית שליד אותה שוק: הבסיסים מקבילים והשוק חותכת אותם, ולכן סכום שתי הזוויות שליד השוק הוא 180°: 180° - 70° = 110°.
- הזווית השנייה בבסיס: בטרפז שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולכן גם היא 70°, וממילא השנייה בבסיס הנגדי היא 110°.
- הזוויות הן 70°, 70°, 110°, 110°, וסכומן 360° כמו בכל מרובע.
- מזהים את הכיוון: נתונים האלכסונים ומבקשים את השוקיים, ולכן משתמשים במשפט ההפוך, ולא בתכונה הישירה.
- מנסחים את המשפט: טרפז שאלכסוניו שווים זה לזה הוא טרפז שווה-שוקיים.
- מפעילים על הנתון: נתון AC = BD, כלומר האלכסונים שווים.
- לכן AD = BC - השוקיים שוות, והטרפז שווה-שוקיים. מכאן נובע גם שזוויות הבסיס שוות.
- בודקים מקבילוּת: ל-A ול-B אותו y = 0, ול-C ול-D אותו y = 4. שתי הצלעות אופקיות, ולכן AB ∥ DC.
- מודדים את הבסיסים: AB = 10 - 0 = 10 ו-DC = 8 - 2 = 6. הבסיסים שונים, ולכן זהו טרפז ולא מקבילית.
- בודקים סימטריה: מורידים גבהים מ-D ומ-C אל AB, ונוצרים שני משולשים ישרי-זווית. באחד הניצבים הם 2 (מ-A ימינה עד רגל הגובה) ו-4 (הגובה), ובשני 2 (מ-B שמאלה עד רגל הגובה) ו-4. המשולשים חופפים לפי צלע, זווית, צלע, ולכן AD = BC: השוקיים שוות.
- זהו טרפז שווה-שוקיים שבסיסיו 10 ו-6, ולכן גם אלכסוניו שווים.
תרגול אינטראקטיבי
ארבעה-עשר תרגילים בשלושה שלבי קושי: בסיס, ביניים ואתגר. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את מחשבון נדב כץ - ובו לשונית לחישוב הזווית הצמודה בשוק.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1טרפז: מרובע עם זוג אחד של צלעות מקבילות (בסיסים).
- 2זוויות ליד שוק: סכומן 180°. ל-70° מתאימה 110°.
- 3שווה-שוקיים: שוקיים שוות ⟸⟹ זוויות בסיס שוות ⟸⟹ אלכסונים שווים.
- 4כיוון ההוכחה: ציינו תמיד אם אתם משתמשים בתכונה או במשפט ההפוך.
- 5במערכת צירים: שתי צלעות עם אותו y הן בסיסים מקבילים.
