מתמטיקה

פתרון הדרך: גדילה באחוז קבוע פירושה הכפלה חוזרת באותו מקדם. גדילה של 40% פירושה שבסוף כל שנה יש 140% ממה שהיה בתחילתה, כלומר המקדם השנתי הוא 1.4. קדימה בזמן מכפילים במקדם, אחורה בזמן מחלקים בו - וזה כל ההבדל בין שני חלקי סעיף א. בסעיף האחרון פשוט ממשיכים להכפיל שנה אחר שנה עד שעוברים את הסף.
המקדם השנתי: 1 + 40100 = 1.4.
א. (1) משנת 2022 עד שנת 2024 עברו שנתיים, ולכן מכפילים פעמיים:
14,000 · 1.4² = 14,000 · 1.96 = 27,440 משתמשים
(2) שנת 2021 היא שנה אחת לפני 2022, ולכן מחלקים במקדם:
14,0001.4 = 10,000 משתמשים
ב. 2021 חושבה בסעיף א(2), ו-2024 חושבה בסעיף א(1). נותרה 2023:
14,000 · 1.4 = 19,600 משתמשים
הטבלה המלאה:
ג. נמשיך משנת 2024:
2025: 27,440 · 1.4 = 38,416 משתמשים. זה כבר גדול מ-30,000, ואילו בתחילת 2024 היו רק 27,440 משתמשים, פחות מן הסף.
לכן הצורך בשרת נוסף יתעורר בתחילת שנת 2025.

פתרון הדרך: שני הרמזורים בלתי תלויים, ולכן הסתברות של שני מצבים שקורים יחד היא מכפלת ההסתברויות. "בדיוק אחד" מתפצל לשני מקרים זרים שמחברים ביניהם, ו"אף אחד" הוא מכפלת שתי ההסתברויות המשלימות. הסעיף האחרון אינו חישוב אלא הסבר: שלושת המאורעות זרים זה לזה ויחד הם מכסים את כל האפשרויות.
ההסתברויות המשלימות: הרמזור הראשון אינו ירוק בהסתברות 0.6, והשני אינו ירוק בהסתברות 0.25.
א. P = 0.4 · 0.75 = 0.3
ב. שני מקרים זרים - הראשון ירוק והשני לא, או הראשון לא ירוק והשני כן:
P = 0.4 · 0.25 + 0.6 · 0.75 = 0.1 + 0.45 = 0.55
ג. P = 0.6 · 0.25 = 0.15
ד. שלושת המאורעות זרים זה לזה: אי אפשר ששני הרמזורים יהיו ירוקים וגם שרק אחד מהם יהיה ירוק. מצד אחר, בכל מעבר של מאיה בהכרח מתקיים בדיוק אחד מהם: מספר הרמזורים הירוקים יכול להיות רק 0, 1 או 2. מאורעות זרים שמכסים את כל האפשרויות - סכום ההסתברויות שלהם הוא 1, ואכן 0.3 + 0.55 + 0.15 = 1.

פתרון הדרך: בשאלה הזאת אין אף זווית נתונה, ולכן הדמיון אינו יכול לנבוע מזוויות אלא מן הצלעות בלבד: כאשר שלושת זוגות הצלעות המתאימות נמצאים באותו יחס, המשולשים דומים. היחס המשותף הזה הוא יחס הדמיון, וממנו נובעים מיד יחס ההיקפים, שהוא יחס הדמיון עצמו, ויחס השטחים, שהוא ריבוע יחס הדמיון. כדי לחשב שטח בכלל דרוש גובה, ולכן בודקים תחילה במשפט פיתגורס ההפוך אם המשולש ישר-זווית - ואם כן, שני הניצבים משמשים בסיס וגובה זה לזה.
א. נבדוק את היחס בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות:
DEAB = 1216 = 34 , DFAC = 912 = 34 , EFBC = 1520 = 34
שלושת היחסים שווים זה לזה, ולכן המשולשים DEF ו-ABC דומים זה לזה (דמיון צלע-צלע-צלע), וסדר הקודקודים המתאים הוא D↔A , E↔B , F↔C.
ב. יחס הדמיון הוא היחס המשותף שמצאנו:
k = 34 = 0.75
ג. P_ABC = 16 + 12 + 20 = 48 מטרים
P_DEF = 12 + 9 + 15 = 36 מטרים
היחס בין ההיקפים: 3648 = 34 - שווה ליחס הדמיון, כמצופה.
ד. (1) הצלע הארוכה ביותר בערוגה הגדולה היא BC. נבדוק לפי משפט פיתגורס ההפוך:
AB² + AC² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
BC² = 20² = 400
שני האגפים שווים, ולכן המשולש ABC הוא ישר-זווית. הזווית הישרה היא הזווית שמול הצלע הארוכה BC, כלומר ∢A.
(2) הצלעות AB ו-AC הן הניצבים, ולכן
S_ABC = 16 · 122 = 96 מ"ר
יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון:
S_DEF = 96 · (34)² = 96 · 916 = 54 מ"ר
(בדיקה ישירה: גם DEF ישר-זווית, כי 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15², ולכן S_DEF = 12 · 92 = 54 מ"ר - מתאים.)
שתי הערוגות יחד: 96 + 54 = 150 מ"ר.
150 < 160, ולכן כן - שק אחד יספיק, ותישאר בו אדמה לעוד 10 מ"ר.

פתרון הדרך: העמוד מאונך לקרקע, ולכן כל אחת משתי המגלשות סוגרת עם העמוד ועם הקרקע משולש ישר-זווית שהמגלשה היא היתר שלו. שני המשולשים חולקים את אותו ניצב אנכי - גובה העמוד - מפני ששתי המגלשות מגיעות אל אותה נקודה A. זהו הציר של כל השאלה: את הגובה מוצאים פעם אחת מן המגלשה הישנה, ומשם הוא נתון קבוע שממנו משחזרים את המגלשה החדשה.
במשולש הישן נתונים היתר וזווית, ולכן הניצבים מתקבלים ב-sin וב-cos. במשולש החדש נתונים דווקא הזווית והניצב שמולה, ולכן הכיוון מתהפך: את היתר מקבלים כאשר מחלקים את הניצב האנכי ב-sin של הזווית, ואת הניצב האופקי כאשר מחלקים אותו ב-tan שלה.
א. במשולש ישר-הזווית ABC (הזווית B ישרה) הניצב AB נמצא מול הזווית 28°, והיתר הוא AC = 6:
AB = 6 · sin 28° = 6 · 0.4695 ≈ 2.82 מטרים.
ב. הניצב BC נמצא ליד הזווית 28°:
BC = 6 · cos 28° = 6 · 0.8829 ≈ 5.30 מטרים.
ג. (1) במשולש ישר-הזווית ABD (הזווית B ישרה) הניצב AB ≈ 2.8168 נמצא מול הזווית 20°, והיתר הוא AD:
sin 20° = ABAD , ולכן AD = 2.8168sin 20° = 2.81680.3420 ≈ 8.24 מטרים.
(2) באותו משולש BD הוא הניצב שליד הזווית 20°:
tan 20° = ABBD , ולכן BD = 2.8168tan 20° = 2.81680.3640 ≈ 7.74 מטרים.
(בדיקה במשפט פיתגורס: 2.8168² + 7.7392² = 7.93 + 59.90 = 67.83 ≈ 8.24 - מתאים.)
ד. הקצה התחתון עבר מן הנקודה C אל הנקודה D, ושתיהן נמצאות על הקרקע באותו צד של העמוד:
BD - BC = 7.7392 - 5.2977 ≈ 2.44 מטרים.
לכן הקצה התחתון של המגלשה התרחק מבסיס העמוד ב-2.44 מטרים בקירוב.

פתרון הדרך: בטבלת שכיחויות המחיר אינו מופיע פעם אחת אלא כמספר הספרים שנמכרו בו, ולכן ההכנסה היא סכום המכפלות מחיר כפול שכיחות, והממוצע הוא ההכנסה חלקי מספר הספרים - ממוצע משוקלל. השכיח הוא המחיר בעל השכיחות הגדולה ביותר. שלושת ההיגדים אינם ניתנים להכרעה בלי החציון, ולכן יש למצוא אותו בדרך, בעזרת ספירה מצטברת ולא בעזרת הממוצע; ההיגד השלישי אף דורש לחשב מחדש את החציון אחרי שינוי מספר הספרים.
א. (1) 12 + 20 + 10 + 8 = 50 ספרים
(2) 40 · 12 + 60 · 20 + 80 · 10 + 120 · 8 = 480 + 1,200 + 800 + 960 = 3,440 שקלים
(3) 3,44050 = 68.8 שקלים
ב. השכיחות הגדולה ביותר בטבלה היא 20 ספרים, והיא שייכת למחיר 60 שקלים.
ג.
I. נכון. במחיר 60 שקלים או פחות נמכרו 12 + 20 = 32 ספרים, וזה יותר ממחצית מ-50.
II. נכון. כדי להכריע דרוש החציון. מספר הספרים זוגי (50), ולכן החציון הוא הממוצע של המחיר במקום ה-25 והמחיר במקום ה-26, כשמסדרים את המחירים מן הקטן לגדול.
ספירה מצטברת: מחיר 40 תופס את המקומות 1 עד 12, ומחיר 60 תופס את המקומות 13 עד 32.
המקום ה-25 והמקום ה-26 נמצאים שניהם בקבוצת 60 שקלים, ולכן החציון הוא 60 שקלים, והממוצע 68.8 אכן גדול ממנו.
III. אינו נכון. אחרי התוספת יש 54 ספרים, ולכן החציון הוא הממוצע של המקום ה-27 והמקום ה-28. ארבעת הספרים שנוספו יקרים מכולם ולכן הם נכנסים בסוף הרשימה, וקבוצת 60 שקלים עדיין תופסת את המקומות 13 עד 32. גם המקום ה-27 וגם המקום ה-28 בקבוצה זו, והחציון נשאר 60 שקלים - כלומר אינו משתנה.
ד. סטיית התקן היא השורש של ממוצע ריבועי הסטיות מן הממוצע 68.8. הסטיות הן -28.8 , -8.8 , 11.2 , 51.2 שקלים, וריבועיהן 829.44 , 77.44 , 125.44 , 2,621.44.
12 · 829.44 + 20 · 77.44 + 10 · 125.44 + 8 · 2,621.44 = 9,953.28 + 1,548.8 + 1,254.4 + 20,971.52 = 33,728
ממוצע ריבועי הסטיות: 33,72850 = 674.56, ולכן
סטיית התקן = 674.56 ≈ 25.97 שקלים.

פתרון הדרך: הנחה באחוזים היא כפל במקדם קבוע: הנחה של 25% משאירה 75% מן המחיר, כלומר כפל ב-0.75, והנחה של 10% משאירה 90%, כלומר כפל ב-0.9. שתי ההנחות פועלות זו אחר זו על מחירים שונים, ולכן אי אפשר לחבר ביניהן; המקדם הכולל הוא מכפלת שני המקדמים. ההנחה הכוללת נמדדת תמיד ביחס למחיר המקורי, ומחיר מקורי שאינו ידוע נמצא בחילוק במקדם הכולל.
א. הנחה של 25% משאירה 75% מן המחיר:
400 · 0.75 = 300 שקלים
ב. ההנחה הנוספת היא 10% מן המחיר שאחרי ההנחה הראשונה, ולכן היא משאירה 90% מ-300 שקלים:
300 · 0.9 = 270 שקלים
ג. ההפרש מן המחיר המקורי: 400 - 270 = 130 שקלים.
את האחוז מחשבים מן המחיר המקורי:
130400 = 0.325 = 32.5%
שימו לב: ההנחה הכוללת אינה 25% + 10% = 35%, מפני שההנחה השנייה חושבה ממחיר קטן יותר.
ד. שתי ההנחות יחד הן כפל במקדם 0.75 · 0.9 = 0.675.
נסמן ב-x את המחיר המקורי של זוג הנעליים:
0.675x = 189
x = 1890.675 = 280 שקלים
(בדיקה: 280 · 0.75 = 210 , 210 · 0.9 = 189 - מתאים.)