מתמטיקה

פתרון הדרך: הנתון היחיד בשאלה הוא כמות של שנה אחת באמצע הדרך, ולא של שנת הפתיחה, ולכן הצעד הראשון הוא ללכת אחורה בזמן. הליכה קדימה פירושה הכפלה במקדם, ולכן הליכה אחורה פירושה חלוקה בו - שנה אחת אחורה, חלוקה אחת. את הכמות של 2021 חייבים למצוא לא רק כדי לענות על סעיף א: היעד עצמו מוגדר ביחס אליה, ולכן בלעדיה אין כלל סף להשוות אליו. משנקבע הסף, שני הסעיפים האחרונים הם הליכה קדימה - האחד עד שנה מסוימת, והאחר עד השנה הראשונה שבה הכמות יורדת מתחת לסף.
א. ירידה של 20% משאירה 80%, ולכן המקדם השנתי הוא 0.8. משנת 2021 לשנת 2023 עוברות שתי שנים, כלומר הוכפל פעמיים ב-0.8:
כמות 2021 · 0.8² = 51,200
כמות 2021 = 51,2000.64 = 80,000 טונות
ב. משנת 2023 לשנת 2026 עוברות שלוש שנים:
51,200 · 0.8³ = 51,200 · 0.512 = 26,214.4 טונות
ג. (1) היעד הוא לרדת מתחת למחצית מכמות 2021:
80,0002 = 40,000 טונות
בתחילת שנת 2026 הכמות היא 26,214.4 טונות, ו-26,214.4 < 40,000, ולכן היעד יושג עד אז.
(2) נחשב שנה אחר שנה מן הפתיחה:
2021: 80,000
2022: 80,000 · 0.8 = 64,000
2023: 64,000 · 0.8 = 51,200 (מתאים לנתון)
2024: 51,200 · 0.8 = 40,960 - עדיין גדול מ-40,000
2025: 40,960 · 0.8 = 32,768 - קטן מ-40,000
לכן היעד יושג לראשונה בתחילת שנת 2025.
(שימו לב: הכמות אינה יורדת למחצית כעבור שנתיים וחצי כפי שאפשר היה לנחש מ-20% לשנה, אלא רק כעבור ארבע שנים, מפני שכל שנה מורידה 20% מכמות קטֵנה יותר.)

פתרון הדרך: הבדיקות בלתי תלויות, ולכן ההסתברות ששני מוצרים תקינים היא מכפלת ההסתברויות. "לפחות אחד פגום" הוא בדיוק המשלים של "שניהם תקינים", ולכן מחסרים מ-1 במקום לחבר מקרים. "בדיוק אחד פגום" מתפצל לשני מקרים זרים שמחברים ביניהם. בסעיף האחרון שני המוצרים מאותו פס, ולכן שתי ההסתברויות שוות.
ההסתברויות המשלימות: מוצר מן הפס הראשון פגום בהסתברות 0.05, ומוצר מן הפס השני פגום בהסתברות 0.1.
א. P = 0.95 · 0.9 = 0.855
ב. P = 1 - 0.855 = 0.145
ג. שני מקרים זרים - הראשון תקין והשני פגום, או הראשון פגום והשני תקין:
P = 0.95 · 0.1 + 0.05 · 0.9 = 0.095 + 0.045 = 0.14
(בדיקה: המקרה היחיד שנשאר בתוך סעיף ב ואינו בסעיף ג הוא ששני המוצרים פגומים, 0.05 · 0.1 = 0.005, ואכן 0.14 + 0.005 = 0.145.)
ד. שני המוצרים מן הפס הראשון, ולכן
P = 0.95 · 0.95 = 0.9025

פתרון הדרך: במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס יורד אל אמצע הבסיס, ולכן הוא חוצה אותו ויוצר משולש ישר-זווית שבו ידועים היתר (השוק) וניצב אחד (חצי הבסיס) - וזה בדיוק משפט פיתגורס. משנמצא הגובה, השטח הוא בסיס כפול גובה חלקי 2. במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, ולכן מן ההיקפים אפשר לקרוא את יחס הדמיון ישירות, ואילו יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. בסעיף האחרון מחברים את שני השטחים ומשווים לשטח היריעה.
א. (1) הגובה יורד אל אמצע הבסיס, ולכן BM = 482 = 24 ס"מ.
במשולש ABM הזווית שליד M ישרה, ולפי משפט פיתגורס:
AM² = 40² - 24² = 1,600 - 576 = 1,024 , ולכן AM = 32 ס"מ
(2) S = 48 · 322 = 768 סמ"ר
ב. (1) היקף השלט הגדול:
48 + 40 + 40 = 128 ס"מ
יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, ולכן
k = 64128 = 12
(2) הבסיס EF מתאים לבסיס BC, ולכן
EF = 48 · 12 = 24 ס"מ
ג. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:
S_DEF = 768 · (12)² = 768 · 14 = 192 סמ"ר
ד. השטח הכולל של שני השלטים:
768 + 192 = 960 סמ"ר
960 < 1,000, ולכן כן - יריעה אחת תספיק, וייוותרו ממנה 1,000 - 960 = 40 סמ"ר.

פתרון הדרך: המגדלור מאונך לפני הים, ולכן ABC הוא משולש ישר-זווית שבו קו הראייה AC הוא היתר. מן היתר והזווית נקבל את שני הניצבים ב-sin וב-cos. בסעיף ג הזווית הגדולה יותר נמדדת אל ראש הפנס, ולכן נחליף את הניצב האנכי ב-BD = BC + CD ונשתמש ב-tan⁻¹. בסעיף ד הנקודה G יוצרת משולש ישר-זווית חדש עם אותו גובה BC, ולכן נסיים בפיתגורס.
א. במשולש ישר-הזווית ABC (הזווית B ישרה), הניצב BC נמצא מול הזווית 24° והיתר הוא AC = 120:
BC = 120 · sin 24° = 120 · 0.40674 ≈ 48.81 מטרים.
ב. הניצב AB נמצא ליד הזווית 24°:
AB = 120 · cos 24° = 120 · 0.91355 ≈ 109.63 מטרים.
ג. הזווית DAB נמצאת באותו משולש ישר-זווית, אבל הניצב שמולה הוא הקטע כולו:
BD = BC + CD ≈ 48.808 + 6 = 54.808 מטרים.
ידועים שני הניצבים, ולכן נוח להשתמש ב-tan:
tan(∢DAB) = BDAB = 54.808109.625 ≈ 0.5000
∢DAB = tan⁻¹(0.5000) ≈ 26.6°.
ד. G היא אמצע AB, ולכן
GB = AB2 ≈ 109.6252 ≈ 54.813 מטרים.
במשולש ישר-הזווית GBC הניצבים הם GB ≈ 54.813 ו-BC ≈ 48.808, ולפי משפט פיתגורס:
GC = 54.813² + 48.808² = 3,004.4 + 2,382.3 = 5,386.7 ≈ 73.39 מטרים.
ה. מסעיף ב, AB ≈ 109.625 מטרים, כלומר 10,962.5 ס"מ. בקנה מידה 1 : 2,000 כל מרחק במפה קטן פי 2,000 מן המרחק במציאות:
10,962.52,000 ≈ 5.48 ס"מ.

פתרון הדרך: בדיאגרמת עיגול סכום כל האחוזים הוא 100, ולכן מן האחוזים הידועים אפשר לחשב את סך שני החסרים, ואת הסך הזה מחלקים לפי היחס הנתון - נעלם אחד ומשוואה אחת. אחר כך כל אחוז מתורגם לשקלים לפי ההוצאה הכוללת. הזווית המרכזית מחושבת מן העובדה שהעיגול כולו הוא 360° והוא מייצג 100%.
א. נסמן ב-x את אחוז ההוצאה על פנאי. אחוז ההוצאה על תחבורה הוא 3x.
34% + 22% + 8% + 3x + x = 100%  →  4x = 36%  →  x = 9%
כלומר על פנאי 9% ועל תחבורה 27%.
ב. (1) 0.34 · 21,000 = 7,140 שקלים
(2) ההפרש באחוזים הוא 27% - 9% = 18%, ולכן
0.18 · 21,000 = 3,780 שקלים
ג. 0.22 · 360° = 79.2°
ד. ההוצאה על פנאי היא 0.09 · 21,000 = 1,890 שקלים, ולכן ייחסכו
0.25 · 1,890 = 472.5 שקלים

פתרון הדרך: כל דרך תשלום מתורגמת קודם כול לסכום אחד ויחיד, ורק סכומים כאלה אפשר להשוות. במזומן ההנחה היא כפל במקדם קבוע, ובדרך התשלומים הסכום הכולל הוא המקדמה ועוד מספר התשלומים כפול גובה תשלום. שאלת "בכמה שקלים" היא חיסור, ושאלת "בכמה אחוזים" היא חילוק בסכום שאליו משווים - וכאן חשוב לשים לב שהסעיפים ב ו-ג משווים לשני סכומים שונים, ולכן התשובות אינן מתייחסות לאותו בסיס. בסעיף האחרון חוזרים מן הסכום הכולל אל תשלום בודד, כלומר מחלקים במספר התשלומים.
א. (1) הנחה של 8% משאירה 92% מן המחיר המלא:
4,800 · 0.92 = 4,416 שקלים
(2) המקדמה ועוד שנים עשר תשלומים:
1,200 + 12 · 330 = 1,200 + 3,960 = 5,160 שקלים
ב. 5,160 - 4,416 = 744 שקלים
ג. ההפרש מן המחיר המלא: 5,160 - 4,800 = 360 שקלים.
את האחוז מחשבים מן המחיר המלא:
3604,800 = 0.075 = 7.5%
ד. בחנות האחרת מחלקים את המחיר המלא לחמישה עשר תשלומים שווים:
4,80015 = 320 שקלים לחודש
320 < 330, ולכן כן - התשלום החודשי בחנות האחרת קטן מן התשלום החודשי בחנות הראשונה, ב-10 שקלים לחודש.