מתמטיקה

פתרון הדרך: גדילה באחוז קבוע היא הכפלה חוזרת באותו מקדם. משנת 2022 עד שנת 2024 עברו שנתיים, כלומר הכפלנו פעמיים - ולכן היחס בין שני הנתונים הוא המקדם בריבוע, ומכאן מוצאים את המקדם. בסעיף האחרון מחשבים בנפרד את שני הערוצים לאותה שנה ורק אז משווים: אחוז גדילה קטן יותר אינו אומר בהכרח פחות צופים, כי נקודות הפתיחה שונות.
א. (1) נסמן ב-q את המקדם השנתי. עברו שנתיים, ולכן
20,000 · q² = 28,800
q² = 28,80020,000 = 1.44  →  q = 1.2
המקדם הוא 1.2, כלומר בכל שנה יש 120% ממה שהיה, ולכן מספר הצופים גדל ב-20% בכל שנה.
(2) 20,000 · 1.2 = 24,000 צופים
ב. שנת 2023 חושבה בסעיף א(2). שנת 2025 היא שנה אחת אחרי 2024:
28,800 · 1.2 = 34,560 צופים
הטבלה המלאה:
(בדיקה: 24,000 · 1.2 = 28,800 - מתאים לנתון.)
ג. בערוץ האחר המקדם השנתי הוא 1.1, ומשנת 2022 עד 2024 עברו שנתיים:
40,000 · 1.1² = 40,000 · 1.21 = 48,400 צופים
בערוץ הראשון היו באותה שנה 28,800 צופים, ולכן בערוץ האחר היו יותר צופים.
שימו לב: הערוץ הראשון גדל מהר יותר באחוזים, אך הוא התחיל מנקודה נמוכה בהרבה, ולכן בתוך שנתיים הוא עדיין לא השיג את הערוץ האחר.

פתרון הדרך: זה אינו סבב של שתי זריקות בלתי תלויות אלא סבב בעל שני שלבים, שהשני שבהם מתקיים רק בתנאי. לכן אי אפשר לפרק את המאורעות לפי "כמה קלעו" בלי לשאול קודם אם תמר בכלל זרקה. נוח לסרטט את הסבב כעץ בעל שני ענפים ראשיים: אם אורי החטיא - הסבב נגמר בענף אחד, בלי סלים; ואם אורי קלע - הענף מתפצל לשניים לפי תמר. שלוש התוצאות האפשריות הן אפוא 0 סלים, 1 סל או 2 סלים, וסכום ההסתברויות שלהן הוא 1. שימו לב שאי אפשר לקלוע סל אחד בלי שאורי קלע: לתמר אין הזדמנות לזרוק אחרת. זה בדיוק מה שמסביר את השוויון שבסעיף ד.
א. תמר זורקת אך ורק אם אורי קלע, ולכן
P(תמר זורקת) = P(אורי קלע) = 0.7
ב. לא נקלע אף סל רק אם אורי החטיא, ואז הסבב נגמר:
P(0 סלים) = 1 - 0.7 = 0.3
ג. שני סלים פירושם שאורי קלע וגם תמר קלעה:
P(2 סלים) = 0.7 · 0.5 = 0.35
ד. סל אחד בדיוק אפשרי רק בדרך אחת: אורי קלע ותמר החטיאה.
P(1 סל) = 0.7 · 0.5 = 0.35
(בדיקה: 0.3 + 0.35 + 0.35 = 1 - שלוש התוצאות מכסות את כל האפשרויות.)
ההסבר לשוויון: בשני המקרים חייב היה אורי לקלוע, אחרת תמר לא הייתה זורקת כלל. לכן שני המקרים מתחילים באותו ענף שהסתברותו 0.7, וההבדל היחיד ביניהם הוא מה עשתה תמר. ההסתברות שתמר תקלע שווה להסתברות שתחטיא, שתיהן 0.5, ולכן הענף המשותף מתפצל לשני חלקים שווים - ומכאן ששתי ההסתברויות זהות.

פתרון הדרך: זוהי שיטת הצל. באותה שעה קרני השמש מגיעות מאותו כיוון, ולכן זווית השמש בשני המשולשים זהה, וגם העץ וגם המוט מאונכים לקרקע. שתי זוויות שוות מספיקות לדמיון, ומרגע שיש דמיון היחס בין הגובה לצל זהה בשני המשולשים - וזה מה שמאפשר "למדוד" את העץ בלי לטפס עליו. לבסוף נזכור: אורכים גדלים פי k, אבל שטחים גדלים פי k².
א. העץ מאונך לקרקע וגם המוט מאונך לקרקע, ולכן ∢ABC = ∢DEF = 90°. המדידה נעשתה באותה שעה, ולכן קרני השמש מקבילות זו לזו וזווית השמש עם הקרקע שווה בשני המשולשים: ∢BAC = ∢EDF. משוויון שתי זוויות נובע שהמשולשים ABC ו-DEF דומים זה לזה (דמיון זווית-זווית).
ב. בגלל הדמיון היחס בין הגובה לצל שווה בשני המשולשים:
BCAB = EFDE = 1.61.2 = 43
BC = 9 · 43 = 12 מטרים. גובה העץ הוא 12 מטרים.
ג. (1) יחס הדמיון (גדול : קטן) מתקבל מכל זוג צלעות מתאימות:
k = BCEF = 121.6 = 7.5 (בדיקה בזוג האחר: ABDE = 91.2 = 7.5, מתאים).
(2) במשולש ישר-הזווית ABC הניצבים הם AB = 9 ו-BC = 12. לפי משפט פיתגורס:
AC = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15 מטרים.
בדיקה בעזרת הדמיון: DF = 1.2² + 1.6² = 1.44 + 2.56 = 4 = 2 מטרים, ואכן 2 · 7.5 = 15, מתאים.
ד. (1) S(DEF) = 1.2 · 1.62 = 0.96 מ"ר.
(2) S(ABC) = 9 · 122 = 54 מ"ר.
היחס: 540.96 = 56.25, כלומר שטח המשולש ABC גדול פי 56.25.
בדיקה: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון - 7.5² = 56.25, מתאים.

פתרון הדרך: שני הרכבלים מגיעים אל אותה תחנה עליונה, ולכן שני המשולשים ישרי-הזווית שבשאלה חולקים את אותו ניצב אנכי - הפרש הגבהים BC. זהו הגשר בין שני חלקי השאלה, ובלעדיו אין דרך לעבור מן הרכבל הראשון אל השני.
במשולש הראשון נתונים היתר וזווית, ולכן הניצבים מתקבלים ב-sin וב-cos. במשולש השני הכיוון הפוך: נתונים הזווית והניצב שמולה, והיתר הוא הנעלם, ולכן מחלקים את הניצב ב-sin של הזווית במקום להכפיל בו. שימו לב שהצלע הגדולה יותר שייכת דווקא לזווית הקטנה יותר: מדרון מתון מחייב כבל ארוך יותר כדי להגיע לאותו גובה.
א. במשולש ישר-הזווית ABC (הזווית B ישרה) הניצב BC נמצא מול הזווית 26°, והיתר הוא AC = 480:
BC = 480 · sin 26° = 480 · 0.4384 ≈ 210.4 מטרים.
ב. הניצב AB נמצא ליד הזווית 26°:
AB = 480 · cos 26° = 480 · 0.8988 ≈ 431.4 מטרים.
ג. במשולש ישר-הזווית FBC (גם בו הזווית B ישרה) הניצב BC ≈ 210.418 נמצא מול הזווית 34°, והיתר הוא FC:
sin 34° = BCFC , ולכן FC = 210.418sin 34° = 210.4180.5592 ≈ 376.3 מטרים.
ד. הכבל הראשון באורך 480 מטרים, והשני באורך 376.3 מטרים בקירוב:
480 - 376.29 ≈ 103.7 מטרים
לכן כבל הרכבל הראשון (AC) ארוך יותר, בכ-103.7 מטרים.
ההסבר: שני הכבלים מטפסים בדיוק לאותו גובה, אבל הזווית של הראשון עם הקרקע קטנה יותר (26° לעומת 34°), כלומר המדרון שלו מתון יותר - ומדרון מתון דורש כבל ארוך יותר כדי להגיע לאותו גובה.

פתרון הדרך: בטבלת שכיחויות כל ערך חוזר כמספר השליחים שלידו, ולכן מספר המשלוחים הכולל הוא סכום המכפלות ערך כפול שכיחות, והממוצע הוא הסכום הזה חלקי מספר השליחים. השכיח נקרא ישירות מן השכיחות הגדולה ביותר, והחציון בעזרת ספירה מצטברת. את השכר הממוצע אפשר לחשב בקיצור: מכיוון שכל משלוח שווה אותו סכום, השכר הממוצע הוא הממוצע כפול המחיר למשלוח. בסעיף האחרון בונים משוואת ממוצע ופותרים לנעלם.
א. (1) 6 · 5 + 8 · 9 + 10 · 7 + 12 · 4 = 30 + 72 + 70 + 48 = 220 משלוחים
(2) 22025 = 8.8 משלוחים
(3) השכיחות הגדולה ביותר היא 9 שליחים, והיא שייכת ל-8 משלוחים.
(4) סטיית התקן היא השורש של ממוצע ריבועי הסטיות מן הממוצע 8.8. הסטיות הן -2.8 , -0.8 , 1.2 , 3.2, וריבועיהן 7.84 , 0.64 , 1.44 , 10.24.
5 · 7.84 + 9 · 0.64 + 7 · 1.44 + 4 · 10.24 = 39.2 + 5.76 + 10.08 + 40.96 = 96
ממוצע ריבועי הסטיות: 9625 = 3.84, ולכן
סטיית התקן = 3.84 ≈ 1.96 משלוחים.
ב. מספר השליחים אי-זוגי (25), ולכן החציון הוא הערך במקום ה-13 כשמסדרים את כל הערכים מן הקטן לגדול.
ספירה מצטברת: 6 משלוחים תופסים את המקומות 1 עד 5, ו-8 משלוחים את המקומות 6 עד 14.
המקום ה-13 נמצא בקבוצת 8 המשלוחים, ולכן החציון הוא 8 משלוחים.
ג. כל משלוח שווה 9 שקלים, ולכן השכר הממוצע הוא הממוצע כפול 9:
8.8 · 9 = 79.2 שקלים
ד. ביום הנוסף יש 26 שליחים, וסך המשלוחים שלהם הוא 220 + x:
220 + x26 = 9
220 + x = 234  →  x = 14
השליח הנוסף ביצע 14 משלוחים.

פתרון הדרך: השכר מורכב מחלק קבוע שאינו תלוי כלל במכירות ומחלק שגדל יחד איתן. לכן ההפרש בין שכר של שני חודשים אינו מושפע משכר הבסיס - הוא כולו עמלה - ומכאן שאפשר לחלץ את אחוז העמלה מן ההפרש בין המכירות ומן ההפרש בין השכרים, בלי לדעת עדיין את שכר הבסיס, ורק אחר כך לחזור לאחד החודשים ולחלץ ממנו את שכר הבסיס. משנכתב הביטוי, שאלה על שכר נתון היא משוואה, ושאלה אם שכר מסוים אפשרי נבחנת מול הערך הקטן ביותר שהביטוי יכול לקבל.
א. (1) ההפרש בין המכירות: 60,000 - 40,000 = 20,000 שקלים.
ההפרש בין השכרים: 7,000 - 6,000 = 1,000 שקלים.
שכר הבסיס זהה בשני החודשים, ולכן כל ההפרש בשכר הוא עמלה על ההפרש במכירות:
1,00020,000 = 0.05 = 5%
(2) נחזור לחודש מרס. העמלה במרס:
40,000 · 0.05 = 2,000 שקלים
שכר הבסיס הוא מה שנשאר מן השכר:
6,000 - 2,000 = 4,000 שקלים
(בדיקה בחודש אפריל: 4,000 + 60,000 · 0.05 = 4,000 + 3,000 = 7,000 - מתאים.)
ב. שכר בסיס קבוע ועוד 5% מן המכירות:
4,000 + 0.05x שקלים
ג. נציב את השכר המבוקש בביטוי:
4,000 + 0.05x = 8,500
0.05x = 4,500
x = 4,5000.05 = 90,000 שקלים
עליה למכור בחודש רהיטים בסכום של 90,000 שקלים.
ד. לא. סך המכירות אינו יכול להיות סכום שלילי, ולכן העמלה 0.05x אינה שלילית לעולם, והשכר החודשי הוא לפחות שכר הבסיס:
4,000 + 0.05x ≥ 4,000
3,800 < 4,000, ולכן שכר חודשי של 3,800 שקלים אינו אפשרי (הוא היה מתקבל רק ממכירות שליליות).