מתמטיקה

פתרון הדרך: ירידה של אחוז קבוע פירושה הכפלה חוזרת באותו מקדם, ולא חיסור חוזר של אותה כמות. לכן הירידה המצטברת על פני כמה חודשים אינה סכום האחוזים: היא נובעת מן המקדם בחזקת מספר החודשים, ותמיד קטנה מסכום האחוזים, מפני שכל חודש מוריד אחוז מכמות שכבר הצטמקה. בסעיף האחרון שני המאגרים יורדים בקצבים שונים מנקודות פתיחה שונות, ואין נוסחה קצרה למפגש ביניהם ברמה הזאת; הדרך היא לחשב חודש-חודש את שתי הכמויות זו לצד זו, עד לחודש הראשון שבו הסדר מתהפך.
א. ירידה של 10% משאירה 90%, כלומר מכפילים כל חודש ב-0.9. מינואר עד אפריל עוברים שלושה חודשים:
50,000 · 0.9³ = 50,000 · 0.729 = 36,450 מ"ק
(פברואר 45,000 , מרס 40,500 , אפריל 36,450 - מתאים לגרף.)
ב. (1) נשווה את כמות אפריל לכמות ינואר:
36,45050,000 = 0.729
כלומר נשארו 72.9% מן הכמות המקורית, ולכן הכמות קטנה ב-27.1%.
(2) 30% הוא סכום שלוש הירידות החודשיות, וסכום כזה היה נכון רק אילו בכל חודש היינו מחסרים 10% מן הכמות ההתחלתית. אבל בכל חודש מחסרים 10% מן הכמות של אותו חודש, שהיא כבר קטנה יותר: בינואר ירדו 5,000 מ"ק, בפברואר 4,500 מ"ק ובמרס 4,050 מ"ק, סך הכול 13,550 מ"ק מתוך 50,000 - שהם 27.1% ולא 30%.
ג. במאגר B ירידה של 2% משאירה 98%, כלומר מכפילים ב-0.98. נחשב את שתי הכמויות זו לצד זו:
עד חודש יוני כמות המים במאגר A עדיין גדולה (29,524.5 מול 28,925.47), אף שההפרש כבר קטן מאוד. בתחילת חודש יולי מתהפך הסדר לראשונה: 26,572.05 < 28,346.96.
לכן בתחילת חודש יולי תהיה לראשונה במאגר B כמות מים גדולה מזו שבמאגר A.

פתרון הדרך: לכל כוס יש שלוש תוצאות אפשריות בלבד, ולכן שלוש ההסתברויות מסתכמות ל-1 - ומכאן מתקבלת התוצאה החסרה. כששתי הכוסות בלתי תלויות, ההסתברות של זוג מסוים היא מכפלת שתי ההסתברויות, וכל שאלה על שתי הכוסות היא סכום של הזוגות המתאימים לה. לזוגות "השנייה חזקה יותר" יש קיצור דרך: כל זוג שאינו זהה נספר פעם אחת בכיוון אחד ופעם אחת בכיוון ההפוך, ולכן המקרה הזה הוא בדיוק מחצית מן ההסתברות שהכוסות שונות. בסעיף האחרון ההסתברות של זוג נתונה ומבקשים את ההסתברות של כוס אחת, כלומר הפעולה מתהפכת: במקום להכפיל, מוציאים שורש.
א. שלוש העוצמות מכסות את כל האפשרויות:
P(חזקה) = 1 - 0.2 - 0.5 = 0.3
ב. סדר העוצמות מן החלשה אל החזקה הוא: חלשה, בינונית, חזקה. שלושה זוגות מקיימים שהשנייה חזקה יותר:
חלשה ואז בינונית: 0.2 · 0.5 = 0.10
חלשה ואז חזקה: 0.2 · 0.3 = 0.06
בינונית ואז חזקה: 0.5 · 0.3 = 0.15
P = 0.10 + 0.06 + 0.15 = 0.31
ג. נעבור דרך המשלים - שתי הכוסות באותה עוצמה:
P(שתיהן זהות) = 0.2² + 0.5² + 0.3² = 0.04 + 0.25 + 0.09 = 0.38
P(שונות) = 1 - 0.38 = 0.62
(בדיקה לסעיף ב: הזוגות השונים מתחלקים שווה בשווה בין "השנייה חזקה יותר" ובין "הראשונה חזקה יותר", ולכן 0.622 = 0.31 - מתאים.)
ד. במכונה השנייה נסמן ב-p את ההסתברות שכוס תצא בינונית. שתי הכוסות בלתי תלויות, ולכן
p² = 0.36 , ומכאן p = 0.6 (הסתברות אינה שלילית).
לכן במכונה השנייה:
P(חזקה) = 1 - 0.2 - 0.6 = 0.2
במכונה הראשונה ההסתברות שכוס תצא חזקה היא 0.3, ובמכונה השנייה היא 0.2.
לכן ההסתברות שכוס תצא חזקה גדולה יותר במכונה הראשונה.

פתרון הדרך: כל השאלה יושבת על נתון אחד: AB מקבילה ל-DC. כל אחד משני המוטות הוא חותך של שתי המקבילות ולכן יוצר זוג זוויות מתחלפות שוות, ובנקודת החיתוך נוצר זוג זוויות קודקודיות שוות, ושתי זוויות שוות מספיקות לדמיון. משנקבע יחס הדמיון מזוג הצלעות המקבילות, אותו יחס חוזר בכל זוג קטעים מתאימים: גם בשני חלקי המוט AC, וגם בשני הגבהים היוצאים מן הנקודה M אל שתי המקבילות. לכן אפשר לפצל לפי אותו יחס גם את המוט וגם את המרחק בין המקבילות, ומכאן לחשב את השטחים.
א. נתון AB ∥ DC. המוט AC הוא חותך של שתי המקבילות האלה, ולכן
∢BAM = ∢DCM (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים).
נוסף על כך ∢AMB = ∢CMD (זוויות קודקודיות).
משוויון שתי זוויות נובע שהמשולשים ABM ו-CDM דומים זה לזה (דמיון זווית-זווית), וסדר הקודקודים המתאים הוא A↔C , B↔D , M↔M.
ב. AB ו-CD הן צלעות מתאימות בשני המשולשים, ולכן
k = ABCD = 80120 = 23
ג. AM ו-CM הן צלעות מתאימות באותם משולשים, ולכן היחס ביניהן הוא גם הוא 23.
נסמן AM = 2t ו-MC = 3t. שני הקטעים יחד הם המוט AC:
2t + 3t = 100 , ולכן 5t = 100 ו-t = 20.
AM = 40 ס"מ , MC = 60 ס"מ.
ד. (1) שטח טרפז הוא סכום הצלעות המקבילות כפול המרחק ביניהן, חלקי 2:
S_ABCD = (80 + 120) · 602 = 6,000 סמ"ר
(2) הגובה מן הנקודה M אל AB והגובה מן הנקודה M אל DC הם קטעים מתאימים בשני המשולשים הדומים, ולכן היחס ביניהם הוא 23. M נמצאת בין שתי המקבילות, ולכן שני הגבהים יחד הם המרחק ביניהן, 60 ס"מ:
2s + 3s = 60 , ולכן s = 12.
הגובה במשולש ABM הוא 24 ס"מ, והגובה במשולש CDM הוא 36 ס"מ.
S_CDM = 120 · 362 = 2,160 סמ"ר
בדיקה: S_ABM = 80 · 242 = 960 סמ"ר, והיחס בין השטחים הוא 2,160960 = 2.25 , שהוא בדיוק ריבוע יחס הדמיון (32)² - מתאים.

פתרון הדרך: התורן מאונך לקרקע, ולכן כל כבל סוגר עם התורן ועם הקרקע משולש ישר-זווית שהכבל הוא היתר שלו. כאן, בשונה מן המקרה הרגיל, נתונים דווקא שני הניצבים ולא היתר: לכן הזווית מתקבלת מ-tan של היחס ביניהם, ואורך הכבל מתקבל ממשפט פיתגורס - שני הכיוונים הפוכים לסדר שבו רגילים לעבוד. העברת הכבל מעלה משנה רק את הניצב האנכי; הניצב האופקי נשאר 12 מטרים בשני המשולשים, וזה מה שמאפשר להשוות ביניהם ישירות. שימו לב שהאחוזים בסעיף ד(1) מחושבים ביחס לאורך הכבל הישן, שהוא המצב שממנו יצאנו.
א. במשולש ישר-הזווית DAE (הזווית E ישרה, כי התורן מאונך לקרקע) נתונים שני הניצבים: DE = 9 מול הזווית, ו-AE = 12 ליד הזווית. לכן
tan ∢DAE = DEAE = 912 = 0.75
∢DAE ≈ 36.87° , כלומר ≈ 36.9°.
ב. הכבל AD הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:
AD = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15 מטרים.
ג. גם FAE הוא משולש ישר-זווית, ובו הניצב האנכי הוא FE = 16 והניצב האופקי נשאר AE = 12:
AF = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 = 20 מטרים.
ד. (1) הכבל גדל מ-15 מטרים ל-20 מטרים, כלומר גדל ב-5 מטרים. את הגידול משווים לאורך שממנו יצאנו:
515 = 13 ≈ 0.3333
לכן אורך הכבל גדל ב-33.3% בקירוב.
(2) הזווית החדשה היא ∢FAE, ובאותו משולש:
tan ∢FAE = 1612 ≈ 1.3333 , ולכן ∢FAE ≈ 53.13°.
53.13° - 36.87° = 16.26°
לכן הזווית גדלה ב-16.3° בקירוב.

פתרון הדרך: שני השינויים שבשאלה שונים זה מזה באופיים, וזה כל העניין. תוספת של סכום קבוע מזיזה כל אחד מן החשבונות באותו סכום, ולכן היא מזיזה גם את הממוצע וגם את החציון באותו סכום בדיוק, וכל הפרש בין שני מדדים כאלה נשאר כשהיה. ייקור באחוזים, לעומת זאת, מכפיל כל חשבון באותו מקדם, ולכן הוא מכפיל באותו מקדם גם את הממוצע, גם את החציון וגם את ההפרש ביניהם - כלומר ההפרש דווקא משתנה. מה שכן משותף לשני השינויים: שניהם שומרים על סדר החשבונות מן הקטן אל הגדול, ולכן מי שהיה מעל הממוצע נשאר מעליו. את הממוצע נחשב כממוצע משוקלל, ואת החציון נאתר לפי מקומות 20 ו-21 ברשימה מסודרת של 40 חשבונות.
א. (1) סך כל החשבונות:
80 · 7 + 120 · 12 + 160 · 15 + 200 · 6 = 560 + 1,440 + 2,400 + 1,200 = 5,600 שקלים
ממוצע = 5,60040 = 140 שקלים
(2) נסדר את 40 החשבונות מן הקטן אל הגדול ונספור: מקומות 1 עד 7 הם 80 שקלים, מקומות 8 עד 19 הם 120 שקלים, ומקומות 20 עד 34 הם 160 שקלים.
מספר החשבונות זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של המקומות 20 ו-21. שניהם 160, ולכן
חציון = 160 שקלים.
(3) סטיית התקן היא השורש של ממוצע ריבועי הסטיות מן הממוצע 140. הסטיות הן -60 , -20 , 20 , 60 שקלים, וריבועיהן 3,600 , 400 , 400 , 3,600.
7 · 3,600 + 12 · 400 + 15 · 400 + 6 · 3,600 = 25,200 + 4,800 + 6,000 + 21,600 = 57,600
ממוצע ריבועי הסטיות: 57,60040 = 1,440, ולכן
סטיית התקן = 1,440 ≈ 37.95 שקלים.
ב. כל חשבון גדל ב-12 שקלים, ולכן גם סכום כל החשבונות גדל ב-40 · 12 = 480 שקלים:
ממוצע חדש = 5,600 + 48040 = 6,08040 = 152 שקלים, כלומר 140 + 12.
התוספת שווה לכולם, ולכן סדר החשבונות לא השתנה והחציון הוא עדיין החשבון שהיה במקום 20, לאחר התוספת:
חציון חדש = 160 + 12 = 172 שקלים.
ג. ייקור ב-5% פירושו הכפלת כל חשבון ב-1.05. כאשר מכפילים את כל הערכים באותו מספר, גם הסכום הכולל מוכפל בו, ולכן גם הממוצע:
ממוצע חדש = 140 · 1.05 = 147 שקלים
גם כאן הסדר נשמר, והחשבון שבמקום 20 מוכפל באותו מקדם:
חציון חדש = 160 · 1.05 = 168 שקלים.
ד. לפני כל שינוי: חציון - ממוצע = 160 - 140 = 20 שקלים.
I - נכון. לאחר תוספת דמי הקבוע: 172 - 152 = 20 שקלים. התוספת הוסיפה 12 שקלים לשני המדדים גם יחד, ולכן ההפרש ביניהם נשאר 20 שקלים.
II - אינו נכון. לאחר הייקור: 168 - 147 = 21 שקלים, ולא 20. הייקור מכפיל את שני המדדים ב-1.05, ולכן הוא מכפיל באותו מקדם גם את ההפרש ביניהם: 20 · 1.05 = 21. הפרש נשמר בתוספת קבועה, אך לא בהכפלה.
III - נכון. לפני הייקור הממוצע היה 140 שקלים, ומעליו היו החשבונות של 160 ושל 200 שקלים - 15 + 6 = 21 משפחות.
לאחר הייקור הממוצע הוא 147 שקלים, והחשבונות הם 84 , 126 , 168 , 210 שקלים; מעל 147 נמצאים 168 ו-210 - אותן 21 משפחות.
הסיבה: כל החשבונות והממוצע הוכפלו באותו מספר חיובי, ולכן כל השוואה בין חשבון ובין הממוצע נשארת כשהייתה.

פתרון הדרך: התעריף מדורג, ולכן הגרף אינו ישר אחד אלא שני קטעי ישר שנפגשים בשעה השלישית: עד שם כל שעה מוסיפה 12 שקלים, ומשם והלאה כל שעה מוסיפה 20 שקלים. לכן חישוב תשלום מעל שלוש שעות נעשה בשני חלקים - התשלום המלא של המדרגה הראשונה, ועוד המחיר הגבוה כפול מספר השעות שמעבר לשלוש - וזה בדיוק מה שהביטוי בסעיף ב מנסח. את סעיף ג פותרים בהצבת הסכום בביטוי, ובסעיף האחרון די להשוות שני תשלומים שכבר חושבו, כי המדרגה השנייה יקרה יותר ולכן הגרף אינו עובר דרך ראשית הצירים באותו שיפוע.
א. (1) שלוש השעות הראשונות כולן במדרגה הראשונה:
3 · 12 = 36 שקלים
(2) שלוש שעות במדרגה הראשונה, ועוד 2 שעות במדרגה השנייה:
36 + 2 · 20 = 36 + 40 = 76 שקלים
ב. בעבור x שעות, כאשר x גדול מ-3, משלמים 36 שקלים על שלוש השעות הראשונות ועוד 20 שקלים על כל אחת מ-(x - 3) השעות הנוספות:
36 + 20(x - 3) = 36 + 20x - 60 = 20x - 24 שקלים
ג. נציב את התשלום בביטוי:
20x - 24 = 156
20x = 180 , ולכן x = 9.
הנהג חנה בחניון 9 שעות (בדיקה: 36 + 20 · 6 = 36 + 120 = 156, מתאים).
ד. התשלום בעבור 6 שעות:
20 · 6 - 24 = 120 - 24 = 96 שקלים
פי 2 מן התשלום בעבור 3 שעות הוא 2 · 36 = 72 שקלים, ו-96 גדול מ-72.
לא - התשלום גדל ביותר מפי 2: 9636 = 83, כלומר פי 2.67 בקירוב.
הסיבה נראית גם בגרף: החלק השני של הגרף תלול יותר מן החלק הראשון, מפני שכל שעה נוספת מעל שלוש שעות עולה 20 שקלים ולא 12 שקלים.