מתמטיקה

פתרון הדרך: תנאי מסוג "לפחות" נותן אי-שוויון עם הסימן ההפוך לזה של תנאי "לכל היותר": הכמות שהתערובת מספקת חייבת להיות גדולה מן הדרישה או שווה לה. הסדר כאן הפוך מן המקובל בשאלות תכנון ליניארי: לפני שמסרטטים משהו בודקים תערובת קונקרטית שכבר מערבבים בחווה - הצבה בשני האילוצים מכריעה אם היא אפשרית, והצבה בפונקציית המטרה נותנת את מחירה, והמספר הזה הוא אמת המידה שכל השאלה נמדדת מולה בסוף. אחר כך מוצאים את הקודקודים בדרך אלגברית בלבד: כל ישר עם כל אחד מן הצירים, ושני הישרים זה עם זה. התחום אינו חסום מלמעלה ומימין, אבל זה אינו מפריע: שני מקדמי העלות חיוביים, ולכן ככל שמתרחקים בתוך התחום רק מוסיפים שקים ומייקרים, והערך המזערי מתקבל באחד הקודקודים. הסרטוט בא בסוף ותפקידו לאשר בעין את מה שכבר הוכרע בחשבון.
א. אילוץ החלבון: 3x + y ≥ 12.
אילוץ הסיבים: x + 2y ≥ 14.
אי אפשר לערבב מספר שלילי של שקים: x ≥ 0, y ≥ 0.
ב. נציב x = 5 ו-y = 5 בשני האילוצים:
חלבון: 3 · 5 + 5 = 20 ≥ 12 - מתקיים.
סיבים: 5 + 2 · 5 = 15 ≥ 14 - מתקיים.
שני האילוצים מתקיימים, ולכן התערובת אפשרית.
עלותה: C = 20 · 5 + 30 · 5 = 100 + 150 = 250 שקלים.
ג. (1) הישר 3x + y = 12 חותך את הצירים ב-(4, 0) וב-(0, 12), והישר x + 2y = 14 חותך את הצירים ב-(14, 0) וב-(0, 7).
נקודת החיתוך שלהם: מן המשוואה הראשונה y = 12 - 3x, ובהצבה בשנייה x + 2(12 - 3x) = 14, כלומר -5x = -10 ומכאן x = 2 ו-y = 6.
התחום הוא החלק שמעל שני הישרים (ברביע הראשון), והוא אינו חסום מלמעלה ומימין. קודקודיו: (0, 12), (2, 6), (14, 0). (הקודקוד (0, 12) מתקבל מכך שעל ציר ה-y אילוץ החלבון דורש y ≥ 12 ואילוץ הסיבים רק y ≥ 7, ולכן החוסם הוא 12; באופן דומה על ציר ה-x החוסם הוא 14.) (2) שני מקדמי פונקציית המטרה חיוביים, ולכן ככל שמתרחקים מן הראשית לאורך התחום העלות רק גדלה; מכאן שהעלות המזערית מתקבלת באחד מקודקודי התחום, ודי להציב את שלושתם:
(0, 12): C = 30 · 12 = 360  |  (2, 6): C = 20 · 2 + 30 · 6 = 40 + 180 = 220  |  (14, 0): C = 20 · 14 = 280.
העלות המזערית מתקבלת בקודקוד (2, 6): יש לערבב 2 שקי שיבולת שועל ו-6 שקי תלתן, והעלות המזערית היא 220 שקלים.
התערובת שבסעיף ב עולה 250 שקלים, ולכן התערובת הזולה ביותר נמוכה ממנה ב- 250 - 220 = 30 שקלים ליום.
ד. התחום מסורטט למעלה (בסעיף ג(1)), והתערובת הזולה ביותר היא הקודקוד (2, 6) שעליו.

פתרון הדרך: בדלתון יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, והאלכסון שיוצא מן הקודקוד שבו נפגשות הצלעות השוות הוא ציר הסימטריה שלו. כל סעיף בשאלה בודק תכונה אחת כזאת בכלים של גאומטריה אנליטית: שוויון של שתי צלעות בודקים בנוסחת המרחק, ישר מזהים לפי השיפוע שלו ולפי נקודה שנמצאת עליו, אמצע של קטע מוצאים בנוסחת האמצע, ושני ישרים מאונכים כשמכפלת השיפועים שלהם היא (-1). את הקודקוד החסר מוצאים בהצבה במשוואת האלכסון, ובסוף מחשבים את אורכי שני האלכסונים ומציבים אותם בכלל השטח שנתון בשאלה.
א. על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:
AB = (2 - 4)² + (10 - 1)² = 4 + 81 = 85
AD = (10 - 4)² + (8 - 1)² = 36 + 49 = 85
שני האורכים שווים, ולכן AB = AD.
ב. הישר שעליו מונח האלכסון AC צריך לקיים שני תנאים: השיפוע שלו הוא 4, והנקודה A(4 , 1) נמצאת עליו.
משוואה I: השיפוע שלה הוא -14 ולא 4, ולכן היא אינה מתאימה.
משוואה III: השיפוע שלה הוא 4, אבל בהצבת x = 4 מתקבל y = 4 · 4 - 12 = 4 ולא 1. הנקודה A אינה על הישר, ולכן גם משוואה זו אינה מתאימה.
משוואה II: השיפוע שלה הוא 4, ובהצבת x = 4 מתקבל y = 4 · 4 - 15 = 1, כלומר הנקודה A נמצאת על הישר.
לכן האלכסון AC מונח על הישר II, שמשוואתו y = 4x - 15.
ג. (1) על פי נוסחת אמצע קטע: M = (2 + 102 , 10 + 82) = (6 , 9).
נציב x = 6 במשוואה y = 4x - 15: y = 4 · 6 - 15 = 9. התקבל שיעור ה-y של M, ולכן הנקודה M(6 , 9) נמצאת על הישר.
(2) השיפוע של האלכסון BD, על פי נוסחת השיפוע: m_BD = 8 - 1010 - 2 = -28 = -14.
השיפוע של האלכסון AC הוא 4, ומכפלת השיפועים היא 4 · (-14) = -1. ישרים שמכפלת השיפועים שלהם היא (-1) מאונכים זה לזה, ולכן האלכסונים AC ו-BD מאונכים.
ד. הקודקוד C נמצא על הישר y = 4x - 15, ושיעור ה-x שלו הוא 7:
y = 4 · 7 - 15 = 28 - 15 = 13, ולכן C(7 , 13).
ה. אורכי האלכסונים, על פי נוסחת המרחק:
AC = (7 - 4)² + (13 - 1)² = 9 + 144 = 153
BD = (10 - 2)² + (8 - 10)² = 64 + 4 = 68
שטח הדלתון הוא מחצית המכפלה של אורכי האלכסונים:
S = AC · BD2 = 153 · 682 = 10,4042 = 1022 = 51 יחידות שטח.
(מכפלת שני שורשים היא השורש של המכפלה: 153 · 68 = 10,404, ו-102 · 102 = 10,404.)

פתרון הדרך: בשאלה נתונה סטיית התקן, והממוצע הוא הנעלם. בגרף ההתפלגות הנורמלית, כמו בגרף שבדפי הנוסחאות, השנתה האמצעית מייצגת את הממוצע, וכל שנתה רחוקה מן השנתה שלידה חצי סטיית תקן, כלומר 10 גרם. לכן מתחילים מן האחוז הנתון: מחברים רצועות מן הקצה הימני של הגרף עד שמצטברים 7%, וכך מגלים באיזו שנתה נמצא המשקל 530 גרם. משם מגיעים אל הממוצע, וכשהממוצע ידוע ממלאים את כל המלבנים. אחרי שהמלבנים מלאים, כל שאלה על אחוז היא סכום של רצועות בין שתי שנתות, וכל שאלה על מספר חבילות היא האחוז כפול מספר החבילות.
א. (1) נסמן ב-μ את המשקל הממוצע של חבילה, בגרמים, וב-σ את סטיית התקן: σ = 20.
שלוש הרצועות הימניות ביותר בגרף מכילות יחד 0.5% + 1.5% + 5% = 7% מן החבילות, והן נמצאות מימין לשנתה μ + 1.5σ. נתון ש-7% מן החבילות שוקלות יותר מ-530 גרם, ולכן:
μ + 1.5σ = 530 , μ + 1.5 · 20 = 530 , μ + 30 = 530 , ומכאן μ = 500 גרם.
(2) השנתה האמצעית היא μ = 500 גרם, והמרחק בין שתי שנתות סמוכות הוא 0.5σ = 0.5 · 20 = 10 גרם. השנתה השמאלית ביותר היא μ - 2.5σ = 500 - 2.5 · 20 = 450 גרם, ומשם מוסיפים 10 גרם בכל שנתה: ב. שתי הרצועות השמאליות ביותר מכילות יחד 0.5% + 1.5% = 2% מן החבילות, והן נמצאות משמאל לשנתה μ - 2σ = 500 - 2 · 20 = 460 גרם. לכן 2% מן החבילות קלות מ-460 גרם.
ג. (1) בין המלבן של 460 גרם למלבן של 530 גרם יש שבע רצועות:
5% + 9% + 15% + 19% + 19% + 15% + 9% = 91%.
(2) 0.91 · 1,500 = 1,365 חבילות.
ד. משקל קטן מ-470 גרם: משמאל למלבן של 470 גרם יש שלוש רצועות, 0.5% + 1.5% + 5% = 7%.
משקל גדול מ-540 גרם: מימין למלבן של 540 גרם יש שתי רצועות, 1.5% + 0.5% = 2%.
אין חבילה ששייכת לשני התחומים, ולכן אחוז החבילות שאינן נשלחות הוא 7% + 2% = 9%.
מספר החבילות שאינן נשלחות ביום זה: 0.09 · 1,500 = 135 חבילות.

פתרון הדרך: השאלה מדברת על כסף, אבל כל סעיף בה הוא שאלה על הפרבולה. רווח 0 מתקבל בנקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-x, והן הפתרונות של המשוואה P = 0. המחיר שבו הרווח הגדול ביותר הוא שיעור ה-x של הקודקוד, והרווח עצמו מתקבל בהצבת המחיר הזה בפונקצייה. המקדם של x² שלילי, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה: היא נמצאת מעל ציר ה-x בין שתי נקודות החיתוך, עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו.
א. רווח 0 פירושו P = 0, כלומר -x² + 40x - 300 = 0.
במשוואה a = -1 , b = 40 , c = -300, ונציב בנוסחת השורשים:
x = -40 ± 40² - 4 · (-1) · (-300)2 · (-1) = -40 ± 1,600 - 1,200-2 = -40 ± 20-2
x = -40 + 20-2 = 10  או  x = -40 - 20-2 = 30.
הרווח החודשי הוא 0 כשמחיר הכרטיס הוא 10 שקלים או 30 שקלים.
ב. (1) x = -b2a = -402 · (-1) = 20, כלומר הרווח הגדול ביותר מתקבל במחיר של 20 שקלים לכרטיס.
(2) P = -(20)² + 40 · 20 - 300 = -400 + 800 - 300 = 100, כלומר הרווח החודשי הגדול ביותר הוא 100 אלף שקלים.
ג. המקדם של x² שלילי, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה ונמצאת מעל ציר ה-x בין שתי נקודות החיתוך שמצאנו בסעיף א.
הרווח החודשי חיובי בעבור 10 < x < 30, כלומר כשמחיר הכרטיס בין 10 ל-30 שקלים.
ד. פרבולה שפתוחה כלפי מטה עולה משמאל לקודקוד שלה, כלומר בעבור x < 20. בתוך התחום 10 < x < 30 מתקבל:
הרווח החודשי גדל כשמחיר הכרטיס גדל בעבור 10 < x < 20, כלומר במחירים שבין 10 ל-20 שקלים.

פתרון הדרך: כל הסעיפים נפתרים מתוך תרשים המספרים, ולכן קוראים אותו מן הסרטוט פעם אחת ובזהירות, שורה אחר שורה מן השורה האחורית אל השורה הקדמית. מן התרשים יוצאים כל המבטים: המבט מלמעלה הוא המשבצות שהמספר בהן אינו 0, המבט מלפנים מורכב מן המספר הגדול ביותר שבכל טור, והמבט מימין מורכב מן המספר הגדול ביותר שבכל שורה, כשהשורה הקדמית מופיעה בצדו השמאלי. ברבע סיבוב בכיוון השעון, כשמביטים מלמעלה, הצד הימני של המבנה פונה אל המתבונן והצד השמאלי פונה אחורה. בסעיף האחרון אסור להניח קובייה בעמדה ריקה, כי אז המבט מלמעלה משתנה, ולכן מותר רק להגביה עמודות שכבר עומדות.
א. קוראים את גובה העמודה בכל עמדה. בשורה האחורית הגבהים הם 3, 2, 1 (משמאל לימין), בשורה השנייה 3, 2, 0, בשורה השלישית 3, 2, 0, ובשורה הקדמית 1, 1, 1: מספר הקוביות: (3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 0) + (3 + 2 + 0) + (1 + 1 + 1) = 6 + 5 + 5 + 3 = 19 קוביות.
ב. במבט מלמעלה רואים כל עמדה שיש בה לפחות קובייה אחת, בלי קשר לגובה. בתרשים המספרים יש 10 משבצות שהמספר בהן אינו 0, ושתי המשבצות האמצעיות בטור הימני ריקות: ג. ברבע סיבוב בכיוון השעון, כשמביטים מלמעלה, הצד הימני של המבנה עובר להיות הצד הקדמי, הצד הקדמי עובר להיות הצד השמאלי, והצד השמאלי עובר להיות הצד האחורי. לכן כל טור של התרשים המקורי הופך לשורה של התרשים החדש:
הטור השמאלי המקורי הופך לשורה האחורית. הקצה הקדמי שלו עובר לצד שמאל, ולכן קוראים אותו מן השורה הקדמית אל האחורית: 1, 3, 3, 3.
הטור האמצעי הופך לשורה האמצעית: 1, 2, 2, 2.
הטור הימני הופך לשורה הקדמית: 1, 0, 0, 1. בדיקה: (1 + 3 + 3 + 3) + (1 + 2 + 2 + 2) + (1 + 0 + 0 + 1) = 10 + 7 + 2 = 19, כמו במבנה המקורי.
ד. המבט מלפנים לאחר הסיבוב מורכב מן המספר הגדול ביותר בכל טור של התרשים החדש: max(1, 1, 1) = 1 , max(3, 2, 0) = 3 , max(3, 2, 0) = 3 , max(3, 2, 1) = 3, כלומר עמודות בגבהים 1, 3, 3, 3 משמאל לימין.
במבנה המקורי, מי שעומד מימין רואה בכל שורה את העמודה הגבוהה ביותר, והשורה הקדמית נמצאת בצד שמאל שלו: שורה קדמית 1, שורה שלישית 3, שורה שנייה 3, שורה אחורית 3. התקבלו אותם גבהים באותו סדר, ולכן המבט מלפנים לאחר הסיבוב זהה למבט מימין של המבנה המקורי. הסיבה: ברבע סיבוב בכיוון השעון הצד הימני של המבנה מסתובב אל המתבונן, והקצה הקדמי שלו מגיע לצד שמאל, בדיוק כפי שהוא נראה למי שעומד מימין למבנה. המבט משמאל של המבנה המקורי הוא 3, 3, 3, 1, תמונת ראי של המבט מימין, ולכן אינו מתאים.
ה. המבט מלפנים של המבנה המקורי מורכב מן המספר הגדול ביותר בכל טור: טור שמאלי max(3, 3, 3, 1) = 3 , טור אמצעי max(2, 2, 2, 1) = 2 , טור ימני max(1, 0, 0, 1) = 1.
העמודה הגבוהה ביותר במבנה היא בגובה 3, ולכן המבט המבוקש הוא מלבן מלא של 3 טורים ו-3 שורות: בכל טור צריכה לעמוד עמודה בגובה 3.
כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה אסור להניח קובייה בעמדה ריקה, ולכן אפשר רק להגביה עמודות קיימות. בכל טור מגביהים את העמודה הגבוהה ביותר שבו, כי היא דורשת את מספר הקוביות הקטן ביותר:
טור שמאלי: כבר יש בו עמודה בגובה 3, ולא מוסיפים דבר.
טור אמצעי: העמודות הגבוהות בו הן בגובה 2. מגביהים אחת מהן לגובה 3, כלומר מוסיפים קובייה אחת.
טור ימני: שתי העמדות האמצעיות ריקות ואסור למלא אותן, והעמודות שעומדות בו הן בגובה 1. מגביהים אחת מהן לגובה 3, כלומר מוסיפים שתי קוביות.
בכל טור ההפרש בין 3 לגובה העמודה הגבוהה ביותר שבו הוא המספר הקטן ביותר של קוביות שאפשר להוסיף באותו טור, ולכן אי אפשר להסתפק בפחות מ-0 + 1 + 2 = 3. המספר הקטן ביותר הוא 3 קוביות. למשל, אפשר להגביה את העמודה האחורית בטור האמצעי ואת העמודה האחורית בטור הימני:

פתרון הדרך: בפירמידה יש שני גבהים שונים, וחשוב לא להחליף ביניהם. SO הוא הגובה של הגוף כולו, והוא משמש בנוסחת הנפח; SF הוא הגובה של פאה צדדית, והוא משמש בחישוב השטח של הפאות. לכן מתחילים בנפח, שכל הנתונים שלו כבר ידועים, ובסעיף ב משתמשים באותה נוסחה בכיוון ההפוך: הנפח והבסיס ידועים, והגובה הוא הנעלם. את SF מוצאים במשפט פיתגורס במשולש ישר-הזווית SOF, ואחר כך כל פאה צדדית היא משולש שבסיסו צלע הבסיס וגובהו SF.
א. שטח הבסיס הריבועי: 6 · 6 = 36 מ"ר.
נפח פירמידה הוא שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה: V = 13 · 36 · 4 = 48 מ"ק.
ב. נסמן ב-h את הגובה של האוהל השני, במטרים.
נפח האוהל השני: 1.5 · 48 = 72 מ"ק, ושטח הבסיס שלו זהה, 36 מ"ר. נציב בנוסחת הנפח:
72 = 13 · 36 · h , כלומר 72 = 12h , ומכאן h = 6 מטרים.
ג. O הוא מרכז הבסיס ו-F אמצע הצלע BC, ולכן OF שווה למחצית מצלע הבסיס: OF = 6 : 2 = 3 מטרים.
במשולש ישר-הזווית SOF (הזווית SOF ישרה), לפי משפט פיתגורס:
SF² = SO² + OF² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, ולכן SF = 5 מטרים.
ד. כל פאה צדדית היא משולש שאורך בסיסו 6 מטרים וגובהו SF = 5 מטרים:
שטח פאה אחת = 6 · 52 = 15 מ"ר.
בפירמידה ארבע פאות צדדיות זהות, ולכן שטח היריעה הוא 4 · 15 = 60 מ"ר.
ה. האוהל השלישי הוא מנסרה ישרה, והבסיס שלה הוא המשולש הקדמי ולא הפאה שעל הקרקע. שטח המשולש: 6 · 42 = 12 מ"ר.
נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה, והגובה של המנסרה הוא האורך של האוהל: V = 12 · 6 = 72 מ"ק.
7248 = 1.5, ולכן נפח האוהל השלישי גדול פי 1.5 מנפח האוהל הראשון, והוא שווה לנפח האוהל השני.