מתמטיקה

פתרון הדרך: כאן מערכת האילוצים כבר כתובה, ולכן כל העבודה היא בקריאה שלה: כל אי-שוויון מסרטטים כישר, ומסמנים את התחום שמקיים את כל ארבעת התנאים יחד. בדיקת תוכנית ייצור אינה דורשת סרטוט בכלל - מציבים את זוג המספרים בכל אחד מן האילוצים, ודי שאחד מהם אינו מתקיים כדי שהתוכנית תיפסל. בשני הסעיפים האחרונים מציבים את אותם קודקודים בשתי פונקציות מטרה שונות: פעם אחת הרווח P = 120x + 40y, ופעם אחת מספר הארגזים N = x + y - וכדאי לשים לב שהתשובה אינה בהכרח אותו קודקוד, שהרי ארגז גדול שווה יותר כסף אבל תופס יותר משאבים.
א. הישר 5x + 2y = 40 חותך את הצירים ב-(8, 0) וב-(0, 20), והישר x + 2y = 24 חותך את הצירים ב-(24, 0) וב-(0, 12).
נקודת החיתוך: מחסרים את המשוואה השנייה מן הראשונה ומקבלים 4x = 16, כלומר x = 4, ואז 4 + 2y = 24 ומכאן y = 10. הנקודה (4, 10).
קודקודי התחום (הסרטוט בקנה מידה, אותה יחידה בשני הצירים): (0, 0), (8, 0), (4, 10), (0, 12). ב. 1. מציבים x = 6, y = 6:
5 · 6 + 2 · 6 = 30 + 12 = 42, ומתקיים 42 > 40 - אילוץ שעות המסור אינו מתקיים.
לכן תוכנית זו אינה מקיימת את כל האילוצים.
2. מציבים x = 4, y = 9:
5 · 4 + 2 · 9 = 20 + 18 = 38 ≤ 40  וגם  4 + 2 · 9 = 4 + 18 = 22 ≤ 24.
שני האילוצים מתקיימים (וגם x ≥ 0, y ≥ 0), ולכן תוכנית זו כן מקיימת את כל האילוצים.
ג. פונקציית המטרה: P = 120x + 40y. מציבים את הקודקודים:
(0, 0): P = 0  |  (8, 0): P = 120 · 8 = 960  |  (4, 10): P = 480 + 400 = 880  |  (0, 12): P = 40 · 12 = 480.
הרווח המקסימלי מתקבל בקודקוד (8, 0): יש לייצר 8 ארגזים גדולים ולא לייצר ארגזים קטנים, והרווח המקסימלי הוא 960 שקלים.
ד. כאן פונקציית המטרה היא מספר הארגזים, N = x + y. מציבים את אותם קודקודים:
(8, 0): N = 8  |  (4, 10): N = 14  |  (0, 12): N = 12.
המספר הגדול ביותר הוא 14 ארגזים, והוא מתקבל בייצור של 4 ארגזים גדולים ו-10 ארגזים קטנים - ייצור שונה מזה שנותן את הרווח המקסימלי.

פתרון הדרך: ארבעת הקודקודים יושבים על הצירים, ולכן כל אחד מהם מתגלה בהצבת אפס: על ציר ה-x מציבים y = 0, ועל ציר ה-y מציבים x = 0. ישר דרך שתי נקודות בונים בשני צעדים, קודם שיפוע ואחר כך הצבה של אחת הנקודות. מקבילות מראים בשיפועים שווים. בהמשך עובדים עם נוסחת אמצע קטע ועם נוסחת המרחק, ומפשטים כל שורש כך שיופיע בו אותו מספר, 34, כדי שאפשר יהיה לחבר את השורשים. את השטח נוח לחשב כהפרש: המשולש הגדול OAB מורכב מן הטרפז ומן המשולש הקטן OCD, ובשניהם הניצבים הם קטעים על הצירים.
א. A על ציר ה-x, ולכן מציבים y = 0: 0 = -53x + 15, כלומר 53x = 15 ומכאן x = 15 · 35 = 9. לכן A(9 , 0).
B על ציר ה-y, ולכן מציבים x = 0: y = 0 + 15 = 15. לכן B(0 , 15).
ב. נוסחת השיפוע: m = y₂ - y₁x₂ - x₁. בעבור C(0 , 5) ו-D(3 , 0): m_CD = 0 - 53 - 0 = -53.
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה היא y - y₁ = m(x - x₁). מציבים את C(0 , 5): y - 5 = -53(x - 0), ומכאן y = -53x + 5.
ג. m_AB = 15 - 00 - 9 = -53 (וזה אכן השיפוע שבמשוואת הישר הנתון), ו-m_CD = -53 (סעיף ב).
לישרים שונים בעלי שיפוע שווה אין נקודה משותפת, ולכן AB ∥ CD.
הצלע BC נמצאת על ציר ה-y והצלע AD על ציר ה-x, והצירים מאונכים זה לזה, ולכן BC ו-AD אינן מקבילות. במרובע ABCD יש אפוא זוג אחד בדיוק של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן הוא טרפז.
ד. נוסחת אמצע קטע: x = x₁ + x₂2 , y = y₁ + y₂2.
M אמצע BC: x = 0 + 02 = 0 , y = 15 + 52 = 10, ולכן M(0 , 10).
N אמצע AD: x = 9 + 32 = 6 , y = 0 + 02 = 0, ולכן N(6 , 0).
ה. נוסחת המרחק: d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)².
MN = √(6 - 0)² + (0 - 10)² = √36 + 100 = √136 = √4 · 34 = 2√34.
AB = √(0 - 9)² + (15 - 0)² = √81 + 225 = √306 = √9 · 34 = 3√34.
CD = √(3 - 0)² + (0 - 5)² = √9 + 25 = √34.
מחצית סכום הבסיסים: AB + CD2 = 3√34 + √342 = 4√342 = 2√34, וזה בדיוק אורך MN.
ו. המשולשים OAB ו-OCD ישרי זווית בקודקוד O, כי הניצבים שלהם מונחים על הצירים.
S_OAB = OA · OB2 = 9 · 152 = 67.5 , S_OCD = OD · OC2 = 3 · 52 = 7.5.
המשולש OAB מורכב מן הטרפז ומן המשולש OCD, ולכן S_ABCD = 67.5 - 7.5 = 60 יחידות שטח.

פתרון הדרך: בין כל שתי שנתות סמוכות בגרף יש חצי סטיית תקן, כאן שעה אחת, והשנת האמצעית היא הממוצע. לכן ממלאים את התיבות בקפיצות של שעה לשני הצדדים. אחרי שהתיבות מלאות, כל שאלה על אחוז היא חיבור של האחוזים שבתוך הרצועות: פחות מערך מסוים הן הרצועות שמשמאלו, יותר ממנו הן הרצועות שמימינו, ולפעמים קצר יותר לחבר את הצד השני ולהחסיר מ-100%. ציון תקן z של ערך x הוא z = x - μσ, ולכן הערך שמתאים לציון תקן נתון הוא x = μ + zσ. בסעיף האחרון ידועה הכמות ונעלם השלם, ולכן מחלקים את הכמות באחוז שלה.
א. המרחק בין שנתות סמוכות: 0.5 · 2 = 1 שעה. השנת האמצעית: μ = 16.
השנת השמאלית ביותר: 16 - 2.5 · 2 = 11, והשנת הימנית ביותר: 16 + 2.5 · 2 = 21.
משמאל לימין: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 שעות. ב. 96% שבמרכז הם שמונה הרצועות שבין μ - 2σ ל-μ + 2σ: 5% + 9% + 15% + 19% + 19% + 15% + 9% + 5% = 96%.
μ - 2σ = 16 - 2 · 2 = 12 ו-μ + 2σ = 16 + 2 · 2 = 20, כלומר בין 12 ל-20 שעות.
ג. 19 = 16 + 1.5 · 2, כלומר 19 שעות עומדות על השנת μ + 1.5σ.
מימין לשנת זו: 5% + 1.5% + 0.5% = 7%, ולכן פחות מ-19 שעות: 100% - 7% = 93%.
ד. ציון תקן (-2): x = 16 + (-2) · 2 = 12 שעות. פחות מ-12 שעות: 1.5% + 0.5% = 2%.
ציון תקן 1.5: x = 16 + 1.5 · 2 = 19 שעות. יותר מ-19 שעות: 5% + 1.5% + 0.5% = 7%.
אין אוזניות ששייכות לשתי הקבוצות, ולכן אחוז האוזניות החריגות הוא 2% + 7% = 9%.
ה. נסמן ב-n את מספר האוזניות שנבדקו באותו יום. 54 האוזניות החריגות הן 9% מהן:
0.09n = 54, ומכאן n = 540.09 = 600 אוזניות.

פתרון הדרך: בפונקציה אין איבר חופשי, ולכן הפרבולה עוברת בראשית הצירים, והמשוואה y = 0 נפתרת בהוצאת גורם משותף. הקודקוד נמצא על ציר הסימטרייה x = -b2a, ואת הגובה בו מקבלים בהצבה בפונקציה. בסעיף ג מציבים את המרחק הנתון. בסעיף ד משתמשים בכך שהפרבולה סימטרית ביחס לישר האנכי שעובר בקודקוד: שתי נקודות על הפרבולה שנמצאות באותו גובה רחוקות מן הישר הזה באותו מרחק, אחת מכל צד. בסוף מאמתים את התשובה בפתרון משוואה ריבועית.
א. הדולפין במים כאשר y = 0: -0.2x² + 2x = 0, ובהוצאת גורם משותף: x(-0.2x + 2) = 0.
x = 0 (נקודת היציאה) או -0.2x + 2 = 0, כלומר 0.2x = 2 ו-x = 10.
הדולפין חוזר אל המים במרחק אופקי של 10 מטרים מנקודת היציאה.
ב. a = -0.2 , b = 2, ולכן x = -b2a = -22 · (-0.2) = -2-0.4 = 5.
y = -0.2 · 5² + 2 · 5 = -0.2 · 25 + 10 = -5 + 10 = 5.
C(5 , 5): הדולפין מגיע לגובה הרב ביותר, 5 מטרים, במרחק אופקי של 5 מטרים מנקודת היציאה.
ג. y = -0.2 · 2² + 2 · 2 = -0.2 · 4 + 4 = -0.8 + 4 = 3.2. הגובה הוא 3.2 מטרים.
ד. ציר הסימטרייה של הפרבולה הוא הישר x = 5 (סעיף ב). הנקודה שבה x = 2 נמצאת 5 - 2 = 3 מטרים משמאל לציר, ולכן הנקודה הסימטרית לה, שנמצאת באותו גובה, נמצאת 3 מטרים מימין לציר: x = 5 + 3 = 8.
אימות: -0.2x² + 2x = 3.2. מכפילים את שני האגפים ב-(-5): x² - 10x = -16, כלומר x² - 10x + 16 = 0.
(x - 2)(x - 8) = 0, ולכן x = 2 או x = 8.
הדולפין נמצא שוב בגובה 3.2 מטרים במרחק אופקי של 8 מטרים מנקודת היציאה.

פתרון הדרך: כל שאלה על מבט נפתרת מתוך תרשים המספרים, ולכן רושמים אותו קודם לשני המבנים. מלפנים רואים בכל טור את העמודה הגבוהה מבין שתיים. משמאל רואים בכל שורה את העמודה הגבוהה ביותר בה, והשורה האחורית מופיעה בצד שמאל של המבט. מאחור ומימין רואים את אותם גבהים כמו מלפנים ומשמאל, בסדר הפוך. מלמעלה רואים רק אילו משבצות תפוסות. בסעיף האחרון שואלים כמה קוביות אפשר להעמיד על קבוצת משבצות נתונה: לפחות קובייה אחת בכל משבצת, ולא יותר משלוש.
א. בטור השמאלי עומדת מלפנים עמודה של 3 קוביות, ומאחוריה אין דבר. בטור השני מלפנים עמודה של 2, ומאחוריה עמודה של 3. בשני הטורים הימניים אין קוביות בשורה הקדמית, ובשורה האחורית עומדות עמודות של 2 ושל 1. ב. מבנה I: 3 + 2 + 3 + 2 + 1 = 11 קוביות.
תרשים המספרים של מבנה II: שורה אחורית 3, 3, 2 ומשבצת ריקה, שורה קדמית 2, 1, 1, 1 (משמאל לימין), ולכן 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 13 קוביות.
ג. הגובה בכל טור הוא הגדול מבין הקדמית והאחורית. מבנה I: max(3, 0) = 3 , max(2, 3) = 3 , max(0, 2) = 2 , max(0, 1) = 1. מבנה II: max(2, 3) = 3 , max(1, 3) = 3 , max(1, 2) = 2 , max(1, 0) = 1.
בשני המבנים המבט מלפנים הוא עמודות בגבהים 3, 3, 2, 1 משמאל לימין: ד. מבנה II משמאל: השורה האחורית נראית בצד שמאל, והגובה שלה max(3, 3, 2, 0) = 3. השורה הקדמית נראית בצד ימין, והגובה שלה max(2, 1, 1, 1) = 2. ה. מאחור: זהים. המבט מאחור הוא המבט מלפנים בסדר הפוך (הטור שנראה משמאל כשעומדים מלפנים נראה מימין כשעומדים מאחור), ובשני המבנים המבט מלפנים זהה. בשניהם רואים מאחור את הגבהים 1, 2, 3, 3.
משמאל: לא זהים. במבנה I הגובה בשורה האחורית הוא max(0, 3, 2, 1) = 3 ובשורה הקדמית max(3, 2, 0, 0) = 3, כלומר 3, 3, ואילו במבנה II רואים 3, 2 (סעיף ד).
מימין: לא זהים. המבט מימין הוא המבט משמאל בסדר הפוך: 3, 3 במבנה I לעומת 2, 3 במבנה II.
מלמעלה: לא זהים. במבנה I תפוסות 5 משבצות, ובמבנה II תפוסות 7 משבצות.
שני המבנים נראים זהים רק מאחור.
ו. כן. כדי שהמבט מלמעלה יהיה זהה לזה של מבנה I, הקוביות צריכות לעמוד בדיוק על 5 המשבצות שתפוסות במבנה I. על כל אחת מהן צריכה לעמוד לפחות קובייה אחת, ולכן נדרשות לפחות 5 קוביות, ועל כל אחת מהן עומדות לכל היותר 3 קוביות, ולכן אפשר להעמיד עליהן לכל היותר 5 · 3 = 15 קוביות.
במבנה II יש 13 קוביות, ו-5 ≤ 13 ≤ 15. למשל, מעמידים 3 קוביות על ארבע מן המשבצות וקובייה אחת על החמישית: 3 + 3 + 3 + 3 + 1 = 13.

פתרון הדרך: הנפח של הסילו הוא סכום הנפחים של שני חלקיו. את נפח החרוט אפשר לחשב מיד, כי הרדיוס והגובה שלו נתונים, ולכן ההפרש בין הנפח הכולל לנפח החרוט הוא נפח הגליל, וממנו מקבלים את הגובה. לפני שמחשבים לאיזה גובה מגיעה התבואה בודקים אם היא כולה בתוך הגליל, כלומר משווים את נפחה לנפח הגליל. אם כן, התבואה עצמה היא גליל בעל אותו רדיוס, והגובה שלה מתקבל מנוסחת נפח הגליל. כל הנפחים כאן הם מכפלות של π, ולכן אפשר להשוות ולחלק את המקדמים בלי לחשב את π.
א. נפח החרוט: V = 13πr²H = 13 · π · 3² · 4 = 36π3 = 12π מ"ק (H הוא גובה החרוט).
נפח החלק הגלילי: 84π - 12π = 72π מ"ק.
נפח גליל: V = πr²h, ולכן 72π = π · 3² · h = 9πh ומכאן h = 72π9π = 8 מטרים.
ב. נפח החלק הגלילי הוא 72π מ"ק (סעיף א), ונפח התבואה הוא 54π מ"ק.
54π < 72π, ולכן התבואה אינה מגיעה אל החלק החרוטי: היא נשארת כולה בתוך החלק הגלילי.
ג. נסמן ב-k את גובה התבואה במטרים. התבואה ממלאה גליל שרדיוסו 3 מטרים וגובהו k:
π · 3² · k = 54π, כלומר 9πk = 54π ומכאן k = 54π9π = 6 מטרים.
ד. שטח המעטפת של גליל: M = 2πrh = 2 · π · 3 · 8 = 48π מ"ר.
ה. נפח כדור: V = 43πr³ = 43 · π · 3³ = 108π3 = 36π מ"ק.
נפח החלק הגלילי הוא 72π מ"ק (סעיף א), ו-72π36π = 2, ולכן נפח החלק הגלילי גדול פי 2 מנפח המיכל הכדורי.