מתמטיקה

פתרון הדרך: מלאי מוגבל של משאב מתורגם לאי-שוויון של "לכל היותר", והתחייבות ללקוח מתורגמת לאי-שוויון של "לפחות" החל על משתנה יחיד. את הקודקודים אפשר למצוא בלי סרטוט כלל: כל קודקוד הוא נקודת המפגש של שני ישרים חוסמים, ולכן פותרים כל זוג ישרים ובודקים אילו מן הפתרונות מקיימים את שאר האילוצים. הסעיף המרכזי הפוך מן הרגיל בשאלות מן הסוג הזה: לא מבקשים למצוא את המקסימום אלא מוסרים אותו, ומבקשים את המקדם החסר בפונקציית המטרה. מכיוון שנמסר גם באיזה קודקוד המקסימום מתקבל, ההצבה של אותו קודקוד בפונקציית המטרה הופכת למשוואה אחת בנעלם אחד. רק בסוף באים הסרטוט והבדיקה, ותפקידם לאשר שהמקדם שהתקבל באמת מציב את המקסימום באותו קודקוד ולא באחר.
א. מגבלת החומר: 2x + 3y ≤ 36.
מגבלת שעות העבודה: 4x + 3y ≤ 48.
ההזמנה הקבועה: x ≥ 3.
אי אפשר לייצר מספר שלילי של קערות: y ≥ 0.
ב. נחתוך כל שני ישרים חוסמים:
2x + 3y = 36 עם 4x + 3y = 48: נחסר את הראשונה מן השנייה ונקבל 2x = 12, כלומר x = 6, ואז 3y = 36 - 12 = 24 ומכאן y = 8 - הנקודה (6 , 8).
x = 3 עם 2x + 3y = 36: 6 + 3y = 36, כלומר y = 10 - הנקודה (3 , 10). (שם 4 · 3 + 3 · 10 = 42 ≤ 48, ולכן היא בתחום.)
x = 3 עם 4x + 3y = 48: 12 + 3y = 48, כלומר y = 12 - הנקודה (3 , 12), אבל 2 · 3 + 3 · 12 = 42 > 36, ולכן היא אינה בתחום.
y = 0 עם 4x + 3y = 48: x = 12 - הנקודה (12 , 0). (שם 2 · 12 = 24 ≤ 36, ולכן היא בתחום.)
y = 0 עם 2x + 3y = 36: x = 18 - הנקודה (18 , 0), אבל 4 · 18 = 72 > 48, ולכן היא אינה בתחום.
x = 3 עם y = 0: הנקודה (3 , 0).
קודקודי התחום: (3 , 0), (12 , 0), (6 , 8), (3 , 10).
ג. פונקציית המטרה היא P = 40x + ay. נתון שהרווח המקסימלי, 600 שקלים, מתקבל בקודקוד (6 , 8), ולכן:
40 · 6 + a · 8 = 600, כלומר 240 + 8a = 600 ומכאן 8a = 360 ו-a = 45 שקלים.
ד. נציב a = 45 ונחשב את הרווח בכל אחד מן הקודקודים:
(3 , 0): P = 120  |  (12 , 0): P = 480  |  (6 , 8): P = 240 + 360 = 600  |  (3 , 10): P = 120 + 450 = 570.
הרווח בקודקוד (6 , 8) גדול מן הרווח בכל אחד מן האחרים, ומכיוון שפונקציית מטרה ליניארית מקבלת את ערכה המרבי תמיד באחד מקודקודי התחום, זהו אכן הרווח המקסימלי - כנדרש.

פתרון הדרך: במקבילית שתי צלעות נגדיות שוות ומקבילות, ולכן המעבר מ-B ל-A זהה למעבר מ-C ל-D: מוסיפים ל-C את אותו הפרש שיעורים ומקבלים את D בלי לפתור משוואות. התכונה שהאלכסונים חוצים זה את זה מתורגמת לשפת השיעורים בצורה פשוטה: די להראות שאמצע AC ואמצע BD הם אותה נקודה. לזיהוי המקבילית המיוחדת משווים שתי צלעות סמוכות בנוסחת המרחק - אם הן שוות, המקבילית היא מעוין. ובמעוין האלכסונים מאונכים, ולכן השטח הוא מחצית מכפלת האלכסונים, ואין צורך במציאת גובה.
א. במקבילית ABCD מתקיים AB מקביל ל-DC ושווה לו, ולכן המעבר מ-A ל-B זהה למעבר מ-D ל-C.
המעבר מ-A ל-B: 4 - (-2) = 6 ב-x ו-1 - (-1) = 2 ב-y.
לכן D מתקבל מ-C בהחסרת אותו מעבר: x_D = 6 - 6 = 0 , y_D = 7 - 2 = 5.
D(0 , 5).
ב. אמצע AC: (-2 + 62 , -1 + 72) = (2 , 3).
אמצע BD: (4 + 02 , 1 + 52) = (2 , 3).
לשני האלכסונים אותה נקודת אמצע, ולכן הם חוצים זה את זה.
ג. AB = √((4 - (-2))² + (1 - (-1))²) = √(36 + 4) = √40.
BC = √((6 - 4)² + (7 - 1)²) = √(4 + 36) = √40.
ד. ABCD הוא מעוין.
נימוק: ABCD מקבילית, ובסעיף ג ראינו ששתי צלעות סמוכות שלה שוות באורכן (AB = BC = √40). מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
ה. אורכי האלכסונים:
AC = √((6 - (-2))² + (7 - (-1))²) = √(64 + 64) = √128.
BD = √((0 - 4)² + (5 - 1)²) = √(16 + 16) = √32.
במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה, ולכן
S = AC · BD2 = √128 · √322 = √4,0962 = 642 = 32.

פתרון הדרך: שני הפרמטרים חסרים, ובמקומם נתונים שני אחוזים. בגרף, השנתה האמצעית היא הממוצע, והמרחק בין כל שתי שנתות סמוכות הוא חצי סטיית תקן. מחברים רצועות מן הקצה של הגרף עד שמגיעים לאחוז הנתון, וכך יודעים כמה חצאי סטיות תקן רחוק כל אחד משני האורכים הנתונים מן הממוצע. כל נתון הופך למשוואה, ושתי המשוואות נותנות את סטיית התקן ואת הממוצע. לאחר מכן ממלאים את המלבנים בצעדים של חצי סטיית תקן, משווים בין שתי החתיכות אחרי שמתרגמים את ציון התקן לסנטימטרים, ומוצאים את אחוז הנפסלות בחיבור הרצועות שמחוץ לתחום המותר.
נסמן ב-μ את הממוצע של אורך החתיכות וב-σ את סטיית התקן שלו, בסנטימטרים.
א. (1) השנתה האמצעית בגרף מתאימה ל-μ, ובין כל שתי שנתות סמוכות יש 0.5σ.
משמאל לשנתה השנייה מן הקצה השמאלי: 0.5% + 1.5% = 2%. שנתה זו רחוקה שתי סטיות תקן מתחת לממוצע, ולכן μ - 2σ = 22.
מימין לשנתה שרחוקה סטיית תקן אחת מעל הממוצע: 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%, ולכן μ + σ = 34.
נחסר את המשוואה הראשונה מן השנייה: (μ + σ) - (μ - 2σ) = 34 - 22, כלומר 3σ = 12, ולכן σ = 4 ס"מ.
(2) נציב σ = 4 במשוואה μ + σ = 34: μ + 4 = 34, ולכן μ = 30 ס"מ.
ב. מתחת לשנתה האמצעית רושמים 30, ובכל מעבר לשנתה סמוכה האורך משתנה ב-0.5 · 4 = 2 ס"מ.
משמאל לימין, בסנטימטרים: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40. ג. נסמן ב-x את האורך של חתיכה א' וב-z את ציון התקן שלה.
z = x - μσ, ולכן -0.5 = x - 304. נכפול את שני האגפים ב-4: x - 30 = -2, ולכן x = 28 ס"מ.
28 > 26, ולכן חתיכה א' ארוכה יותר. ציון התקן שלה שלילי, כלומר היא קצרה מן הממוצע, אבל חתיכה ב' קצרה ממנו עוד יותר.
(אפשר גם להשוות בין ציוני התקן: ציון התקן של חתיכה ב' הוא z = 26 - 304 = -1, ו--1 < -0.5.)
ד. (1) התחום המותר הוא מ-30 - 6 = 24 ס"מ עד 30 + 6 = 36 ס"מ. 6 = 1.5 · 4, כלומר כל אחד מן הגבולות רחוק מן הממוצע סטיית תקן וחצי, והוא שנתה בגרף.
קצרות מ-24 ס"מ: 0.5% + 1.5% + 5% = 7%. ארוכות מ-36 ס"מ: 5% + 1.5% + 0.5% = 7%.
אחוז החתיכות שנפסלות: 7% + 7% = 14%.
(2) 0.14 · 650 = 91 חתיכות.

פתרון הדרך: כאן המשתנה הוא הזמן שעבר מן הזריחה, וערך הפונקצייה הוא טמפרטורה. רגע הזריחה הוא t = 0, ולכן הטמפרטורה בו שווה לאיבר החופשי. המקדם של t² שלילי, ולכן לפרבולה יש נקודת מקסימום, ואת הזמן שבו היא מתקבלת נותנת הנוסחה לשיעור ה-t של הקודקוד. כדי למצוא מתי הייתה הטמפרטורה ערך מסוים משווים את הפונקצייה לערך הזה ופותרים משוואה ריבועית. כשהערך הוא הטמפרטורה שבזריחה, האיבר החופשי מתבטל משני האגפים, ואפשר להוציא את t כגורם משותף.
א. ברגע הזריחה t = 0: T(0) = -0.5 · 0² + 7 · 0 + 10 = 10 מעלות.
ב. (1) בפונקצייה T = -0.5t² + 7t + 10 המקדמים הם a = -0.5 ו-b = 7, ולכן
t = -b2a = -72 · (-0.5) = -7-1 = 7 שעות.
(2) T(7) = -0.5 · 7² + 7 · 7 + 10 = -24.5 + 49 + 10 = 34.5 מעלות.
ג. -0.5t² + 7t + 10 = 30, כלומר -0.5t² + 7t - 20 = 0. נחלק את שני האגפים ב-(-0.5): t² - 14t + 40 = 0.
נציב בנוסחת השורשים את המקדמים של המשוואה הזאת, a = 1 , b = -14 , c = 40:
t = 14 ± √((-14)² - 4 · 1 · 40)2 · 1 = 14 ± √(196 - 160)2 = 14 ± √362 = 14 ± 62.
t = 14 + 62 = 10 או t = 14 - 62 = 4.
הטמפרטורה בחממה הייתה 30 מעלות כעבור 4 שעות מן הזריחה, ושוב כעבור 10 שעות מן הזריחה.
ד. -0.5t² + 7t + 10 = 10, כלומר -0.5t² + 7t = 0.
נוציא גורם משותף: t(-0.5t + 7) = 0. מכפלה שווה לאפס רק כשאחד הגורמים שווה לאפס: t = 0 (רגע הזריחה, הנקודה A), או -0.5t + 7 = 0 ואז t = 14.
הטמפרטורה חזרה להיות 10 מעלות כעבור 14 שעות מן הזריחה.

פתרון הדרך: את הגובה של כל עמודה קוראים מן הסרטוט. מכיוון שאין קוביות מרחפות, עמודה שהפאה העליונה שלה נמצאת בקומה מסוימת בנויה מקוביות בכל הקומות שמתחתיה. במבנה הזה רואים בכל עמודה לפחות חלק מן הפאה העליונה, ולכן אף עמודה אינה מוסתרת. בשכבה אופקית סופרים עמדות: עמדה תורמת קובייה לשכבה רק אם העמודה שבה מגיעה לגובה השכבה. במבט מלפנים כל טור של התרשים נראה בגובה העמודה הגבוהה ביותר שבו, ומאחור רואים את אותם טורים מן הצד השני. חצי סיבוב מעביר כל עמדה אל העמדה שמולה ביחס למרכז הבסיס, ולכן הוא מחליף גם בין השורה האחורית לקדמית וגם בין שמאל לימין.
א. בשורה האחורית, משמאל לימין: 2, 1, 4. בשורה האמצעית: 3, 1, 1. בשורה הקדמית: 1, 2, 1. ב. השכבה התחתונה: בכל אחת מתשע העמדות יש לפחות קובייה אחת, ולכן בשכבה זו יש 9 קוביות.
השכבה השנייה: העמודות שגובהן 2 לפחות הן האחורית השמאלית (2), האחורית הימנית (4), האמצעית השמאלית (3) והקדמית האמצעית (2), ולכן בשכבה זו יש 4 קוביות.
השכבה השלישית: רק האחורית הימנית והאמצעית השמאלית מגיעות לגובה 3, ולכן יש בה 2 קוביות.
השכבה הרביעית: רק האחורית הימנית מגיעה לגובה 4, ולכן יש בה קובייה אחת.
בסך הכול: 9 + 4 + 2 + 1 = 16 קוביות. (בדיקה לפי עמודות: 2 + 1 + 4 + 3 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 16.)
ג. בכל טור של התרשים, משמאל לימין, רואים מלפנים את העמודה הגבוהה ביותר: max(2, 3, 1) = 3 , max(1, 1, 2) = 2 , max(4, 1, 1) = 4.
המבט מלפנים: עמודות בגובה 3, 2, 4 משמאל לימין. ד. מאחור רואים את אותם שלושה טורים באותם גבהים, אבל מי שעומד מאחור פונה אל הצד הנגדי, ולכן הטור שנראה מלפנים בצד ימין נמצא עכשיו משמאלו. המבט מאחור: עמודות בגובה 4, 2, 3 משמאל לימין. הקשר: המבט מאחור הוא תמונת ראי של המבט מלפנים, כלומר אותם גבהים בסדר הפוך. הנימוק: בשני המבטים כל טור נראה באותו גובה מרבי, ורק הצד שממנו מסתכלים מתחלף, ואיתו מתחלפים שמאל וימין.
ה. (1) בחצי סיבוב השורה האחורית נעשית קדמית והקדמית נעשית אחורית, ובכל שורה סדר המספרים מתהפך.
השורה האחורית החדשה היא השורה הקדמית הקודמת בסדר הפוך: מן 1, 2, 1 מתקבל 1, 2, 1.
השורה האמצעית נשארת באמצע, בסדר הפוך: מן 3, 1, 1 מתקבל 1, 1, 3.
השורה הקדמית החדשה היא השורה האחורית הקודמת בסדר הפוך: מן 2, 1, 4 מתקבל 4, 1, 2. (2) מן התרשים החדש: max(1, 1, 4) = 4 , max(2, 1, 1) = 2 , max(1, 3, 2) = 3, כלומר עמודות בגובה 4, 2, 3 משמאל לימין. הקשר: המבט הזה זהה למבט מאחור שסרטטתם בסעיף ד. הנימוק: אחרי חצי הסיבוב מי שמסתכל מלפנים רואה את הצד שהיה מאחור, ורואה אותו בדיוק כפי שראה אותו לפני הסיבוב מי שעמד מאחורי המבנה.

פתרון הדרך: גוף שיש בו חור אינו דורש נוסחה מיוחדת: מחשבים את הנפח של הגליל המלא ומחסרים ממנו את הנפח של החור. כדאי להשאיר את π בביטוי עד סוף החישוב ולעגל רק את התוצאה, כך שהעיגול אינו מצטבר משלב לשלב. שטח המעטפת החיצונית אינו מושפע מן החור: היא מלבן שרוחבו היקף המעגל החיצוני וגובהו גובה האטם. בסעיף האחרון נפח כפול המשקל של סנטימטר מעוקב נותן גרמים, וחלוקה ב-1,000 מעבירה לקילוגרמים.
נסמן: R = 6 ס"מ הרדיוס החיצוני, r = 4 ס"מ רדיוס החור, h = 10 ס"מ גובה האטם, ו-V נפח.
א. V = πR²h = π · 6² · 10 = 360π ≈ 1,130.97 סמ"ק.
ב. נפח החור: V = πr²h = π · 4² · 10 = 160π סמ"ק.
נפח המתכת שבאטם: 360π - 160π = 200π ≈ 628.32 סמ"ק.
ג. המעטפת החיצונית היא מלבן שרוחבו היקף המעגל החיצוני וגובהו גובה האטם, ולכן שטחה
2πRh = 2 · π · 6 · 10 = 120π ≈ 376.99 סמ"ר.
ד. נפח המתכת ב-250 אטמים: 200π · 250 = 50,000π סמ"ק.
המשקל בגרמים: 50,000π · 8 = 400,000π ≈ 1,256,637.06 גרם.
המשקל בקילוגרמים: 1,256,637.06 : 1,000 ≈ 1,256.64 ק"ג, ובעיגול לקילוגרם שלם 1,257 ק"ג.
ה. נפח כדור: V = 43πr³ = 43 · π · 3³ = 36π ≈ 113.10 סמ"ק.
נפח החור הוא 160π סמ"ק (סעיף ב), ו-160π36π ≈ 4.44.
אפשר ליצוק לכל היותר 4 כדורים שלמים, ונשארת מעט מתכת.