מתמטיקה

פתרון הדרך: הנתון הראשון אינו אחוז בזנב אלא אחוז ברצועה סימטרית סביב הממוצע, ולכן הוא נדרש לפירוק: הרצועה משאירה מחוצה לה את היתר, מחצית מכל צד, ומכאן מקבלים את האחוז שמתחת לקצה הימני של הרצועה - ורק אז פונים לטבלה. המרחק מן הממוצע אל אותו קצה, מחולק ב־z שהתקבל, נותן את סטיית התקן. מרגע שיש σ, סעיפים ב ו־ג הם תרגום רגיל של משקלים לאחוזים; רצועה צרה מתקבלת כהפרש בין שני זנבות, לא כחישוב חדש. בסעיף ד הכיוון מתהפך: סטיית התקן ידועה, האחוז ידוע, והנעלם הוא הממוצע. בסעיף האחרון אין צורך בחישוב חדש כלל - אותו משקל 732 נמדד בשני התנורים, ולכן די להשוות את שני ציוני התקן שלו: ככל שציון התקן גדול יותר, האחוז שמעליו קטן יותר.
א. הרצועה 680 עד 720 סימטרית סביב הממוצע 700 (המרחק לכל צד הוא 20 גרם).
מחוץ לרצועה נשארים 100% - 78.88% = 21.12%, וההתפלגות סימטרית, ולכן בכל זנב 10.56%.
מתחת ל־720 גרם נמצאים אפוא 100% - 10.56% = 89.44%.
מן הטבלה: Φ(1.25) = 0.8944, ולכן ציון התקן של 720 הוא 1.25:
1.25 = 720 - 700σ, ולכן σ = 201.25 = 16 גרם.
ב. z = 732 - 70016 = 2.
P(x > 732) = 1 - Φ(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228, כלומר 2.28% מן הכיכרות.
ג. z = 740 - 70016 = 2.5, ולכן P(x > 740) = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062.
הרצועה המבוקשת היא ההפרש בין שני הזנבות:
P(732 < x < 740) = 0.0228 - 0.0062 = 0.0166.
מספר הכיכרות: 0.0166·5,000 = 83 כיכרות.
ד. אם 93.32% מן הכיכרות כבדות מ־668 גרם, אז 6.68% קלות ממנו.
מן הטבלה: Φ(1.5) = 0.9332, ולכן 1 - Φ(1.5) = 0.0668 וציון התקן של 668 הוא -1.5:
-1.5 = 668 - μ16, ולכן 668 - μ = -24 ומכאן μ = 692 גרם.
ה. אותו סף 732 גרם, שתי התפלגויות:
בתנור הראשון z = 732 - 70016 = 2, ולכן מעליו 2.28%;
בתנור השני z = 732 - 69216 = 2.5, ולכן מעליו 1 - 0.9938 = 0.62%.
ציון התקן של אותו משקל גדול יותר בתנור השני, כלומר אותו משקל רחוק שם יותר מן הממוצע, ולכן פחות כיכרות מגיעות אליו: אחוז ה"כיכרות המשפחתיות" גדול יותר בתנור הראשון (2.28% מול 0.62%).

פתרון הדרך: כאן מקדם המתאם נתון מראש, ולכן הכיוון הרגיל מתהפך: לא מחשבים את r מן הנתונים אלא משתמשים בו כדי לקבל את השיפוע, ישירות מן הנוסחה שבדף הנוסחאות. את הסימן שלו קוראים כמשמעות ולא כמספר: סימן שלילי פירושו שככל שמשתנה אחד גדל, השני נוטה לקטון. משיש שיפוע, הישר עצמו נבנה מנקודת הממוצעים שדרכה ישר הרגרסיה עובר תמיד. שימו לב שסעיף ד אינו ניבוי רגיל אלא ניבוי הפוך: הערך הנתון הוא y והנעלם הוא x, ולכן פותרים משוואה במקום להציב. ובסעיף האחרון - חלוקת כל ערכי משתנה אחד בקבוע חיובי מכווצת גם את הסטיות מן הממוצע וגם את סטיית התקן באותו יחס בדיוק, ולכן במנה שמגדירה את r הקבוע מצטמצם.
א. הממוצע: 3 + 6 + 12 + 14 + 155 = 505 = 10 שעות.
הסטיות מן הממוצע: -7, -4, 2, 4, 5; ריבועי הסטיות: 49 + 16 + 4 + 16 + 25 = 110.
השונות: 1105 = 22, ולכן Sx = 22 ≈ 4.69 שעות.
ב. r שלילי, ולכן הקשר בין שני המשתנים הוא קשר הפוך: ככל שמספר שעות האימון בשבוע גדול יותר, הדופק במנוחה נוטה להיות נמוך יותר. |r| = 0.995 קרוב מאוד ל־1, ולכן הקשר ההפוך הזה חזק - הנקודות קרובות מאוד לישר יורד.
ג. (1) לפי דף הנוסחאות: b = r·SySx = -0.995·7.074.69 ≈ -1.5.
(2) ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים (10 , 70):
y - 70 = -1.5(x - 10), כלומר y = -1.5x + 85.
ד. כאן נתון y ומחפשים את x, ולכן פותרים משוואה:
67 = -1.5x + 85
1.5x = 18, ולכן x = 12 שעות אימון בשבוע.
ה. מקדם המתאם לא ישתנה.
כאשר מחלקים כל ערך של y ב־6, גם הממוצע של y מתחלק ב־6, ולכן כל סטייה (y - ȳ) מתחלקת ב־6.
במונה של r מופיע סכום מכפלות הסטיות, והוא קטן פי 6.
במכנה מופיעה סטיית התקן של y, וגם היא קטנה פי 6 (הסטיות קטנו פי 6, ריבועיהן פי 36, והשורש מחזיר את הפי 6).
המונה והמכנה קטנו באותו יחס, ולכן המנה - כלומר r - נשארת -0.995.

פתרון הדרך: הטבלה כאן היא טבלה דו-ממדית של מספרי תלמידים, וכל הסתברות בשאלה היא מספר המקרים המבוקשים חלקי מספר האפשרויות. בסעיף א מבטאים את מספר הבנים ואת מספר תלמידי השכבה באמצעות x ומשווים להסתברות הנתונה - כך מתקבלת משוואה אחת בנעלם אחד. הנתון "ידוע שהוא משתתף בחוג הרובוטיקה" בסעיף ב מצמצם את מרחב המדגם לחוג הזה בלבד, וזו הסתברות מותנית. בסעיפים ג ו-ד הבחירה היא ללא החזרה, ולכן בהוצאה השנייה גם המונה וגם המכנה קטנים ב־1, ובסעיף ד מספר הבנות שעזבו הוא נעלם שמוביל למשוואה ריבועית.
א. מספר הבנים בשכבה: x + 7; מספר התלמידים בשכבה: x + 7 + 20 + 15 = x + 42.
x + 7x + 42 = 0.3, ולכן x + 7 = 0.3x + 12.6, כלומר 0.7x = 5.6, ומכאן x = 8.
(בדיקה: בשכבה 50 תלמידים, מהם 15 בנים: 1550 = 0.3 ✓)
ב. בחוג הרובוטיקה 8 + 20 = 28 משתתפים, מהם 20 בנות.
ההסתברות המותנית: P(בת | רובוטיקה) = 2028 = 57.
ג. בחוג התיאטרון 7 + 15 = 22 משתתפים, מהם 15 בנות. הוצאה ללא החזרה:
P = (1522)·(1421) = (15·14)/(22·21) = 210462 = 511.
ד. נסמן ב־k את מספר הבנות שעזבו. בחוג הרובוטיקה נותרו 8 בנים ו־20 - k בנות, ובסך הכול 28 - k משתתפים.
הוצאה ללא החזרה: (8/(28 - k))·(7/(27 - k)) = 433.
מכאן: 56·33 = 4·(28 - k)(27 - k), כלומר (28 - k)(27 - k) = 462.
פותחים סוגריים: k² - 55k + 756 = 462, כלומר k² - 55k + 294 = 0.
הדיסקרימיננטה: 55² - 4·294 = 3025 - 1176 = 1849 = 43²,
k = 55 - 432 = 6 או k = 55 + 432 = 49 (נפסל - בחוג היו רק 20 בנות).
(בדיקה: נותרו 8 בנים ו־14 בנות מתוך 22: (822)·(721) = 56462 = 433 ✓)
עזבו 6 בנות.

פתרון הדרך: שלושת הקודקודים נתונים בשיעורים, ולכן כל העבודה כאן אנליטית: שיפוע, מרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע. זווית ישרה מוכיחים במכפלת שיפועים m1·m2 = -1, ואת הדמיון בסעיף ב לפי משפט זווית-זווית - הגובה ליתר יוצר שתי זוויות ישרות, והזוויות החדות משלימות זו את זו ל־90°. יחס הדמיון שמתקבל שם הוא שנותן בסעיף ה את יחס השטחים, שהוא ריבוע יחס הדמיון. את המעגל החוסם מוצאים בלי חישוב מיותר: במשולש ישר-זווית היתר הוא קוטר המעגל החוסם, ולכן המרכז הוא אמצע היתר - הנקודה שכבר חושבה בסעיף ד - והרדיוס הוא מחצית היתר.
א. הוכחה: שיפוע AB: m = (9 - 0)/(0 - (-3)) = 93 = 3; שיפוע AC: m = (0 - 9)/(27 - 0) = -927 = -13.
מכפלת השיפועים: 3·(-13) = -1, ולכן AB ⊥ AC, כלומר ∠BAC = 90° והמשולש ABC ישר-זווית. מ.ש.ל.
ב. (1) הוכחה:
(1) הקטע AO מונח על ציר ה־y והיתר BC על ציר ה־x, ולכן ∠AOB = ∠AOC = 90°.
(2) במשולש ABO: ∠ABO = 90° - ∠BAO (סכום זוויות במשולש).
(3) ∠CAO = ∠BAC - ∠BAO = 90° - ∠BAO (מסעיף א).
(4) מ-(2), (3): ∠ABO = ∠CAO, ויחד עם (1) המשולשים ABO ו־CAO דומים לפי משפט הדמיון זווית-זווית (A מול C, B מול A, O מול O). מ.ש.ל.
(2) יחס הדמיון שווה ליחס בין ניצבים מתאימים: BO/AO = 39 = 13 (ואומנם גם AO/CO = 927 = 13). יחס הדמיון: 1 : 3.
ג. AB = 3² + 9² = 90 = 310; AC = 27² + 9² = 810 = 910.
המשולש ישר-זווית ב־A, ולכן: S = (AB·AC)/2 = (310·910)/2 = 2702 = 135.
(בדיקה בדרך שנייה: BC = 27 - (-3) = 30, הגובה AO = 9: S = 30·92 = 135 ✓)
ד. E אמצע BC: E(-3 + 272 , 0) = E(12, 0).
AE = (12 - 0)² + (0 - 9)² = 144 + 81 = 225 = 15.
מחצית היתר: BC/2 = 302 = 15, ולכן AE = BC2. מ.ש.ל.
ה. (1) בשני המשולשים AO הוא הגובה, ולכן:
S(ABO) = BO·AO2 = 3·92 = 13.5 ; S(CAO) = CO·AO2 = 27·92 = 121.5.
היחס: 13.5 : 121.5 = 1 : 9.
בלי לחשב את השטחים: בסעיף ב(2) קיבלנו שהמשולשים דומים ביחס 1 : 3, ויחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון: 1² : 3² = 1 : 9.
(2) בסעיף א הוכחנו ∢BAC = 90°. זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר, ולכן היתר BC הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש ABC.
מכאן שמרכז המעגל הוא אמצע היתר, כלומר הנקודה E(12, 0) שמצאנו בסעיף ד, והרדיוס הוא R = BC2 = 302 = 15 (וזה בדיוק אורך התיכון AE).
משוואת המעגל: (x - 12)² + y² = 225.
(בדיקה בקודקוד A(0, 9): (0 - 12)² + 9² = 144 + 81 = 225 ✓)

פתרון הדרך: המעגל כאן אינו נתון - צריך לבנות אותו משתי עובדות בלבד: הוא משיק לציר ה־x בנקודה ידועה, והוא עובר דרך נקודה ידועה. ההשקה היא המפתח: רדיוס אל נקודת השקה ניצב למשיק, ולכן הרדיוס אל T אנכי - מכאן שיעור ה־x של המרכז, ומכאן גם שאורך הרדיוס הוא בדיוק הגובה של המרכז מעל הציר. נשאר נעלם אחד, והוא נופל ממשוואה אחת: המרחק מן המרכז אל B שווה גם הוא לרדיוס. את C אין צורך לחשב דרך משוואת המעגל: מיתר אופקי סימטרי ביחס לאנך שמן המרכז אליו, ולכן C היא פשוט השיקוף של B. בסוף, שני המשולשים BTC ו־BMC חולקים את אותו בסיס, ולכן היחס בין שטחיהם הוא היחס בין הגבהים בלבד - בלי לחשב שטח כלל.
א. (1) רדיוס אל נקודת ההשקה ניצב למשיק. המשיק כאן הוא ציר ה־x, ולכן הרדיוס MT אנכי, כלומר M ו־T בעלי אותו שיעור x, והוא 6.
מכיוון ש־MT אנכי, אורכו הוא ההפרש בשיעורי ה־y בין M ובין T(6, 0) - כלומר שיעור ה־y של M עצמו. ואורך זה הוא הרדיוס.
(2) נסמן M(6 , k), ואז R = k. הנקודה B על המעגל, ולכן MB = R:
(3 - 6)² + (9 - k)² = k²
9 + 81 - 18k + k² = k²
90 = 18k, ולכן k = 5.
M(6, 5), R = 5, ומשוואת המעגל: (x - 6)² + (y - 5)² = 25.
ב. האנך שמן המרכז אל מיתר חוצה את המיתר. המיתר BC מקביל לציר ה־x, ולכן האנך אליו מן המרכז הוא הישר האנכי x = 6, והוא חוצה את BC. לכן C היא השיקוף של B ביחס לישר x = 6:
שיעור ה־y נשמר, y = 9; שיעור ה־x מרוחק מ־6 כמו זה של B אך מן הצד השני: 6 + (6 - 3) = 9.
C(9, 9).
ג. BC = 9 - 3 = 6 (שתי הנקודות בגובה y = 9).
מרחק המיתר מן המרכז: 9 - 5 = 4.
האנך מן המרכז חוצה את המיתר, ולכן נוצר משולש ישר-זווית שניצביו הם מחצית המיתר והמרחק, והיתר הוא הרדיוס:
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² = R² ✔
ד. נתחיל דווקא מן הזווית ההיקפית. במשולש BTC, שהמעגל חוסם, הצלע BC = 6 יושבת מול הקודקוד T, וקוטר המעגל הוא 2R = 10. משפט הסינוסים נותן:
BCsin(∢BTC) = 10, ומכאן sin(∢BTC) = 610 = 0.6.
המיתר BC מונח על הישר y = 9, ושתי הנקודות T(6, 0) ו־M(6, 5) נמצאות מתחתיו. לכן T על הקשת הגדולה, וההיקפית חדה: ∢BTC ≈ 36.87°.
הזווית המרכזית BMC נשענת על הקשת BC כמו ההיקפית, ולכן גודלה פי שניים: ∢BMC ≈ 73.74°.
ה. (1) שני המשולשים בנויים על אותו בסיס BC = 6 המונח על הישר y = 9.
הגובה במשולש BTC הוא המרחק מ־T(6, 0) אל הישר y = 9, כלומר 9:
S(BTC) = 12·6·9 = 27.
הגובה במשולש BMC הוא המרחק מ־M(6, 5) אל אותו ישר, כלומר 4:
S(BMC) = 12·6·4 = 12.
(2) היחס: S(BTC)S(BMC) = 2712 = 94.
ההסבר בלי הערכים: לשני המשולשים אותו בסיס BC, ולכן היחס בין שטחיהם שווה ליחס בין הגבהים אליו. הגובה מ־T הוא 9 והגובה מ־M הוא 4, ולכן היחס הוא 94 - וזה מתקיים גם בלי לחשב אף שטח.

פתרון הדרך: בפונקצייה רציונלית מתחילים תמיד מן המכנה: היכן הוא מתאפס - שם נשבר תחום ההגדרה ושם האסימפטוטה האנכית, והשוואת הדרגות של המונה ושל המכנה מלמדת אם יש אסימפטוטה אופקית. את הפרמטר a מוצאים כאן דרך הנגזרת ולא דרך נקודה על הגרף: גוזרים בעבור a כללי, ומגלים שהמונה מתאפס בשתי נקודות שאחת מהן תלויה ב־a; השוואתה לערך הנתון נותנת את a. מכיוון שמבקשים נקודות קיצון, גוזרים לפי כלל המנה, משווים את הנגזרת לאפס ובודקים את סימנה משני צדי כל שורש כדי לקבוע את הסוג. בסעיף ה מספר הפתרונות של f(x) = k הוא מספר נקודות המפגש של הגרף עם הישר האופקי y = k, ולכן קוראים אותו מן הסקיצה שסורטטה בסעיף ד. בסעיף ו מחברים את f(x) - x למכנה משותף ומקבלים שבר פשוט יותר; אסימפטוטה אופקית קיימת כאן משום שדרגות המונה והמכנה שוות, ולשאלת הקיצון די להסתכל במונה של הנגזרת: מונה קבוע ושונה מאפס פירושו נגזרת שאינה מתאפסת לעולם.
א. (1) המכנה מתאפס ב־x = a, ולכן תחום ההגדרה: x ≠ a.
(2) אסימפטוטה אנכית: x = a (המונה x² אינו מתאפס ב־x = a, שכן a² > 0 בעבור a > 0).
אין אסימפטוטה אופקית: המונה x² ממעלה שנייה והמכנה ממעלה ראשונה, ולכן ערכי הפונקצייה אינם מתייצבים סביב מספר קבוע כאשר |x| גדל.
ב. גוזרים בעבור a כללי, לפי כלל המנה:
f'(x) = 2x(x - a) - x²·1(x - a)² = x² - 2ax(x - a)² = x(x - 2a)(x - a)².
המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה, ולכן הנגזרת מתאפסת רק בשורשי המונה: x = 0 ו־x = 2a.
נתון שיש נקודת קיצון ב־x = 6, ומכיוון ש־6 ≠ 0 נובע 2a = 6, כלומר a = 3 (ואומנם a > 0 ✓).
ג. עם a = 3: f(x) = x²/(x - 3). גוזרים לפי כלל המנה:
f'(x) = 2x(x - 3) - x²(x - 3)² = x² - 6x(x - 3)² = x(x - 6)(x - 3)².
f'(x) = 0 כאשר x = 0 או x = 6.
ערכי הפונקצייה: f(0) = 0-3 = 0 ; f(6) = 363 = 12.
בדיקת סימן (המכנה (x - 3)² תמיד חיובי): בעבור x < 0 שני הגורמים במונה שליליים - f'(x) > 0 (עלייה); בעבור 0 < x < 3 וגם 3 < x < 6: f'(x) < 0 (ירידה); בעבור x > 6: f'(x) > 0 (עלייה).
לכן: נקודת מקסימום (0, 0) ונקודת מינימום (6, 12).
ד. נתונים לסקיצה: אסימפטוטה אנכית x = 3; נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא הראשית (0, 0), שהיא גם נקודת המקסימום בענף השמאלי (בעבור x < 3 מתקיים f(x) ≤ 0); מינימום (6, 12) בענף הימני: ה. (1) מספר הפתרונות של המשוואה f(x) = k הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי y = k. מן הסקיצה: הענף השמאלי מקבל את הערכים f(x) ≤ 0 (מקסימום 0), והענף הימני את הערכים f(x) ≥ 12 (מינימום 12).
לכן בעבור 0 < k < 12 אין למשוואה פתרון.
(בדיקה אלגברית: x² = k(x - 3), כלומר x² - kx + 3k = 0; הדיסקרימיננטה k² - 12k = k(k - 12) שלילית בדיוק כאשר 0 < k < 12 ✓)
(2) הישר y = k חותך את הגרף בשתי נקודות בדיוק כאשר k נמצא מתחת למקסימום או מעל למינימום: k < 0 או k > 12.
(בעבור k = 0 או k = 12 הדיסקרימיננטה מתאפסת ויש פתרון יחיד - נקודות הקיצון עצמן; בעבור k(k - 12) > 0 יש שני פתרונות, ואף אחד מהם אינו x = 3, שכן הצבת x = 3 במשוואה נותנת 9 = 0 - סתירה.)
ו. (1) g(x) = x²x - 3 - x = x² - x(x - 3)x - 3 = x² - x² + 3xx - 3 = 3xx - 3 ✓
כדי לראות את האסימפטוטה האופקית נפריד את השבר: g(x) = 3(x - 3) + 9x - 3 = 3 + 9x - 3. כאשר x → ±∞ השבר 9x - 3 שואף ל־0, ולכן g(x) שואפת ל־3.
משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x: y = 3.
(2) גוזרים לפי כלל המנה: g'(x) = 3(x - 3) - 3x(x - 3)² = -9(x - 3)².
המונה הוא המספר הקבוע -9, שאינו מתאפס לעולם, ולכן g'(x) ≠ 0 בכל תחום ההגדרה x ≠ 3: אין לפונקצייה g(x) נקודות קיצון. (המכנה חיובי תמיד, ולכן g'(x) < 0 תמיד, והפונקצייה יורדת בכל אחד משני הענפים.)

פתרון הדרך: השורש כופה x ≥ 0, וקצה התחום הזה הוא בעצמו מועמד לנקודת קיצון - ולכן השאלה מזכירה במפורש קיצון בקצה. את נקודות החיתוך מקבלים מהשוואת מכפלה לאפס: די שאחד הגורמים יתאפס. הפונקצייה היא מכפלה של פולינום ושל שורש, ולכן גוזרים לפי כלל המכפלה, מאחדים למכנה משותף 2x ומשווים את המונה לאפס, וסימן הנגזרת משני צדי הנקודה קובע את סוג הקיצון. למשיק דרושים רק שני דברים: ערך הפונקצייה בנקודה וערך הנגזרת בה. בסעיף האחרון אין צורך בחישוב אינטגרל חדש: הקדומה של f'(x) היא f(x) עצמה, ולכן השטח הוא הפרש שני ערכים של f בקצות התחום.
א. (1) נדרש x ≥ 0 (הביטוי שבתוך השורש), כלומר תחום ההגדרה: x ≥ 0.
(2) f(x) = 0 כאשר x - 3 = 0 או x = 0, כלומר x = 3 או x = 0.
נקודות החיתוך: (0, 0) (עם שני הצירים) ו־(3, 0).
ב. גוזרים לפי כלל המכפלה:
f'(x) = x + x - 32x = 2x + x - 32x = 3x - 32x = 3(x - 1)2x.
f'(x) = 0 כאשר x = 1.
ערך הפונקצייה: f(1) = (1 - 3)·1 = -2.
בדיקת סימן (המכנה חיובי בעבור x > 0): בעבור 0 < x < 1: f'(x) < 0 (ירידה); בעבור x > 1: f'(x) > 0 (עלייה).
לכן (1, -2) היא נקודת מינימום.
בקצה תחום ההגדרה x = 0: f(0) = 0, והפונקצייה יורדת מיד לאחר הקצה, ולכן (0, 0) היא נקודת מקסימום קצה.
ג. f(4) = (4 - 3)·4 = 2; f'(4) = 3·(4 - 1)/(2·4) = 94 = 2.25.
משוואת המשיק: y - 2 = 2.25(x - 4), כלומר y = 2.25x - 7.
ד. הגרף יוצא מנקודת מקסימום הקצה (0, 0), יורד אל המינימום (1, -2), עולה וחוזר לחתוך את ציר ה־x ב־(3, 0), וממשיך לעלות (בעבור 0 < x < 3 הפונקצייה שלילית):
ה. (1) לא. בסעיף ב קיבלנו f'(x) = 3(x - 1)2x. כאן השורש יושב במכנה, ולכן x חייב להיות שונה מאפס ולא די ש־x ≥ 0:
תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת הוא x > 0, ואילו f(x) מוגדרת גם ב־x = 0.
(2) אין צורך בקדומה חדשה: הקדומה של f'(x) היא f(x) עצמה, ולכן די בהפרש בין שני ערכים של הפונקצייה המקורית.
המכנה חיובי, ולכן f'(x) מתאפסת ב־x = 1 וחיובית בכל x > 1 - זהו התחום שבו הגרף נמצא מעל ציר ה־x, והוא נחסם משמאל ב־x = 1 ומימין בישר x = 4:
S = ∫f'(x)dx בגבולות 1 עד 4, כלומר S = f(4) - f(1) = 2 - (-2) = 4.

פתרון הדרך: משיק נקבע תמיד על ידי שני נתונים: נקודת ההשקה, שכאן היא A(t, 9t), והשיפוע, שהוא ערך הנגזרת באותה נקודה. את נקודות החיתוך של ישר עם הצירים מקבלים בהצבת y = 0 ובהצבת x = 0. המשולש OPQ ישר־זווית, ולכן שטחו הוא מחצית מכפלת שני הניצבים - וכאן t מצטמצם והשטח יוצא מספר קבוע. את אורך PQ לא כדאי לגזור: מספיק למזער את PQ², שאין בו שורש, שכן שני הגדלים אינם שליליים וגדלים יחד; גוזרים אותו, משווים ל־0 ומאשרים בבדיקת סימנים.
א. f(x) = 9x⁻¹ ולכן f'(x) = -9x², ובנקודה A השיפוע הוא m = -9t².
נקודת ההשקה היא A(t, 9t), ולכן משוואת המשיק:
y - 9t = -9t²(x - t), כלומר y = 18t - 9xt².
ב. חיתוך עם ציר ה־x (הצבת y = 0): 9xt² = 18t, ומכאן 9x·t = 18t² ולכן x = 2t - כלומר P(2t, 0) ✓
חיתוך עם ציר ה־y (הצבת x = 0): y = 18t - כלומר Q(0, 18t) ✓
ג. (1) במשולש OPQ הזווית שבקודקוד O ישרה, והניצבים הם OP = 2t ו־OQ = 18t:
S = 12·2t·18t = 36t2t = 18.
הביטוי אינו תלוי ב־t כלל, ולכן שטח המשולש הוא 18 בעבור כל מיקום של A על הגרף.
(2) לפי משפט פיתגורס במשולש ישר־הזווית OPQ:
PQ² = OP² + OQ² = (2t)² + (18t)² = 4t² + 324t².
ד. נסמן L(t) = 4t² + 324t² בתחום t > 0, ונגזור:
L'(t) = 8t - 648t³. משווים ל־0: 8t = 648t³, כלומר 8t⁴ = 648 ומכאן t⁴ = 81.
מכיוון ש־t > 0 מתקבל t = 3.
בדיקת סימן: בעבור t = 2: L'(2) = 16 - 81 = -65 < 0 (ירידה); בעבור t = 4: L'(4) = 32 - 10.125 > 0 (עלייה) - ולכן t = 3 היא נקודת מינימום.
PQ² = 4·9 + 3249 = 36 + 36 = 72, ולכן PQ = 72 = 62 ≈ 8.49.