מתמטיקה

פתרון הדרך: הנתון הראשון אינו נותן מספר אלא שוויון בין שני מספרים, וזה בדיוק מה שדרוש: בעקומה סימטרית, שני זנבות שווים חייבים להיות במרחקים שווים מן הממוצע, ולכן הממוצע יושב בדיוק באמצע בין שני הזמנים - בלי טבלה ובלי חישוב. רק אחרי שהממוצע ידוע אפשר לתרגם את מספר הרצים לאחוז, ומן האחוז לציון תקן, ומשם לסטיית התקן. סעיף ב הוא הכיוון הרגיל, מזמן לאחוז. בסעיפים ג-ד נכפל כל הזמנים בקבוע: פעולה כזאת כופלת באותו קבוע גם את הממוצע וגם את סטיית התקן, ולכן כל ציון תקן נשמר בדיוק - וזה גם ההסבר לכך שהתשובה בסעיף ד חוזרת על עצמה.
א. (1) עקומת ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע. שני הזנבות - מתחת ל־40 ומעל 50 - מכילים אותו מספר רצים, כלומר אותו שיעור מן הרצים. בעקומה סימטרית זה קורה רק כאשר שני הערכים מרוחקים מן הממוצע מרחק שווה, ולכן הממוצע נמצא בדיוק באמצע ביניהם:
μ = 40 + 502 = 45 דקות.
(2) 1,58710,000 = 0.1587, כלומר 15.87% מן הרצים סיימו בפחות מ־40 דקות.
מן הטבלה: Φ(1) = 0.8413, ולכן 1 - Φ(1) = 0.1587, וציון התקן של 40 הוא -1:
-1 = 40 - 45σ, ולכן σ = 5 דקות.
ב. z = 53.5 - 455 = 1.7.
מן הטבלה: Φ(1.7) = 0.9554, ולכן P(x > 53.5) = 1 - 0.9554 = 0.0446.
כ־4.46% מן הרצים סיימו אחריה.
ג. כאשר כופלים כל אחד מן הזמנים בקבוע, גם הממוצע וגם סטיית התקן נכפלים באותו קבוע:
ממוצע חדש: 0.9·45 = 40.5 דקות; סטיית תקן חדשה: 0.9·5 = 4.5 דקות.
ד. z = 36 - 40.54.5 = -1, ולכן P(x < 36) = 1 - Φ(1) = 0.1587.
מספר הרצים: 0.1587·10,000 = 1,587 רצים.
ההסבר לזהות: 36 הוא בדיוק 0.9·40, כלומר הוא הזמן שאליו עבר הסף הישן. כאשר כל הזמנים, וגם הממוצע וגם סטיית התקן, נכפלים באותו קבוע חיובי, המונה והמכנה של z = x - μσ נכפלים באותו קבוע - וציון התקן נשאר בדיוק אותו ציון תקן. אותו ציון תקן פירושו אותו אחוז, ולכן אותו מספר רצים.

פתרון הדרך: בסעיף ב לא מבקשים ממכם לחשב את הישר אלא לזהות אותו, וזה נעשה בשני מבחני פסילה מהירים: ראשית הסימן - הנתונים עולים יחד, ולכן השיפוע חייב להיות חיובי, וזה מוציא מן המשחק את המועמד היורד; ושנית, ישר הרגרסיה חייב לעבור דרך נקודת הממוצעים, ולכן די להציב בה את שני המועמדים שנותרו ולראות מי מהם עובר בה. את מקדם המתאם מקבלים מן השיפוע בהיפוך נוסחת דף הנוסחאות. בסעיף האחרון מחשבים שאריות - ההפרש בין הערך שנמדד ובין הערך שהישר מנבא - וסכומן מתאפס תמיד, בדיוק משום שהישר עובר דרך נקודת הממוצעים.
א. הממוצע: 30 + 34 + 38 + 46 + 525 = 2005 = 40 דקות.
הסטיות מן הממוצע: -10, -6, -2, 6, 12; ריבועי הסטיות: 100 + 36 + 4 + 36 + 144 = 320.
השונות: 3205 = 64, ולכן Sx = 64 = 8 דקות.
ב. מבחן ראשון - הסימן: ככל שמספר דקות התרגול גדל, גם הציון גדל (הטבלה עולה), ולכן הקשר ישר ושיפוע ישר הרגרסיה חייב להיות חיובי. מועמד II בעל שיפוע -1 ולכן נפסל.
מבחן שני - נקודת הממוצעים: ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך (x̄ , ȳ) = (40 , 76). נציב x = 40:
במועמד I: 1.5·40 + 4 = 64 ≠ 76 - נפסל.
במועמד III: 1.5·40 + 16 = 76 ✔
לכן ישר הרגרסיה הוא y = 1.5x + 16.
ג. בדף הנוסחאות השיפוע כתוב בצורה b = r·SySx. נבודד ממנה את r ונציב את השיפוע שקיבלנו ואת שתי סטיות התקן:
r = b·SxSy = 1.5·812.46 = 1212.46 ≈ 0.963.
ד. מציבים x = 50: y = 1.5·50 + 16 = 91. הניבוי: ציון 91.
ה. נחשב בעבור כל תלמיד את הציון המנובא 1.5x + 16 ואת ההפרש מן הציון שקיבל:
תלמיד א׳: x = 30, ניבוי 61, ציון 61, הפרש 0.
תלמיד ב׳: x = 34, ניבוי 67, ציון 63, הפרש -4.
תלמיד ג׳: x = 38, ניבוי 73, ציון 79, הפרש +6.
תלמיד ד׳: x = 46, ניבוי 85, ציון 83, הפרש -2.
תלמיד ה׳: x = 52, ניבוי 94, ציון 94, הפרש 0.
הניבוי היה מדויק בדיוק בעבור תלמידים א׳ ו־ה׳ (הפרש 0).
סכום ההפרשים: 0 + (-4) + 6 + (-2) + 0 = 0.
זה אינו מקרי: סכום ההפרשים הוא Σy - Σ(1.5x + 16) = Σy - 1.5Σx - 5·16.
Σy = 5ȳ = 380 ו־Σx = 5x̄ = 200, ולכן הסכום הוא 380 - 300 - 80 = 0.
במילים: הישר עובר דרך נקודת הממוצעים, ולכן ממוצע הציונים המנובאים שווה בדיוק לממוצע הציונים בפועל - וכשהממוצעים שווים, סכום ההפרשים חייב להתאפס.

פתרון הדרך: לאותה תוצאה - "ביצה סדוקה" - מובילים כאן שני מסלולים נפרדים, דרך מכונה א׳ ודרך מכונה ב׳, ולכן הכלי הנוח הוא דיאגרמת עץ: כופלים לאורך כל מסלול ומחברים בין המסלולים המובילים לאותה תוצאה. הניסוח "ידוע ש..." בסעיף ב הוא הסימן להסתברות מותנית: מצטמצמים רק לביצים הסדוקות, והן המכנה החדש, ובמונה נשאר רק המסלול של מכונה א׳. בסעיף ג ההסתברות שחושבה בסעיף א היא אחוז מתוך מספר לא ידוע של ביצים, ולכן מקבלים משוואה אחת בנעלם אחד. בסעיף ד הבחירה היא בלי החזרה, ולכן בהוצאה השנייה גם המונה וגם המכנה קטנים ב־1, וההסתברות הנתונה מובילה למשוואה ריבועית במספר הביצים הסדוקות.
א. נבנה דיאגרמת עץ: בשלב הראשון המכונה (P(א׳) = 0.6 , P(ב׳) = 1 - 0.6 = 0.4), ובשלב השני האם הביצה נסדקה.
המסלול "מכונה א׳ ונסדקה": 0.6·0.05 = 0.03.
המסלול "מכונה ב׳ ונסדקה": 0.4·0.10 = 0.04.
שני המסלולים זרים זה לזה, ולכן: P(סדוקה) = 0.03 + 0.04 = 0.07, כלומר 7%.
ב. הסתברות מותנית - המכנה הוא כל הביצים הסדוקות, והמונה הוא הסדוקות שהגיעו ממכונה א׳:
P(מכונה א׳ | סדוקה) = 0.030.07 = 37 ≈ 0.4286.
ג. נסמן ב־N את מספר הביצים שנארזו במשמרת. 7% מהן נסדקו:
0.07·N = 84, ולכן N = 840.07 = 1,200 ביצים.
ד. נסמן ב־k את מספר הביצים הסדוקות בקופסה. בבחירה בלי החזרה:
k12·k - 111 = 122
k(k - 1) = 12·1122 = 13222 = 6
k² - k - 6 = 0, כלומר (k - 3)(k + 2) = 0, ומכאן k = 3 (הפתרון k = -2 נפסל).
בקופסה יש 3 ביצים סדוקות. בדיקה: 312·211 = 6132 = 122 ✓

פתרון הדרך: הנתונים כאן הם שיעורים, ולכן כל תכונה של הטרפז מתורגמת לשפה של שיפועים, מרחקים ואמצעי קטעים: מקבילות היא שוויון שיפועים, זווית ישרה היא מכפלת שיפועים ששווה -1, ואורך צלע הוא נוסחת המרחק. הקודקוד C אינו נתון, אבל הוא מונח בו-זמנית על שני ישרים ידועים - הישר שעובר דרך D ומקביל ל־AB, והישר שעובר דרך B בשיפוע הנתון - ולכן מוצאים אותו כפתרון מערכת של שתי משוואות. את השטח נותנת נוסחת הטרפז, ובטרפז ישר-זווית השוק שמאונכת לבסיסים היא הגובה עצמו, כך שאין צורך לחפש גובה בנפרד. את הסעיף האחרון פותרים בשני חישובים ישירים: נוסחת אמצע קטע פעמיים, ואז שיפוע ומרחק בין שני האמצעים; ואת שאלת שוויון השוקיים מכריעה השוואה של שני אורכים.
א. שיפוע AB: m = 7 - 16 - (-2) = 68 = 0.75.
דרך A(-2, 1): y - 1 = 0.75(x + 2), כלומר y = 0.75x + 2.5 (בדיקה ב־B: 0.75·6 + 2.5 = 7 ✓).
ב. הוכחה: שיפוע AD: 9 - 1-8 - (-2) = 8-6 = -43.
מכפלת השיפועים: 0.75·(-43) = -1, ולכן AD ⊥ AB, כלומר ∠DAB = 90°. מ.ש.ל.
ג. (1) DC ∥ AB, ולכן שיפוע DC הוא 0.75. דרך D(-8, 9):
y - 9 = 0.75(x + 8), כלומר y = 0.75x + 15.
(2) משוואת השוק BC דרך B(6, 7) בשיפוע -0.5: y - 7 = -0.5(x - 6), כלומר y = -0.5x + 10.
C היא נקודת החיתוך של שני הישרים: 0.75x + 15 = -0.5x + 10, ומכאן 1.25x = -5, כלומר x = -4.
y = -0.5·(-4) + 10 = 12. לכן C(-4, 12) (בדיקה בישר DC: 0.75·(-4) + 15 = 12 ✓).
ד. AB = (6 + 2)² + (7 - 1)² = 64 + 36 = 100 = 10.
DC = (-4 + 8)² + (12 - 9)² = 16 + 9 = 25 = 5.
AD = (-8 + 2)² + (9 - 1)² = 36 + 64 = 100 = 10.
השוק AD מאונכת לשני הבסיסים, ולכן היא הגובה של הטרפז:
S = AB + DC2·AD = 10 + 52·10 = 7.5·10 = 75.
ה. (1) לפי נוסחת אמצע קטע:
E(-2 + (-8)2 , 1 + 92) = E(-5, 5) ; F(6 + (-4)2 , 7 + 122) = F(1, 9.5).
הוכחת המקבילות: שיפוע EF: 9.5 - 51 - (-5) = 4.56 = 0.75, וזה בדיוק שיפוע הבסיסים AB ו־DC מסעיפים א ו־ג.
שיפועים שווים ואין ל־EF נקודה משותפת עם הבסיסים, ולכן EF ∥ AB ∥ DC. מ.ש.ל.
אורך הקטע: EF = (1 - (-5))² + (9.5 - 5)² = 36 + 20.25 = 56.25 = 7.5.
(מתאים לנוסחת קטע האמצעים בטרפז: AB + DC2 = 10 + 52 = 7.5 ✓)
(2) טרפז הוא שווה-שוקיים אם שתי שוקיו שוות באורכן. מחשבים את השוק השנייה:
BC = (-4 - 6)² + (12 - 7)² = 100 + 25 = 125 = 55 ≈ 11.18, ואילו AD = 10 (סעיף ד).
AD ≠ BC, ולכן הטרפז ABCD אינו שווה-שוקיים.
(הסבר כללי: בטרפז ישר-זווית שאינו מלבן, שוק אחת מאונכת לבסיסים והשנייה נטויה, והנטויה ארוכה ממנה תמיד.)

פתרון הדרך: כאן לא נתונים לא המרכז ולא הרדיוס - נתונות רק שלוש נקודות שהמעגל עובר בהן. הצורה הכללית של משוואת המעגל מכילה שלושה מקדמים, ולכן שלוש נקודות נותנות שלוש משוואות, ובחירה מוצלחת של הנקודות הופכת אותן לקלות במיוחד: הצבת ראשית הצירים מחסלת מיד את האיבר החופשי, ואחריה כל אחת מן הנקודות שעל הציר משאירה מקדם אחד בלבד. את המרכז והרדיוס קוראים אחר כך מהשלמה לריבוע. משיש רדיוס, אפשר לבדוק אם צלע כלשהי היא קוטר - די להשוות את אורכה לקוטר - ומשם הזווית הישרה מגיעה ממשפט תאלס, בלי חישוב זוויות כלל. את הנקודה הנגדית לקודקוד על המעגל מקבלים מנוסחת האמצע בכיוון ההפוך, ושני קטרים שנחתכים במרכז הופכים את המרובע שקודקודיו הם ארבעת קצותיהם למלבן.
א. נציב את שלוש הנקודות ב־x² + y² + Dx + Ey + F = 0:
A(0, 0): 0 + 0 + 0 + 0 + F = 0, ולכן F = 0.
B(12, 0): 144 + 12D = 0, ולכן D = -12.
C(0, 5): 25 + 5E = 0, ולכן E = -5.
משוואת המעגל: x² + y² - 12x - 5y = 0.
נשלים לריבועים: (x - 6)² - 36 + (y - 2.5)² - 6.25 = 0, כלומר (x - 6)² + (y - 2.5)² = 42.25.
M(6 , 2.5) ו־R = 42.25 = 6.5.
ב. BC = (12 - 0)² + (0 - 5)² = 144 + 25 = 169 = 13.
הקוטר הוא 2R = 2·6.5 = 13, ולכן BC שווה באורכו לקוטר; מיתר שאורכו כאורך הקוטר הוא הקוטר עצמו, ולכן BC קוטר במעגל.
∢BAC היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר BC, ולפי משפט תאלס זווית כזאת היא זווית ישרה: ∢BAC = 90°.
ג. הזווית ב־A ישרה, ולכן שני הניצבים הם הבסיס והגובה. AB = 12 (על ציר ה־x) ו־AC = 5 (על ציר ה־y):
S = 12·12·5 = 30.
ד. שיפוע הרדיוס MA: 2.5 - 06 - 0 = 512.
המשיק ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן שיפועו -125 = -2.4.
המשיק עובר דרך A(0, 0), ולכן משוואתו: y = -2.4x.
ה. (1) AD קוטר, ולכן M היא אמצעו. מנוסחת האמצע:
6 = 0 + x_D2, ולכן x_D = 12; 2.5 = 0 + y_D2, ולכן y_D = 5.
D(12, 5). בדיקה: (12 - 6)² + (5 - 2.5)² = 36 + 6.25 = 42.25 ✔
(2) במרובע ABDC האלכסונים הם AD ו־BC, ושניהם קטרים במעגל.
שני קטרים נחתכים במרכז וחוצים זה את זה, ולכן ABDC הוא מקבילית; ושני הקטרים שווים באורכם (13 כל אחד), ומקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן.
לכן ABDC מלבן. אורכי צלעותיו: AB = 12 ו־AC = 5, ולכן שטחו:
S = 12·5 = 60 - בדיוק כפליים משטח המשולש ABC, כצפוי, שכן האלכסון BC חוצה את המלבן לשני משולשים חופפים.

פתרון הדרך: בפונקצייה רציונלית מתחילים תמיד מן המכנה ושואלים היכן הוא מתאפס: שם נשבר תחום ההגדרה ושם גם האסימפטוטה האנכית - ובלבד שהמונה אינו מתאפס באותה נקודה, וכאן זה מובטח מן התנאי a > 0; את שאלת האסימפטוטה האופקית מכריעים בהשוואת דרגות המונה והמכנה, וכאשר דרגת המכנה גדולה יותר האסימפטוטה היא ציר ה־x עצמו. את הפרמטר מגלה כאן דווקא הנגזרת: גוזרים בעבור a כללי, מוצאים היכן נמצא ערך המקסימום - שיעור ה־x שלו כלל אינו תלוי ב־a - ומשווים את ערך הפונקצייה שם לערך הנתון. הבקשה למצוא נקודות קיצון היא ההוראה לגזור בכלל המנה, לצמצם את הגורם המשותף (x + 2) שנשאר במונה ובמכנה, להשוות את הנגזרת ל־0 ולקבוע את סוג הקיצון בלוח סימנים - ושימו לב שכאן המכנה (x + 2)³ אינו חיובי תמיד אלא מחליף סימן באסימפטוטה, ולכן הוא נכנס אל הלוח; שתי האסימפטוטות, נקודת הקיצון והחיתוך עם הצירים הם כל מה שדרוש לסקיצה של סעיף ד. בסעיף ה כדאי לשים לב שהוספת קבוע לפונקצייה אינה משנה כלל את הנגזרת, ולכן נקודת הקיצון נשארת באותו שיעור x ורק מוסטת אנכית ב־c, ו"מונחת על ציר ה־x" פירושו ששיעור ה־y שלה מתאפס.
א. (1) המכנה (x + 2)² מתאפס ב־x = -2, ולכן תחום ההגדרה: x ≠ -2.
(2) אסימפטוטה אנכית: x = -2 (ערך המונה שם הוא a·(-2) = -2a, והוא שונה מאפס כי a > 0).
אסימפטוטה אופקית: דרגת המונה (1) קטנה מדרגת המכנה (2), ולכן כאשר x → ±∞ המכנה גדל הרבה יותר מהר מן המונה, וערכי הפונקצייה נדחקים אל האפס. יש אפוא אסימפטוטה אופקית אחת, והיא ציר ה־x עצמו: y = 0.
ב. גוזרים בעבור a כללי, לפי כלל המנה, ומצמצמים את הגורם (x + 2):
f′(x) = a(x + 2)² - a·x·2(x + 2)(x + 2)⁴ = (x + 2)·[a(x + 2) - 2ax](x + 2)⁴ = a(2 - x)(x + 2)³.
בתחום x > -2 המכנה (x + 2)³ חיובי, ונתון a > 0, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן (2 - x):
בעבור -2 < x < 2 הנגזרת חיובית (עלייה), ובעבור x > 2 היא שלילית (ירידה).
לכן הערך הגדול ביותר בתחום זה מתקבל ב־x = 2, ושיעור ה־x הזה אינו תלוי כלל ב־a:
f(2) = 2a(2 + 2)² = 2a16 = a8.
משווים לנתון: a8 = 4, ומכאן a = 32 (ואומנם a > 0 ✓).
ג. עם a = 32: f(x) = 32x(x + 2)². גוזרים לפי כלל המנה:
f′(x) = 32(x + 2)² - 32x·2(x + 2)(x + 2)⁴
מוציאים (x + 2) גורם משותף במונה ומצמצמים אותו עם המכנה:
f′(x) = (x + 2) · [32(x + 2) - 64x](x + 2)⁴ = 64 - 32x(x + 2)³ = 32(2 - x)(x + 2)³.
f′(x) = 0 כאשר המונה מתאפס, כלומר x = 2, וערך הפונקצייה שם: f(2) = 6416 = 4.
לוח סימנים: המונה 32(2 - x) חיובי בעבור x < 2 ושלילי בעבור x > 2; המכנה (x + 2)³ שלילי בעבור x < -2 וחיובי בעבור x > -2:
בעבור x < -2: מונה חיובי ומכנה שלילי - f′(x) < 0 (ירידה); בעבור -2 < x < 2: שניהם חיוביים - f′(x) > 0 (עלייה); בעבור x > 2: מונה שלילי ומכנה חיובי - f′(x) < 0 (ירידה).
המעבר מעלייה לירידה הוא ב־x = 2, ולכן (2, 4) היא נקודת מקסימום, והיא נקודת הקיצון היחידה. (ב־x = -2 אין קיצון: זו האסימפטוטה, והנקודה כלל אינה בתחום ההגדרה.)
ד. נתונים לסקיצה: אסימפטוטה אנכית x = -2; אסימפטוטה אופקית y = 0; נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא הראשית (0, 0) (המונה 32x מתאפס רק ב־x = 0), ושם הגרף אף חוצה את האסימפטוטה האופקית שלו; מקסימום (2, 4). בענף השמאלי (x < -2) כל ערכי הפונקצייה שליליים: הענף מתקרב אל y = 0 מלמטה כאשר x → -∞, ויורד אל -∞ בסמוך לאסימפטוטה. הענף הימני (x > -2) מטפס מערכים שליליים מאוד, חוצה את הראשית, מגיע אל המקסימום (2, 4), ואחר כך יורד ומתקרב אל y = 0 מלמעלה - למשל דרך הנקודה הנתונה (6, 3): ה. (1) הוספת קבוע אינה משנה את הנגזרת: h′(x) = f′(x), ולכן נקודת הקיצון נשארת באותו שיעור x = 2, וגם סוגה אינו משתנה (הזזה אנכית אינה משנה תחומי עלייה וירידה), ואילו ערך הפונקצייה בה גדל ב־c:
נקודת מקסימום: (2, 4 + c). זו נקודת הקיצון היחידה של h(x).
(2) נקודת קיצון מונחת על ציר ה־x כאשר שיעור ה־y שלה שווה 0:
4 + c = 0, ומכאן c = -4 (ואז נקודת המקסימום היא (2, 0)).
מכיוון שזו נקודת הקיצון היחידה, c = -4 הוא הערך היחיד שמקיים את הדרישה.

פתרון הדרך: יש כאן שורש, ובנוסף הוא יושב במכנה, ולכן שתי דרישות מצטרפות לתחום ההגדרה: הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי, והמכנה אינו מתאפס - וביחד נשאר x > 0. בדיוק הנקודה שנפלטה מן התחום היא גם האסימפטוטה האנכית, כי כאשר x מתקרב ל־0 המונה שואף ל־16 והמכנה שואף ל־0. הבקשה למצוא קיצון היא ההוראה לגזור בכלל המנה; כדי להיפטר מן השבר שבתוך השבר כופלים את מונה הנגזרת ואת מכנהּ ב־2x, מקבלים שבר אחד ומשווים אותו ל־0, ואת סוג הקיצון קובעים בלוח סימנים שבו המכנה חיובי בכל התחום. בסעיף ה לא מבקשים חישוב חדש אלא קריאה נכונה של מה שכבר נמצא: נקודת מינימום שהיא היחידה בכל תחום ההגדרה אינה רק נמוכה מסביבתה - היא נמוכה מכל ערך אחר של הפונקצייה, ולכן ערכה הוא חסם תחתון לכל הגרף.
א. תחת השורש נדרש x ≥ 0, ומכיוון שהשורש נמצא במכנה נדרש גם x ≠ 0, כלומר x ≠ 0.
תחום ההגדרה: x > 0.
ב. חיתוך עם ציר ה־y מחייב x = 0, ו־x = 0 אינו בתחום ההגדרה - ולכן אין חיתוך עם ציר ה־y.
חיתוך עם ציר ה־x מחייב f(x) = 0, כלומר x + 16 = 0, כלומר x = -16 - שאינו בתחום ההגדרה. לכן אין חיתוך עם ציר ה־x.
(למעשה בכל התחום x > 0 מתקיים x + 16 > 0 וגם x > 0, ולכן f(x) > 0 - כל הגרף מעל ציר ה־x.)
כאשר x → 0⁺ המונה שואף ל־16 והמכנה שואף ל־0 מלמעלה, ולכן f(x) → ∞. משוואת האסימפטוטה האנכית: x = 0 (ציר ה־y).
ג. נגזור לפי כלל המנה: נגזרת המונה x + 16 היא 1, נגזרת המכנה x היא 12x, והמכנה של הנגזרת הוא (x)² = x.
כדי לאחד לשבר אחד נכפול את מונה הנגזרת ואת מכנה הנגזרת ב־2x:
המונה: 2x·x - (x + 16) = 2x - x - 16 = x - 16; המכנה: 2x·x = 2xx. לכן:
f′(x) = x - 162xx.
f′(x) = 0 כאשר x - 16 = 0, כלומר x = 16.
ערך הפונקצייה: f(16) = 16 + 1616 = 324 = 8.
לוח סימנים (בתחום x > 0 המכנה 2xx חיובי, ולכן הסימן נקבע במונה): בעבור 0 < x < 16: f′(x) < 0 (ירידה); בעבור x > 16: f′(x) > 0 (עלייה).
לכן (16, 8) היא נקודת מינימום (וזו נקודת הקיצון היחידה; לתחום ההגדרה אין קצה סגור).
ד. כל הגרף נמצא ברביע הראשון: הוא צמוד לציר ה־y מלמעלה (אסימפטוטה x = 0), יורד עד המינימום (16, 8), ומשם עולה לאט:
ה. בסעיף ג מצאנו שהנגזרת מתאפסת ב־x = 16 בלבד, ושהפונקצייה יורדת בתחום 0 < x < 16 ועולה בתחום x > 16.
לכן (16 , 8) אינה רק נקודת מינימום מקומית: משמאלה הפונקצייה יורדת אליה, ומימינה היא עולה ממנה, ואין בתחום ההגדרה שום נקודה נוספת שבה הנגזרת מתאפסת. מכאן שכל ערך אחר של הפונקצייה גדול מן הערך שלה בנקודה זו:
f(x) ≥ f(16) = 8 לכל x > 0.
שוויון מתקיים בנקודה אחת בלבד - בעבור x = 16.
(אישור אלגברי: f(x) - 8 = x + 16x - 8 = x - 8x + 16x = (x - 4)²x. המונה הוא ריבוע ולכן אינו שלילי, והמכנה חיובי בכל התחום, ולכן המנה אינה שלילית - ומתאפסת רק כאשר x = 4, כלומר x = 16.)
ו. (1) כדי לגזור נוח לפרק את השבר לסכום חזקות: f(x) = x + 16x = x + 16x.
גוזרים כל מחובר בנפרד: f'(x) = 12x - 162x·x.
מכנה משותף 2x·x מאחד את שני המחוברים לשבר יחיד: f'(x) = x - 162x·x (במכנה יש גם x וגם x, ולכן גם כאן נדרש x > 0).
(2) כאן לא מחפשים קדומה חדשה כלל: הפונקצייה שנגזרתה היא f'(x) כבר בידינו - זו f(x) בכבודה ובעצמה - ולכן האינטגרל המסוים מצטמצם להפרש בין שני ערכי f.
מן הצורה שקיבלנו זה עתה הסימן נקרא מיד: f'(x) שלילית בעבור 0 < x < 16, מתאפסת ב־x = 16 וחיובית משם ואילך. משמאל ל־x = 16 התחום אינו סגור (הנגזרת שואפת שם ל־-∞), ולכן התחום הסגור היחיד נמתח מ־x = 16 עד x = 64:
S = ∫f'(x)dx בגבולות 16 עד 64, כלומר S = f(64) - f(16) = 10 - 8 = 2.

פתרון הדרך: הקטע AB מקביל לציר ה־y, ולכן לשתי הנקודות אותו שיעור x ואורך הקטע הוא פשוט הפרש שיעורי ה־y. כדי לדעת מי מהם גדול יותר בודקים את סימן ההפרש: אם הוא חיובי בכל t, אפשר לוותר על הערך המוחלט - וכאן ההפרש הוא ריבוע ועוד מספר חיובי, ולכן הפרבולה נמצאת תמיד מעל הישר. את המינימום מוצאים בגזירה, בהשוואה ל־0 ובבדיקת סימנים. בסעיף ג משווים את הערך הנתון למינימום: אורך קטן מן המינימום אינו אפשרי. ובסעיף ד נתונה רק נגזרת: את הפונקצייה עצמה משחזרים בכלל החזקה, והנקודה הנתונה קובעת את הקבוע c.
א. A(t, t² - 2t + 7) ו־B(t, 2t + 1), ולכן:
AB = (t² - 2t + 7) - (2t + 1) = t² - 4t + 6.
ההפרש הוא t² - 4t + 6 = (t - 2)² + 2, שהוא חיובי בעבור כל t, ולכן הפרבולה נמצאת תמיד מעל הישר ואין צורך בערך מוחלט.
ב. (1) נסמן L(t) = t² - 4t + 6. גוזרים: L'(t) = 2t - 4.
L'(t) = 0 כאשר t = 2. בעבור t < 2: L'(t) < 0 (ירידה); בעבור t > 2: L'(t) > 0 (עלייה), ולכן t = 2 היא נקודת מינימום.
(2) L(2) = 4 - 8 + 6 = 2, כלומר האורך המינימלי של AB הוא 2.
ג. פותרים את המשוואה L(t) = 3:
t² - 4t + 6 = 3 , כלומר t² - 4t + 3 = 0.
(t - 1)(t - 3) = 0, ומכאן t = 1 או t = 3.
(בדיקה: L(1) = 1 - 4 + 6 = 3 ✓ ; L(3) = 9 - 12 + 6 = 3 ✓)
מדוע בדיוק שניים: משלימים לריבוע ומקבלים L(t) = (t - 2)² + 2, כלומר גרף של פרבולה שענפיה כלפי מעלה וקודקודה (2, 2).
הערך 3 גדול מערך המינימום 2, ולכן הישר L = 3 חותך את הפרבולה בשתי נקודות בדיוק - אחת משמאל לקודקוד ואחת מימינו, במרחקים שווים ממנו (ואומנם 1 ו־3 נמצאות במרחק 1 מ־2).
ד. (1) מחפשים פונקצייה קדומה של h'(x) = 2x - 4. לפי כלל החזקה: h(x) = x² - 4x + c.
הגרף עובר בנקודה (1, 3), ולכן h(1) = 1 - 4 + c = 3, ומכאן c = 6: h(x) = x² - 4x + 6.
(בדיקה: גזירה מחזירה 2x - 4 ✓ ; h(1) = 1 - 4 + 6 = 3 ✓)
(2) בהצבת t מתקבל h(t) = t² - 4t + 6, וזה בדיוק אורך הקטע AB מסעיף א.
הנגזרת הנתונה h'(t) = 2t - 4 מתאפסת ב־t = 2, שלילית משמאל לו וחיובית מימינו, ולכן t = 2 היא נקודת המינימום של h, אותו ערך שמצאנו בסעיף ב.