מתמטיקה

פתרון הדרך: שני הסעיפים הראשונים הם התנועה הרגילה בין אחוז ובין משך נסיעה, פעם בכל כיוון. הסעיף השלישי הוא הלב: המילה "חריגה בדיוק כמו" אינה אומרת שהזמנים שווים אלא שציוני התקן שווים - וזה בדיוק הגשר בין שתי התפלגויות שונות. מחשבים את ציון התקן בקו שבו הכול ידוע, ומעבירים אותו כמות שהוא לקו השני, שם הוא נותן משוואה אחת בנעלם היחיד שנשאר - סטיית התקן. בסעיף האחרון "חריגה יותר" נמדדת במרחק מן הממוצע ביחידות של סטיית תקן, כלומר בערך המוחלט של ציון התקן, ולא בסימנו: אותו זמן עצמו יכול להיות מתחת לממוצע בקו אחד ומעליו בקו אחר.
א. אם 10.56% מן הנסיעות ארוכות מן הסף, אז 89.44% קצרות ממנו.
מן הטבלה: Φ(1.25) = 0.8944, ולכן ציון התקן של הסף הוא 1.25:
x = 52 + 1.25·4 = 52 + 5 = 57 דקות.
ב. z = 47 - 524 = -1.25.
P(x < 47) = 1 - Φ(1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056.
מספר הנסיעות: 0.1056·1,250 = 132 נסיעות.
ג. ציון התקן של 58 דקות בקו 18:
z = 58 - 524 = 64 = 1.5.
נתון כי לנסיעה של 53 דקות בקו 24 יש אותו ציון תקן:
1.5 = 53 - 44σ = 9σ, ולכן σ = 91.5 = 6 דקות.
ד. נחשב את ציון התקן של 50 דקות בכל אחד מן הקווים:
בקו 18: z = 50 - 524 = -0.5.
בקו 24: z = 50 - 446 = 1.
"חריגות" נמדדת במרחק מן הממוצע ביחידות סטיית תקן, כלומר ב־|z|:
בקו 18 המרחק הוא 0.5 סטיות תקן, ובקו 24 הוא 1 סטיית תקן.
הנוסע אינו צודק: נסיעה של 50 דקות חריגה דווקא בקו 24 יותר מאשר בקו 18.
(שימו לב גם לכיוון: בקו 18 נסיעה כזאת קצרה מן הממוצע, ואילו בקו 24 היא ארוכה ממנו.)

פתרון הדרך: כאן לא נתון מראש לא הישר ולא מקדם המתאם, ולכן הכול נבנה מן הטבלה כלפי מעלה, בסדר קבוע: שני הממוצעים, שתי סטיות התקן, וסכום מכפלות הסטיות - שלושת הגדלים שמהם מורכבת הגדרת r. רק אחרי ש־r בידינו אפשר לעבור לשיפוע, דרך הנוסחה שבדף הנוסחאות, ומשם אל הישר עצמו דרך נקודת הממוצעים. סעיף ד אינו חישוב אלא שיפוט: הישר נבנה מתוך תחום מסוים של נתונים, וניבוי הרחק מחוצה לו אינו נתמך בשום תצפית. ובסעיף האחרון שימו לב מה בדיוק אומרת הנוסחה b = r·SySx: כששתי סטיות התקן זהות בשני מקומות, השיפוע פשוט פרופורציוני למקדם המתאם - אותו פיזור של y, אבל פחות ממנו מסודר לאורך ישר.
א. הממוצע: 33 + 36 + 44 + 52 + 605 = 2255 = 45 שעות.
הסטיות מן הממוצע הן -12 , -9 , -1 , 7 , 15, וריבועיהן 144 + 81 + 1 + 49 + 225 = 500.
השונות היא 5005 = 100, ומכאן Sx = 10 שעות.
ב. סטיות y מן הממוצע 400 הן -60 , -40 , -25 , 60 , 65,
וריבועיהן 3,600 + 1,600 + 625 + 3,600 + 4,225 = 13,650.
השונות היא 13,6505 = 2,730, ומכאן Sy = 2,730 ≈ 52.25 מאות קוט"ש.
עכשיו סכום מכפלות הסטיות:
(-12)·(-60) + (-9)·(-40) + (-1)·(-25) + 7·60 + 15·65 = 720 + 360 + 25 + 420 + 975 = 2,500,
ולכן ממוצע מכפלות הסטיות הוא 2,5005 = 500.
לפי ההגדרה: r = 500Sx·Sy = 50010·52.25 = 500522.5 ≈ 0.957.
ג. מדף הנוסחאות: b = r·SySx = 0.957·52.2510 ≈ 5.
הישר עובר דרך נקודת הממוצעים (45 , 400):
y - 400 = 5(x - 45), כלומר y = 5x + 175.
ד. החישוב עצמו אכן נכון: 5·90 + 175 = 450 + 175 = 625.
ואולם חמשת השבועות שמהם נבנה הישר משתרעים על 33 עד 60 שעות שמש בלבד. הערך 90 נמצא הרחק מחוץ לתחום הזה, ולא נמדדה אף תצפית שתומכת בכך שהקשר הליניארי ממשיך להתקיים גם שם - למשל, ייתכן שהפאנלים מגיעים לרוויה ושהתפוקה מפסיקה לגדול באותו קצב. יתרה מזו, 90 שעות שמש בשבוע הן קרוב ל־13 שעות ביום, יותר משעות האור ברוב ימות השנה. ישר רגרסיה מתאר את הקשר בתחום שנמדד, וניבוי מחוצה לו אינו נתמך בנתונים.
ה. (1) בחווה הראשונה r ≈ 0.957 ובחווה האחרת r = 0.4. ככל שערכו המוחלט של מקדם המתאם קרוב יותר ל־1, כך התצפיות צמודות יותר לישר הרגרסיה, ולכן בחווה הראשונה התצפיות קרובות יותר לישר.
(2) אותן שעות שמש פירושן אותה Sx = 10, ונתון שגם Sy ≈ 52.25 זהה, ולכן:
b = 0.4·52.2510 = 2.09.
בנוסחה b = r·SySx הגורם SySx = 5.225 זהה בשתי החוות, ולכן השיפוע פרופורציוני למקדם המתאם בלבד. אפשר לבדוק זאת בשני יחסים שחייבים לצאת שווים: 2.09 : 5 = 0.418 וגם 0.4 : 0.957 ≈ 0.418.
המשמעות: בשתי החוות התפוקה השבועית מתפזרת באותה מידה, אבל בחווה האחרת הפיזור הזה קשור הרבה פחות למספר שעות השמש, ולכן הישר שמנבא אותה מן השעות שטוח יותר.

פתרון הדרך: בהוצאה ללא החזרה ההסתברות היא מכפלה של שתי שברים שהמכנה שלהם קטן בכל צעד, ולכן משוואה על הסתברות כזאת היא בעצם משוואה ריבועית במספר הכדורים - וכאן היא הנעלם. לאחר שמספר האדומים ידוע, כל שאר הסעיפים הם ספירה: "בצבעים שונים" הוא סכום שני מסלולים (אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום), ושלושה כדורים הם פשוט מכפלה של שלושה שברים. בסעיף ד ההוצאה נוגעת רק בכחולים, ולכן המונה של ההסתברות אינו משתנה כלל ורק המכנה קטן - וזה הופך את המשוואה לפשוטה במיוחד. בסעיף האחרון משתנה כלל המשחק: הכדור מוחזר, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות והמכנה זהה בשתיהן.
א. נסמן ב־r את מספר הכדורים האדומים.
r10·r - 19 = 215
r(r - 1)90 = 215, ולכן r(r - 1) = 2·9015 = 12.
r² - r - 12 = 0, ולכן r = 4 או r = -3; מספר כדורים אינו שלילי, ולכן r = 4.
בכד 4 כדורים אדומים ו־6 כדורים כחולים.
ב. שני מסלולים מובילים לשני צבעים שונים - אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום:
P = 410·69 + 610·49 = 2·2490 = 4890 = 815 ≈ 0.533.
ג. P = 610·59·48 = 120720 = 16 ≈ 0.167.
ד. הוציאו רק כדורים כחולים, ולכן מספר האדומים נשאר 4, ומספר הכדורים בכד הוא 10 - m:
410 - m·39 - m = 27
12(10 - m)(9 - m) = 27, ולכן (10 - m)(9 - m) = 12·72 = 42.
90 - 19m + m² = 42, כלומר m² - 19m + 48 = 0.
m = 19 ± 361 - 1922 = 19 ± 132, ולכן m = 3 או m = 16.
בכד היו רק 6 כדורים כחולים, ולכן m = 16 אינו אפשרי, ומכאן m = 3.
(בדיקה: נשארו 4 אדומים ו־3 כחולים, סך הכול 7, ואכן 47·36 = 1242 = 27 ✔)
ה. כעת יש בכד 4 אדומים ו־3 כחולים, סך הכול 7. הכדור מוחזר, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות ובשתיהן אותו מכנה:
P = (47)² + (37)² = 1649 + 949 = 2549 ≈ 0.51.

פתרון הדרך: שלוש נקודות ומילה אחת - "מקבילית" - הן כל הנתונים, ולכן הקודקוד הרביעי מגיע מן התכונה שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה: אמצע AC חייב להיות גם אמצע BD. את משוואות שני האלכסונים בונים משיפוע ונקודה, ופתרון המערכת שלהן נותן את E - שאפשר גם לאמת כאמצע כל אחד מן האלכסונים. כדי לשדרג מקבילית למעוין די להראות ששתי צלעות סמוכות שוות, ולכן מחשבים שני מרחקים בלבד; ואם ידוע שזה מעוין, אז אלכסוניו מאונכים, והשטח הוא מחצית מכפלת האלכסונים. שני החלקים האחרונים נשענים על אותה תמונה: חציית הזווית נובעת מחפיפת שני משולשים לפי צ.צ.צ, ואילו ריבוע נשלל ברגע שמתברר שאורכי האלכסונים שונים.
א. שיפוע AC: m = 8 - 28 - 2 = 1.
דרך A(2, 2): y - 2 = 1·(x - 2), כלומר y = x (בדיקה ב־C: 8 = 8 ✓).
ב. (1) במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן אמצע AC הוא גם אמצע BD.
אמצע AC: (2 + 82 , 2 + 82) = (5, 5).
לכן D = (2·5 - 9 , 2·5 - 1) = (1, 9).
(בדיקה: AB מיוצג על ידי ההזזה (7, -1), וגם DC = (8 - 1 , 8 - 9) = (7, -1) ✓)
(2) שיפוע BD: m = 9 - 11 - 9 = -1.
דרך B(9, 1): y - 1 = -1·(x - 9), כלומר y = -x + 10.
נקודת החיתוך: x = -x + 10, ומכאן x = 5 ו־y = 5, כלומר E(5, 5) - וזה אכן אמצע שני האלכסונים ✓.
ג. הוכחה: נחשב את אורכי שתי הצלעות הסמוכות AB ו־BC:
AB = (9 - 2)² + (1 - 2)² = 49 + 1 = 50;
BC = (8 - 9)² + (8 - 1)² = 1 + 49 = 50.
מכאן AB = BC: במקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו - כל ארבע הצלעות שוות, ולכן ABCD הוא מעוין. מ.ש.ל.
(אישור נוסף: מכפלת שיפועי האלכסונים היא 1·(-1) = -1, כלומר האלכסונים מאונכים - תכונה המאפיינת מעוין.)
ד. אורכי האלכסונים:
AC = (8 - 2)² + (8 - 2)² = 72 = 62;
BD = (1 - 9)² + (9 - 1)² = 128 = 82.
במעוין האלכסונים מאונכים, ולכן השטח הוא מחצית מכפלתם:
S = 62 · 822 = 962 = 48.
ה. (1) הוכחה: במשולשים ABD ו־CBD מתקיים AB = CB (צלעות המעוין), AD = CD (צלעות המעוין), ו־BD צלע משותפת. לכן המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ, ומכאן ∠ABD = ∠CBD - האלכסון BD חוצה את הזווית ABC. מ.ש.ל.
(2) אינו ריבוע. בריבוע האלכסונים שווים באורכם, ואילו כאן AC = 62 ≈ 8.49 ואילו BD = 82 ≈ 11.31, כלומר AC ≠ BD. לכן ABCD אינו ריבוע.

פתרון הדרך: משוואה בצורה הכללית הופכת לצורה המרכזית בהשלמה לריבוע, ומשם המרכז והרדיוס נקראים ישירות. כל השאלה אחר כך נשענת על תבנית אחת: האנך שמן המרכז אל מיתר חוצה אותו, ולכן נוצר משולש ישר-זווית שניצביו הם מחצית המיתר והמרחק מן המרכז, והיתר שלו הוא הרדיוס. מכאן מגיעים גם למרחק, וגם - בכיוון ההפוך - לשני הישרים האופקיים שעליהם המיתרים, אחד מעל המרכז ואחד מתחתיו, כי המרחק אינו מבחין בין מעלה למטה. את הזווית ההיקפית נותן משפט הסינוסים, אבל דרך הסינוס שלה, ולסינוס אחד יש זווית חדה וזווית קהה. שימו לב לפרט חשוב: C יושבת על הקשת הקטנה, ולכן הזווית שלה אינה החדה, שהיא מחצית הזווית המרכזית, אלא המשלימה לה ל־180° - שכן שתי זוויות היקפיות משני עברי מיתר משלימות זו את זו. ובסעיף האחרון די בעובדה אחת: הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר במעגל.
א. נשלים לריבועים:
x² - 18x + y² - 20y - 108 = 0
(x - 9)² - 81 + (y - 10)² - 100 - 108 = 0
(x - 9)² + (y - 10)² = 289.
M(9, 10) ו־R = 17.
ב. האנך מן המרכז אל המיתר חוצה אותו, ולכן חצי המיתר הוא 15.
במשולש ישר-הזווית שניצביו הם חצי המיתר והמרחק, והיתר הוא הרדיוס:
d = R² - 15² = 289 - 225 = 64 = 8.
המיתר מרוחק 8 יחידות ממרכז המעגל.
ג. המיתרים מקבילים לציר ה־x, ולכן הישרים שעליהם מונחים הם מן הצורה y = c, והמרחק בין ישר כזה ובין המרכז M(9, 10) הוא |c - 10|.
נדרש |c - 10| = 8, ולכן c = 18 או c = 2:
AB מונח על y = 18, ו־DE מונח על y = 2.
נציב y = 18 במשוואת המעגל: (x - 9)² + 64 = 289, כלומר (x - 9)² = 225, ולכן x = -6 או x = 24:
A(-6, 18) ו־B(24, 18).
נציב y = 2: (x - 9)² + 64 = 289 - אותה משוואה בדיוק, ולכן D(-6, 2) ו־E(24, 2).
(בדיקה: אורך כל אחד מן המיתרים הוא 24 - (-6) = 30 ✔)
ד. המיתר AB = 30 הוא הצלע שמול הקודקוד C במשולש ACB, והמשולש חסום במעגל שרדיוסו 17. ממשפט הסינוסים:
30sin(∢ACB) = 2·17 = 34, ולכן sin(∢ACB) = 3034 = 1517 ≈ 0.8824.
לסינוס הזה מתאימות שתי זוויות, 61.93° ו־180° - 61.93° = 118.07°. זווית היקפית הנשענת על AB מן הצד של הקשת הגדולה היא מחצית זווית מרכזית ולכן חדה, כלומר 61.93°.
הנקודה C נמצאת על הקשת הקטנה, ולכן ACB היא הזווית ההיקפית שמן העבר השני של המיתר. שתי זוויות היקפיות משני עברי מיתר הן זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל, וסכומן 180°:
∢ACB = 180° - 61.93° = 118.07°.
ה. לא. המיתר הארוך ביותר במעגל הוא הקוטר, ואורכו 2R = 2·17 = 34.
מיתר שאורכו 35 ארוך מן הקוטר, ולכן אינו אפשרי במעגל זה.
(אפשר לראות זאת גם מן החישוב שבסעיף ב: מיתר באורך 35 היה נותן מרחק 289 - 17.5² = 289 - 306.25 = -17.25, ואין שורש למספר שלילי.)

פתרון הדרך: המכנה כאן הוא הפרש ריבועים, ולכן הוא מתאפס בשתי נקודות נגדיות ולא באחת - ומכאן שתי אסימפטוטות אנכיות, סימטריות ביחס לציר ה־y, ושלושה ענפים נפרדים לגרף. המונה קבוע ודרגתו קטנה מדרגת המכנה, ולכן יש גם אסימפטוטה אופקית, והיא ציר ה־x עצמו. את הפרמטר מגלה נתון על שיפוע משיק: השיפוע הוא ערך הנגזרת, ולכן גוזרים עם הפרמטר, מציבים את שיעור ה־x הנתון ומשווים לשיפוע; מתקבלת משוואה ריבועית ב־a ששני פתרונותיה תקינים אלגברית, ורק התנאי a > 0 מכריע ביניהם. בלוח הסימנים כדאי לשים לב שהמכנה של הנגזרת הוא ריבוע, ולכן הוא חיובי בכל תחום ההגדרה והסימן נקבע רק במונה - אבל התחום עצמו קרוע לשלושה חלקים, ולכן העלייה והירידה נרשמות בנפרד בכל חלק. ובסעיף האחרון: הופכי של שבר הוא פשוט השבר ההפוך, וכאן הוא יוצא פולינום - פרבולה, ולא פונקצייה רציונלית כלל. שימו לב מה קורה לסוג הקיצון כשמהפכים מספרים שליליים.
א. (1) המכנה מתאפס כאשר x² = a, ומכיוון ש־a > 0 יש לכך שני פתרונות.
תחום ההגדרה: x ≠ a וגם x ≠ -a.
(2) אסימפטוטות אנכיות: x = a ו־x = -a (בשתיהן המכנה מתאפס והמונה שווה 12).
אסימפטוטה אופקית: דרגת המכנה (2) גדולה מדרגת המונה (0), ולכן כאשר x → ±∞ מתקיים f(x) → 0; האסימפטוטה היא y = 0.
ב. נגזור עם הפרמטר, בכלל המנה:
f'(x) = 0·(x² - a) - 12·2x(x² - a)² = -24x(x² - a)².
נציב x = 1 ונשווה לשיפוע הנתון:
-24(1 - a)² = -83, כלומר (1 - a)² = 24·38 = 9.
מכאן 1 - a = 3 או 1 - a = -3, כלומר a = -2 או a = 4.
נתון a > 0, ולכן a = 4 (ואכן x = 1 נמצא בתחום ההגדרה, שכן 1 ≠ ±2).
ג. עם a = 4: f(x) = 12x² - 4 ו־f'(x) = -24x(x² - 4)².
f'(x) = 0 רק כאשר -24x = 0, כלומר x = 0, וערך הפונקצייה שם: f(0) = 12-4 = -3.
המכנה (x² - 4)² חיובי בכל תחום ההגדרה, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן -24x בלבד:
עלייה בעבור x < -2 וגם בעבור -2 < x < 0; ירידה בעבור 0 < x < 2 וגם בעבור x > 2.
לכן (0, -3) היא נקודת מקסימום (והיא נקודת הקיצון היחידה).
ד. נתונים לסקיצה: שתי אסימפטוטות אנכיות x = -2 ו־x = 2; אסימפטוטה אופקית y = 0; אין חיתוך עם ציר ה־x (המונה 12 אינו מתאפס לעולם); חיתוך עם ציר ה־y בנקודה (0, -3), שהיא גם המקסימום. בענף האמצעי הפונקצייה שלילית, ובשני הענפים החיצוניים היא חיובית: ה. (1) ההופכי של שבר הוא השבר ההפוך:
g(x) = 1f(x) = 1 : 12x² - 4 = x² - 412, כנדרש.
תחום ההגדרה: g מוגדרת רק היכן ש־f מוגדרת ואינה מתאפסת. המונה 12 לעולם אינו מתאפס, ולכן הדרישה היחידה שנשארת היא x ≠ 2 וגם x ≠ -2. כלומר גרף g הוא פרבולה שהוצאו ממנה שתי נקודות - בדיוק במקומות שבהם ל־f היו אסימפטוטות.
(2) g'(x) = 2x12 = x6, והיא מתאפסת ב־x = 0.
g(0) = -412 = -13.
בעבור x < 0 מתקיים g'(x) < 0 (ירידה), ובעבור x > 0 מתקיים g'(x) > 0 (עלייה), ולכן (0 , -13) היא נקודת מינימום.
מדוע התהפך הסוג: בענף האמצעי, שבו יושבת נקודת הקיצון, f מקבלת ערכים שליליים בלבד, והערך -3 הוא הגדול שבהם. בהיפוך של מספרים שליליים הסדר מתהפך: אם -3 > -4 אז -13 < -14. לכן דווקא הערך הגדול ביותר של f הופך לערך הקטן ביותר של g, ומקסימום נעשה מינימום.

פתרון הדרך: השורש יושב במונה והפולינום במכנה, ולכן שתי דרישות נפרדות מצטרפות: הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי, והמכנה אינו מתאפס - וכאן המכנה x + 4 חיובי ממילא בכל תחום השורש, כך שלא נגרעת אף נקודה. המונה הוא שקובע היכן הגרף נוגע בצירים, שכן שבר מתאפס רק כשמונהו מתאפס. לגזירה דרוש כלל המנה, ואחריו כדאי לצמצם: הביטוי שמתקבל הוא שבר שבמכנהו x - וזה בדיוק מה שמצמצם את תחום ההגדרה של הנגזרת ביחס לזה של הפונקצייה, ומסביר גם מדוע הגרף יוצא מן הראשית במשיק אנכי. לאסימפטוטה האופקית מספיקה השוואת קצבים: המכנה גדל כמו x והמונה רק כמו x, ולכן המנה שואפת לאפס. בסעיף ה מבקשים ערך גדול ביותר וקטן ביותר בתחום סגור, וזה חישוב אחר מקיצון מקומי: המועמדים הם נקודות הקיצון הפנימיות ושני קצות התחום, ומשווים ביניהם. ובסעיף האחרון שטח מתחת לגרף הנגזרת הוא אינטגרל מסוים של f'(x), והפונקצייה הקדומה של f'(x) היא f(x) בכבודה ובעצמה - זה משפט היסוד, ולכן לא נדרש כאן שום חישוב אינטגרל חדש.
א. תחת השורש נדרש x ≥ 0. המכנה x + 4 מתאפס רק ב־x = -4, שאינו בתחום הזה ממילא.
תחום ההגדרה: x ≥ 0.
ב. שבר מתאפס רק כאשר מונהו מתאפס: 12x = 0 כאשר x = 0, וגם f(0) = 04 = 0.
לכן הנקודה היחידה היא הראשית (0, 0), והיא החיתוך עם שני הצירים גם יחד.
בעבור x > 0 המונה חיובי והמכנה חיובי, ולכן f(x) > 0 - כל הגרף מעל ציר ה־x.
ג. גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המונה היא (12x)' = 12·12x = 6 : x, ולכן:
f'(x) = (6 : x)·(x + 4) - 12x(x + 4)².
נכפול את מונה השבר הגדול ואת מכנהו ב־x כדי להיפטר מן השבר שבתוך השבר:
המונה נעשה 6(x + 4) - 12x = 24 - 6x, והמכנה נעשה x·(x + 4)², ולכן:
f'(x) = 24 - 6xx·(x + 4)² = 6(4 - x)x·(x + 4)².
f'(x) = 0 כאשר 4 - x = 0, כלומר x = 4, וערך הפונקצייה שם:
f(4) = 12·28 = 3.
בדיקת סימן (המכנה חיובי בכל x > 0, ולכן הסימן הוא סימן 4 - x):
בעבור 0 < x < 4: f'(x) > 0 (עלייה); בעבור x > 4: f'(x) < 0 (ירידה).
לכן (4, 3) היא נקודת מקסימום.
בקצה תחום ההגדרה x = 0: f(0) = 0, והפונקצייה עולה מן הקצה והלאה, ולכן (0, 0) היא נקודת מינימום קצה.
ד. נחלק את המונה ואת המכנה ב־x: f(x) = 12 : x1 + 4 : x.
כאשר x → ∞ המונה שואף ל־0 והמכנה שואף ל־1, ולכן f(x) → 0.
משוואת האסימפטוטה: y = 0 (ציר ה־x).
הגרף יוצא מן הראשית (0, 0) בעלייה תלולה מאוד, מגיע למקסימום (4, 3), ומשם יורד לאט ומתקרב אל ציר ה־x מלמעלה: ה. בתחום הסגור 1 ≤ x ≤ 16 המועמדים הם נקודות הקיצון הפנימיות ושני קצות התחום. נקודת הקיצון הפנימית היחידה היא x = 4 (מסעיף ג), ולכן שלושת המועמדים הם x = 1 , x = 4 , x = 16:
f(1) = 12·15 = 2.4 ; f(4) = 12·28 = 3 ; f(16) = 12·420 = 2.4.
הערך הגדול ביותר בתחום הוא 3, והוא מתקבל בנקודה (4, 3);
הערך הקטן ביותר בתחום הוא 2.4, והוא מתקבל בשני קצות התחום גם יחד - בנקודות (1 , 2.4) ו־(16 , 2.4).
(שני הקצוות נותנים בדיוק אותו ערך; הגרף אינו סימטרי, אבל במקרה הזה הוא חוזר בקצה הימני לגובה שממנו יצא.)
ו. (1) בסעיף ג קיבלנו f'(x) = 6(4 - x)x·(x + 4)². השורש עבר אל המכנה, ולכן כבר לא די ש־x ≥ 0 אלא נדרש x ≠ 0.
תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת: x > 0 - צר מתחום ההגדרה של f(x), שכולל גם את x = 0. גאומטרית: בראשית הצירים למשיק אין שיפוע מוגדר כלל, שכן הוא אנכי.
(2) המכנה של f'(x) חיובי בכל התחום, ולכן f'(x) חיובית בעבור x < 4 ומתאפסת ב־x = 4. לכן התחום הסגור נפרש בין x = 1 ובין x = 4:
S = ∫f'(x)dx בגבולות 1 עד 4.
לפי משפט היסוד, פונקצייה קדומה של f'(x) היא f(x) עצמה, ולכן האינטגרל הוא פשוט ההפרש בין שני ערכיה בקצות התחום:
S = f(4) - f(1) = 3 - 2.4 = 0.6.

פתרון הדרך: את נקודות החיתוך עם ציר ה־x מוצאים מהשוואת הפונקצייה ל־0. הנקודה A נעה על הגרף, ולכן די בפרמטר אחד כדי לתאר אותה, ומן הסימטרייה ביחס לציר ה־y מתקבלת גם B ללא חישוב נוסף. שני הבסיסים אופקיים, ולכן אורך כל אחד מהם הוא הפרש שיעורי ה־x של קצותיו, וגובה הטרפז הוא שיעור ה־y המשותף ל־A ול־B. משהתקבל השטח כפונקצייה של t בלבד, זו בעיית קיצון רגילה: כדאי לגזור את המכפלה בלי לפתוח סוגריים, להוציא גורם משותף, ולקבוע את סוג הקיצון בלוח סימנים שבו הגורם (6 + t) חיובי בכל התחום. בסעיף ד חוזרים אל הפונקצייה עצמה: שיפוע המשיק הוא f'(t), ונקודת ההשקה היא A. ובסעיף ה הכיוון הפוך: נתונה רק הנגזרת של g, את g עצמה משחזרים בכלל החזקה, והנקודה A קובעת את הקבוע.
א. (1) f(x) = 0 כאשר 36 - x² = 0, כלומר x = 6 או x = -6.
K משמאל ל־L, ולכן K(-6, 0) ו־L(6, 0).
(2) הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, ולכן שני שיעוריה חיוביים: t > 0 וגם 36 - t² > 0, כלומר t < 6.
התחום: 0 < t < 6.
ב. A(t, 36 - t²), ומן הסימטרייה ביחס לציר ה־y: B(-t, 36 - t²).
שתי הנקודות A ו־B בעלות אותו שיעור y, ולכן AB מקביל לציר ה־x וגם ל־KL:
AB = t - (-t) = 2t ; KL = 6 - (-6) = 12 ; גובה הטרפז: h = 36 - t².
S(t) = KL + AB2·h = 12 + 2t2·(36 - t²) = (6 + t)(36 - t²).
מפרקים 36 - t² = (6 - t)(6 + t) ומקבלים: S(t) = (6 + t)(6 - t)(6 + t) = (6 + t)²(6 - t), כנדרש.
ג. גוזרים בכלל המכפלה, בלי לפתוח סוגריים:
S'(t) = 2(6 + t)·(6 - t) + (6 + t)²·(-1) = (6 + t)[2(6 - t) - (6 + t)] = (6 + t)(6 - 3t) = 3(6 + t)(2 - t).
בתחום 0 < t < 6 הגורם 6 + t חיובי תמיד, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן (2 - t):
בעבור 0 < t < 2: S'(t) > 0 (עלייה); בעבור 2 < t < 6: S'(t) < 0 (ירידה).
לכן t = 2 היא נקודת מקסימום, והשטח המרבי:
S(2) = (6 + 2)²·(6 - 2) = 64·4 = 256.
(בדיקה ישירה: AB = 4 , KL = 12 , h = 36 - 4 = 32, ולכן S = 12 + 42·32 = 8·32 = 256)
ד. בעבור t = 2 מתקבלת הנקודה A(2, 32).
f'(x) = -2x, ולכן שיפוע המשיק הוא f'(2) = -4.
משוואת המשיק: y - 32 = -4(x - 2), כלומר y = -4x + 40.
ה. (1) פונקצייה קדומה של 2x - 8 היא x² - 8x, ולכן g(x) = x² - 8x + c.
הגרף עובר דרך A(2, 32): 4 - 16 + c = 32, כלומר c = 44, ו־g(x) = x² - 8x + 44.
(2) לשני הגרפים יש ב־x = 2 אותה נקודה, g(2) = 32 = f(2), וגם אותו שיפוע: g'(2) = 4 - 8 = -4 = f'(2).
דרך נקודה נתונה עובר ישר אחד בלבד בשיפוע נתון, ולכן המשיק לגרף g(x) ב־A הוא אותו ישר y = -4x + 40.