מתמטיקה

פתרון הדרך: כאן לא נתונים לא הממוצע ולא סטיית התקן, אלא שני אחוזים בשני נפחים. כל אחוז כזה מתורגם בטבלת ההתפלגות הסטנדרטית לציון תקן z אחד, וכל z נותן משוואה אחת בשני הנעלמים דרך z = x - μσ. שתי משוואות בשני נעלמים - וחיסור אחד ביניהן מחסל את μ ומשאיר את σ לבדה. משיש שניהם, סעיף ב הוא תרגום רגיל של נפח לאחוז ואחוז למספר גביעים. בסעיף ג הכיוון מתהפך: האחוז הוא הדרישה, ה־z שלו ידוע מראש, והנעלם הוא הממוצע. בסעיף ד שימו לב שהבחירה נעשית רק מתוך הגביעים שלא נפסלו - זו הסתברות מותנית, ולכן מחלקים בהסתברות של הקבוצה שממנה בוחרים.
א. מן הטבלה: Φ(1) = 0.8413, ולכן לנפח 204 מ"ל ציון תקן z = 1;
Φ(2) = 0.9772, ולכן לנפח 208 מ"ל ציון תקן z = 2.
נקבל שתי משוואות: μ + σ = 204 וגם μ + 2σ = 208.
חיסור המשוואה הראשונה מן השנייה מבטל את μ: σ = 4 מ"ל, ומכאן μ = 204 - 4 = 200 מ"ל.
ב. ציון התקן של 195: z = 195 - 2004 = -1.25.
P(x < 195) = 1 - Φ(1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056.
מספר הגביעים שנפסלו: 0.1056·2,500 = 264 גביעים.
ג. הדרישה היא P(x < 195) ≤ 0.0228. מן הטבלה Φ(2) = 0.9772, ולכן 1 - Φ(2) = 0.0228, כלומר ציון התקן של 195 צריך להיות -2 לכל היותר (ככל שהממוצע גדול יותר, ציון התקן של 195 קטן יותר).
-2 = 195 - μ4, ולכן μ = 195 + 2·4 = 203 מ"ל.
הממוצע הקטן ביותר שמקיים את הדרישה הוא 203 מ"ל.
ד. כעת μ = 203 ו־σ = 4. הגביעים שלא נפסלו הם אלה שנפחם 195 מ"ל ומעלה, ולפי סעיף ג הם 97.72% מן הגביעים.
ציון התקן של 207: z = 207 - 2034 = 1, ולכן P(x > 207) = 1 - Φ(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587.
כל גביע שנפחו גדול מ־207 ממילא לא נפסל, ולכן ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המותנית:
P(x > 207 | x ≥ 195) = 0.15870.9772 ≈ 0.1624, כלומר כ־16.24%.

פתרון הדרך: השאלה הזאת רצה בכיוון ההפוך לרגיל: הישר נתון מראש, ומתוכו שולפים את מה שבדרך כלל מחשבים לפניו. המפתח הוא תכונה אחת - ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄, ȳ); לכן הצבת הממוצע של x בישר מחזירה מיד את הממוצע של y. את סטיית התקן של y מחשבים ישירות מן הטבלה, ואת מקדם המתאם מקבלים מן השיפוע בהיפוך הנוסחה שבדף הנוסחאות: אם b = r·SySx אז r = b·SxSy. בסעיף האחרון הנקודה הנוספת היא בדיוק נקודת הממוצעים, ולכן היא אינה תורמת דבר לא לסכומי הסטיות ולא למכפלותיהן - אבל היא כן מגדילה את מספר התצפיות שבמכנה, ומשם ההבדל בין מה שנשמר ובין מה שמשתנה.
א. הממוצע: (27 + 29 + 30 + 31 + 33)/5 = 1505 = 30 מעלות.
הסטיות מן הממוצע: -3, -1, 0, 1, 3; ריבועי הסטיות: 9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20.
השונות: 205 = 4, ולכן סטיית התקן: Sx = 4 = 2 מעלות.
ב. ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄, ȳ). נציב x = x̄ = 30 במשוואת הישר:
ȳ = 6.6·30 - 78 = 198 - 78 = 120 מנות.
ג. (1) סטיות y מן הממוצע 120: -18, -9, -2, 9, 20;
ריבועי הסטיות: 324 + 81 + 4 + 81 + 400 = 890; השונות: 8905 = 178;
Sy = 178 ≈ 13.34 מנות.
(2) מנוסחת דף הנוסחאות b = r·SySx, ולכן r = b·SxSy = 6.6·213.34 = 13.213.34 ≈ 0.989.
ד. מציבים x = 32: y = 6.6·32 - 78 = 211.2 - 78 = 133.2. הניבוי: כ־133 מנות גלידה.
ה. היום השישי הוא (30, 120) - בדיוק נקודת הממוצעים.
הממוצעים: x̄ = 150 + 306 = 30 וגם ȳ = 600 + 1206 = 120 - שניהם נשמרים, כי הוספת ערך ששווה לממוצע אינה מזיזה את הממוצע.
הסטיות: הסטייה של היום השישי מן הממוצע היא 0 בשני המשתנים. לכן סכום ריבועי הסטיות של x נשאר 20, סכום ריבועי הסטיות של y נשאר 890, וסכום מכפלות הסטיות נשאר 132.
השיפוע: b = Σ(x - x̄)(y - ȳ)Σ(x - x̄)² = 13220 = 6.6 - לא השתנה, וגם נקודת הממוצעים לא זזה, ולכן משוואת הישר נשארת y = 6.6x - 78.
מקדם המתאם: r = Σ(x - x̄)(y - ȳ)Σ(x - x̄)²·Σ(y - ȳ)² = 13220·890 ≈ 0.989 - גם הוא לא השתנה, כי בשלושת הסכומים לא חל שינוי.
ומה כן משתנה: סטיות התקן. בהן מחלקים את סכומי ריבועי הסטיות במספר התצפיות, וזה עלה מ־5 ל־6:
Sx = 206 ≈ 1.83 במקום 2, ו־Sy = 8906 ≈ 12.18 במקום 13.34.
שתיהן קטנו באותו יחס בדיוק, ולכן המנה SySx - וממילא גם r וגם השיפוע - לא השתנתה.

פתרון הדרך: הנתונים מגיעים כהסתברויות והמועדון ידוע בגודלו, ולכן הצעד הראשון הוא לתרגם כל הסתברות למספר חברים - ומרגע שיש טבלה של מספרים, כל שאר הסעיפים הם ספירה. את ההסתברות המותנית בסעיף ב מקבלים מצמצום עולם המדגם לצעירים בלבד: כמה מהם בעלי מנוי, מתוך כמה צעירים יש. בסעיף ד לא מחפשים את מספר העוזבים מתוך הסתברות של הוצאה כפולה אלא מתוך ההסתברות השולית של "מבוגר": מספר המבוגרים לא השתנה, ולכן רק המכנה - גודל המועדון - הוא הנעלם. בסעיף ה חוזרים לאותו חישוב של סעיף ג עם המכנה החדש; מכיוון שעזבו רק חברים בלי מנוי, המונה לא נגע והמכנה קטן - ומכאן גם ההסבר לגידול.
א. מספר בעלי המנוי: 0.4·125 = 50 חברים.
מספר המבוגרים בעלי המנוי: 0.12·125 = 15 חברים.
ב. מספר הצעירים במועדון: 125 - 45 = 80.
מספר הצעירים בעלי מנוי: 50 - 15 = 35.
P(מנוי | צעיר) = 3580 = 716 = 0.4375.
ג. הוצאה ללא החזרה: בפעם הראשונה 50 בעלי מנוי מתוך 125, ולאחריה 49 מתוך 124:
P = 50125·49124 = 49310 ≈ 0.158.
ד. העוזבים כולם צעירים, ולכן מספר המבוגרים נשאר 45. נסמן ב־k את מספר העוזבים; גודל המועדון החדש הוא 125 - k:
45125 - k = 0.5, ולכן 125 - k = 90, ומכאן k = 35 צעירים.
(בדיקת היתכנות: הצעירים שאין להם מנוי הם 80 - 35 = 45, ואכן אפשר שיעזבו מהם 35.)
ה. העוזבים היו כולם חסרי מנוי, ולכן מספר בעלי המנוי נשאר 50, וגודל המועדון הוא 90:
P = 5090·4989 = 245801 ≈ 0.306.
ההסתברות גדלה משום שבשני הגורמים המונה לא השתנה (50 ואחריו 49) ואילו המכנה קטן (מ־125 ל־90, ומ־124 ל־89): שיעור בעלי המנוי במועדון עלה מ־40% ל־55.6%.

פתרון הדרך: בדלתון הזה נתונים רק שני קודקודים - שני קצות האלכסון הקצר - ואת שני האחרים צריך לבנות. המפתח הוא ההגדרה עצמה: AB = AD אומר ש־A נמצאת במרחקים שווים מ־B ומ־D, ואותו דבר בדיוק נכון גם ל־C. אוסף כל הנקודות שמרחקיהן מ־B ומ־D שווים הוא האנך האמצעי של BD - ישר אחד, שעליו יושבים גם A, גם C וגם אמצע BD. כך מתקבל האלכסון הארוך בלי לדעת אף לא אחד משני קצותיו. משיש את הישר, כל קודקוד נחתך ממנו בעזרת נתון נוסף: את A מוצאים מאורך נתון (משוואה ריבועית ששני פתרונותיה הם שתי נקודות על הישר, והרביע מכריע ביניהם), ואת C - מן השטח, כי בדלתון השטח הוא מחצית מכפלת האלכסונים, ולכן שטח נתון קובע את אורך האלכסון הארוך ומשם את המרחק מ־E.
א. בדלתון נתון AB = AD, ולכן A נמצאת במרחקים שווים מ־B ומ־D; נתון גם CB = CD, ולכן גם C נמצאת במרחקים שווים מהם. אוסף כל הנקודות שמרחקיהן משתי נקודות שווים הוא האנך האמצעי של הקטע שביניהן, ולכן A ו־C מונחות שתיהן על האנך האמצעי של BD - כלומר האנך האמצעי הזה הוא האלכסון AC.
אמצע BD: (7 + 12 , 6 + (-2)2) = (4, 2).
שיפוע BD: 6 - (-2)7 - 1 = 86 = 43, ולכן שיפוע האנך לו הוא -34 = -0.75.
משוואת AC: y - 2 = -0.75(x - 4), כלומר y = -0.75x + 5.
ב. E היא נקודת החיתוך של האלכסונים, ולפי סעיף א האלכסון AC הוא האנך האמצעי של BD; האנך האמצעי חותך את BD באמצעו, ולכן E היא אמצע BD: E(4, 2).
ג. A מונחת על הישר y = -0.75x + 5, ולכן נסמן A(x , -0.75x + 5). נציב באורך הנתון AB² = 125:
(x - 7)² + (-0.75x + 5 - 6)² = 125
(x - 7)² + (0.75x + 1)² = 125
x² - 14x + 49 + 0.5625x² + 1.5x + 1 = 125
1.5625x² - 12.5x - 75 = 0 | נחלק ב־1.5625
x² - 8x - 48 = 0, ולכן x = 12 או x = -4.
עבור x = 12 מתקבל y = -0.75·12 + 5 = -4, כלומר נקודה ברביע הרביעי; נתון ש־A ברביע השני, ולכן x = -4:
y = -0.75·(-4) + 5 = 8, כלומר A(-4, 8).
ד. אלכסוני הדלתון מאונכים, ולכן שטחו הוא מחצית מכפלת אורכי האלכסונים.
BD = (7 - 1)² + (6 + 2)² = 36 + 64 = 10.
75 = 12·AC·10, ולכן AC = 15.
AE = (-4 - 4)² + (8 - 2)² = 64 + 36 = 10, ולכן EC = AC - AE = 15 - 10 = 5.
מ־A אל E מתקדמים 8 ימינה ו־6 למטה לאורך 10; להתקדם עוד 5 באותו כיוון זה חצי מן המהלך הזה, כלומר 4 ימינה ו־3 למטה:
C(4 + 4 , 2 - 3) = C(8, -1).
ה. I. BC = (8 - 7)² + (-1 - 6)² = 50 ; CD = (8 - 1)² + (-1 + 2)² = 50 ; BD = 10.
BC² + CD² = 50 + 50 = 100 = BD², ולפי ההפכי למשפט פיתגורס המשולש ישר-זווית (הזווית הישרה בקודקוד C). הטענה נכונה.
II. מרובע בר-חסימה במעגל הוא מרובע שסכום כל שתי זוויות נגדיות בו הוא 180°. בדלתון הזה הזוויות הנגדיות ∢B ו־∢D שוות זו לזו (מן החפיפה △ABC ≅ △ADC), ולכן הדלתון בר-חסימה רק אם כל אחת מהן היא 90°.
נבדוק את ∢ABC: BA = (-11, 2) ו־BC = (1, -7). שיפוע BA הוא -211, ושיפוע BC הוא -7; מכפלת השיפועים היא 1411 ≠ -1, ולכן ∢ABC ≠ 90°.
מכאן ∢B + ∢D ≠ 180°, ואי אפשר לחסום את הדלתון במעגל. הטענה אינה נכונה.

פתרון הדרך: כאן המרכז אינו נתון אלא נבנה. מרכז המעגל נמצא במרחקים שווים מכל נקודה שעליו, ולכן הוא מונח על האנך האמצעי של כל מיתר; שני מיתרים - ושני האנכים האמצעיים שלהם נחתכים בדיוק במרכז. בחרנו שני מיתרים נוחים במיוחד: AB אופקי ו־AO אנכי, ולכן האנכים האמצעיים שלהם הם ישר אנכי וישר אופקי, ונקודת החיתוך נקראת מיד. משיש מרכז ורדיוס, כל השאר זורם: את הזווית ההיקפית נותן משפט הסינוסים במשולש החסום, והמרכזית כפולה ממנה; את המשיק - מן הניצבות שלו לרדיוס בנקודת ההשקה; ואת הסעיף האחרון בודקים בחישוב מרחקים ישיר, והוא ממחיש את הקשר בין משיק ובין חותך היוצאים מאותה נקודה.
א. (1) המרכז נמצא במרחקים שווים משתי נקודות שעל המעגל, ולכן הוא על האנך האמצעי של המיתר שביניהן.
המיתר AB מקביל לציר ה־x (שתי הנקודות בגובה y = 6), אמצעו (4, 6), ולכן האנך האמצעי שלו הוא הישר x = 4.
המיתר AO מונח על ציר ה־y, אמצעו (0, 3), ולכן האנך האמצעי שלו הוא הישר y = 3.
נקודת החיתוך: M(4, 3).
הרדיוס: R = MA = (4 - 0)² + (3 - 6)² = 16 + 9 = 5.
משוואת המעגל: (x - 4)² + (y - 3)² = 25.
(2) נציב את C(7, -1): (7 - 4)² + (-1 - 3)² = 9 + 16 = 25. שוויון מתקיים, ולכן C על המעגל.
ב. המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R = 5, והצלע AB = 8 (ההפרש בשיעורי ה־x) מונחת מול הזווית ACB. לפי משפט הסינוסים:
ABsin(∢ACB) = 2R, ולכן sin(∢ACB) = 82·5 = 0.8.
לסינוס 0.8 יש זווית חדה וזווית קהה. הנקודה C נמצאת מתחת למיתר AB, באותו צד שבו נמצא המרכז M(4, 3), כלומר על הקשת הגדולה, ולכן הזווית חדה: ∢ACB ≈ 53.13°.
הזווית המרכזית AMB נשענת על אותה קשת AB, ולכן היא כפולה מן הזווית ההיקפית: ∢AMB ≈ 2·53.13° = 106.26°.
ג. AB מקביל לציר ה־x ואורכו 8; הגובה אל AB מן הקודקוד C הוא ההפרש בשיעורי ה־y: 6 - (-1) = 7.
S = 12·8·7 = 28.
ד. שיפוע הרדיוס MC: -1 - 37 - 4 = -43.
המשיק ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן שיפועו 34 = 0.75.
y - (-1) = 0.75(x - 7), כלומר y = 0.75x - 6.25.
נציב x = 0: K(0 , -6.25).
ה. KC² = (7 - 0)² + (-1 - (-6.25))² = 49 + 5.25² = 49 + 27.5625 = 76.5625.
הישר KA הוא ציר ה־y עצמו, והוא חותך את המעגל בנקודות O(0, 0) ו־A(0, 6):
KO = 6.25 ו־KA = 6.25 + 6 = 12.25, ולכן KO·KA = 6.25·12.25 = 76.5625.
אכן KC² = KO·KA - זה הקשר הקבוע בין משיק ובין חותך היוצאים מאותה נקודה אל אותו מעגל.
KC = 76.5625 = 8.75.

פתרון הדרך: בפונקצייה רציונלית מתחילים תמיד מן המכנה ושואלים איפה הוא מתאפס: שם אין הגדרה, ושם גם האסימפטוטה האנכית; את שאלת האסימפטוטה האופקית מכריעים בהשוואת דרגות המונה והמכנה. את הפרמטר a אי אפשר לקרוא כאן מנקודה אחת על הגרף - הנתון הוא על המרחק בין שתי נקודות הקיצון, ולכן צריך לגזור עם הפרמטר, לפתור את משוואת הנגזרת ולקבל שני שורשים התלויים ב־a; ההפרש ביניהם נותן משוואה אחת ב־a לבדו. הבקשה למצוא נקודות קיצון היא ההוראה לגזור, כאן בכלל המנה, להשוות את הנגזרת ל־0, ולקבוע את סוג הקיצון בעזרת לוח סימנים שבו המכנה חיובי תמיד. בסעיף ה אין צורך לגזור מחדש כלל: g(x) = f(x + 2) היא אותה פונקצייה בדיוק לאחר הזזה של 2 יחידות שמאלה, ולכן כל תכונה של f נשמרת ורק שיעור ה־x שלה קטן ב־2.
א. (1) המכנה מתאפס ב־x = 2, ולכן תחום ההגדרה: x ≠ 2.
(2) אסימפטוטה אנכית: x = 2 (המונה x² + a חיובי לכל x כי a > 0, ובפרט אינו מתאפס ב־x = 2).
אסימפטוטה אופקית: אין - דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, וכאשר x → ±∞ הפונקצייה שואפת ל־±∞.
ב. נגזור עם הפרמטר, בכלל המנה:
f'(x) = 2x(x - 2) - (x² + a)(x - 2)² = x² - 4x - a(x - 2)².
נקודות הקיצון הן שורשי המונה: x² - 4x - a = 0, ולכן x = 2 ± 4 + a (מכיוון ש־a > 0 הדיסקרימיננטה חיובית ואכן יש שני שורשים, ושניהם שונים מ־2).
ההפרש בין שיעורי ה־x של שתי נקודות הקיצון: (2 + 4 + a) - (2 - 4 + a) = 24 + a.
נתון כי ההפרש הוא 6: 24 + a = 6, ולכן 4 + a = 3, ומכאן 4 + a = 9 ו־a = 5.
ג. עם a = 5: f(x) = x² + 5x - 2. גוזרים לפי כלל המנה:
f'(x) = 2x(x - 2) - (x² + 5)(x - 2)² = x² - 4x - 5(x - 2)² = (x - 5)(x + 1)(x - 2)².
f'(x) = 0 כאשר x = -1 או x = 5.
ערכי הפונקצייה: f(-1) = 6-3 = -2 ; f(5) = 303 = 10.
בדיקת סימן (המכנה (x - 2)² תמיד חיובי): בעבור x < -1 שני הגורמים במונה שליליים - f'(x) > 0 (עלייה); בעבור -1 < x < 2 וגם 2 < x < 5: f'(x) < 0 (ירידה); בעבור x > 5: f'(x) > 0 (עלייה).
לכן: נקודת מקסימום (-1, -2) ונקודת מינימום (5, 10).
ד. נתונים לסקיצה: אסימפטוטה אנכית x = 2; חיתוך עם ציר ה־y ב־(0, -2.5); אין חיתוך עם ציר ה־x (x² + 5 > 0); מקסימום (-1, -2) בענף השמאלי, מינימום (5, 10) בענף הימני: ה. (1) נציב x + 2 במקום x בפונקצייה f:
g(x) = f(x + 2) = (x + 2)² + 5(x + 2) - 2 = x² + 4x + 4 + 5x = x² + 4x + 9x.
תחום ההגדרה: המכנה מתאפס ב־x = 0, ולכן x ≠ 0.
(אפשר לקבל זאת גם מן ההזזה: תחום ההגדרה של f הוא x ≠ 2, וההזזה מקטינה כל שיעור x ב־2.)
האסימפטוטה האנכית: x = 0 - האסימפטוטה x = 2 של f, מוזזת 2 יחידות שמאלה.
(2) הצבת x + 2 במקום x מזיזה את הגרף כולו 2 יחידות שמאלה, בלי לשנות אף ערך של הפונקצייה. לכן כל נקודת קיצון של f הופכת לנקודת קיצון של g מאותו סוג, עם אותו שיעור y ועם שיעור x קטן ב־2:
נקודת המקסימום (-1, -2) של f עוברת לנקודת מקסימום (-3, -2) של g;
נקודת המינימום (5, 10) של f עוברת לנקודת מינימום (3, 10) של g.
בדיקה: g(-3) = 9 - 12 + 9-3 = 6-3 = -2 ✔ ; g(3) = 9 + 12 + 93 = 303 = 10 ✔.

פתרון הדרך: השאלה הזאת בנויה סביב הנגזרת ולא סביב הפונקצייה: כמעט כל מה שנשאל עליו נקרא מתוך f'(x), ולא מתוך f(x) עצמה. מתחילים מתחום ההגדרה, שנקבע מן הדרישה שהביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי, והוא גם יוצר את הקצה שבו הגרף נעצר. אחר כך גוזרים בכלל המכפלה ומאחדים לשבר אחד - וברגע שהשורש עובר למכנה, אי-השוויון החלש הופך לחזק, וזה בדיוק ההסבר לכך שתחום ההגדרה של הנגזרת צר יותר. משיש נגזרת מאוחדת, המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה שלה, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה בלבד: משם קוראים ישירות את תחומי העלייה והירידה, ומתוכם - את נקודות הקיצון, גם זו שבקצה, שסוגה נקבע לפי כיוון התנועה שמובילה אליה. רק בסוף חוזרים אל f עצמה בשביל נקודות החיתוך והסקיצה, ובסעיף האחרון שוב אין צורך בקדומה חדשה: הקדומה של f'(x) היא f(x) עצמה, ולכן די להחסיר שני ערכים של f בקצות התחום.
א. נדרש 12 - x ≥ 0, כלומר תחום ההגדרה: x ≤ 12.
ב. (1) גוזרים לפי כלל המכפלה:
f'(x) = 12 - x + x·-1212 - x.
נאחד לשבר אחד על מכנה משותף 212 - x:
f'(x) = 2(12 - x) - x212 - x = 24 - 3x212 - x, כנדרש.
(2) בפונקצייה f(x) השורש עומד במונה, ולכן די בתנאי 12 - x ≥ 0. בנגזרת השורש עבר למכנה, ומכנה אינו יכול להתאפס, ולכן נדרש 12 - x > 0:
תחום ההגדרה של f'(x) הוא x < 12.
הוא צר מתחום ההגדרה של f(x) בדיוק בנקודה אחת - x = 12 - שבה f מוגדרת אך אין לה נגזרת.
ג. בכל תחום ההגדרה של הנגזרת מתקיים 12 - x > 0, ולכן המכנה 212 - x חיובי תמיד, וסימן הנגזרת הוא סימן המונה 24 - 3x בלבד:
24 - 3x > 0 כאשר x < 8 - הפונקצייה עולה בתחום x < 8;
24 - 3x < 0 כאשר x > 8 - הפונקצייה יורדת בתחום 8 < x ≤ 12.
המעבר מעלייה לירידה ב־x = 8 הוא נקודת מקסימום; ערכה: f(8) = 8·4 = 8·2 = 16, כלומר (8, 16) נקודת מקסימום.
בקצה תחום ההגדרה x = 12 הפונקצייה יורדת לקראת הקצה, ולכן הערך שם קטן מכל ערך בסביבתו: f(12) = 12·0 = 0, ו־(12, 0) היא נקודת מינימום קצה.
ד. f(x) = 0 כאשר x = 0 או 12 - x = 0, כלומר x = 12.
נקודות החיתוך: (0, 0) (עם שני הצירים) ו־(12, 0).
הגרף עולה מ־-∞ (בעבור x שלילי הפונקצייה שלילית), עובר ב־(0, 0), ממשיך לעלות עד המקסימום (8, 16), ויורד אל (12, 0) בקצה התחום:
ה. כאן אין צורך לחפש קדומה חדשה: הקדומה של f'(x) היא f(x) עצמה, ולכן השטח הוא הפרש בין שני ערכים של הפונקצייה המקורית.
המכנה חיובי בכל התחום, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה: f'(x) חיובית בעבור x < 8 ומתאפסת ב־x = 8. לכן השטח שבין גרף הנגזרת, ציר ה־x וציר ה־y נפרש בין x = 0 ובין x = 8:
S = ∫f'(x)dx בגבולות 0 עד 8, כלומר S = f(8) - f(0) = 16 - 0 = 16.

פתרון הדרך: במלבן חסום כזה שתי הצלעות אינן בלתי תלויות: ברגע שבוחרים את AD, הקודקוד E נאלץ לשבת על היתר, והצלע השנייה נקבעת מאליה. את הקשר ביניהן נותנים משולשים דומים - המשולש הקטן DBE והמשולש ABC - ולא חישוב חדש. מרגע שהשטח כתוב כפולינום ב־t זו בעיית קיצון רגילה: גוזרים, משווים ל־0 ומאשרים בבדיקת סימנים. בסעיף האחרון משווים את הערך הנתון לשטח המרבי: שטח גדול מן המרבי אינו אפשרי.
א. הקטע DE מאונך ל־AB (צלע במלבן), וגם CA מאונך ל־AB, ולכן DE ∥ CA. מכאן שהמשולשים DBE ו־ABC דומים (שתי זוויות שוות: הזווית המשותפת בקודקוד B, ושתי הזוויות הישרות ב־D וב־A).
DB = AB - AD = 12 - t, ולכן מיחס הדמיון:
DEAC = DBAB , כלומר DE9 = 12 - t12 ומכאן DE = 9(12 - t)12 = 0.75(12 - t) = 9 - 0.75t.
שתי צלעות המלבן חייבות להיות חיוביות: t > 0 וגם 9 - 0.75t > 0 (כלומר t < 12), ולכן תחום הערכים האפשריים הוא 0 < t < 12.
ב. S(t) = AD · DE = t(9 - 0.75t) = 9t - 0.75t², כנדרש.
ג. גוזרים: S'(t) = 9 - 1.5t.
S'(t) = 0 כאשר 1.5t = 9, כלומר t = 6.
בדיקת סימן: בעבור t = 4 מתקבל S'(4) = 9 - 6 = 3 > 0 (עלייה); בעבור t = 8 מתקבל S'(8) = 9 - 12 = -3 < 0 (ירידה), ולכן t = 6 היא נקודת מקסימום.
S(6) = 9·6 - 0.75·36 = 54 - 27 = 27 סמ"ר, והצלע השנייה היא DE = 9 - 0.75·6 = 4.5 ס"מ.
כלומר המלבן המרבי הוא 6 ס"מ על 4.5 ס"מ, ושטחו 27 סמ"ר - בדיוק מחצית משטח המשולש, שהוא 12·92 = 54 סמ"ר.
ד. לא. השטח הגדול ביותר שאפשר לקבל הוא 27 סמ"ר, המתקבל בעבור t = 6, וכל שטח אחר קטן ממנו. מכיוון ש־28 > 27, אין ערך של t בתחום 0 < t < 12 שבעבורו שטח המלבן יהיה 28 סמ"ר.