מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: בין האיבר השלישי לאיבר האחד-עשר יש בדיוק שמונה הפרשים, ולכן ההפרש מתקבל מחילוק אחד, בלי מערכת משוואות. בסעיף ב מספר האיברים הוא הנעלם, והוא מופיע בנוסחת הסכום גם כמקדם וגם בתוך הסוגריים - ולכן מתקבלת משוואה ריבועית ב-n, שממנה פוסלים את הפתרון השלילי. בסעיף ג ההוכחה נשענת על ההגדרה עצמה: מפרשים איבר כללי של C כאיבר של A שמקומו זוגי, ומחשבים את ההפרש בין שני איברים עוקבים - ומתברר שהוא קבוע ושווה לפעמיים ההפרש של A. משהוכחנו ש-C חשבונית, סעיף ד הוא הצבה ישירה בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית.
א. לפי נוסחת האיבר הכללי: a11 - a3 = 8d, ומהנתון: 8d = 41 - 17 = 24, ולכן d = 3.
האיבר הראשון: a1 = a3 - 2d = 17 - 6 = 11. a1 = 11 (בדיקה: a3 = 11 + 2·3 = 17 ✓, a11 = 11 + 10·3 = 41 ✓).

ב. לפי נוסחת הסכום של סדרה חשבונית: S_n = n2·(2a1 + (n - 1)d) = n2·(22 + 3n - 3) = n·(3n + 19)2.
מהתנאי S_n = 480: n·(3n + 19) = 960, כלומר 3n² + 19n - 960 = 0.
הדיסקרימיננטה: 19² + 4·3·960 = 361 + 11,520 = 11,881 = 109², ולכן n = -19 ± 1096.
הפתרון n = -1286 נפסל (מספר איברים חייב להיות מספר טבעי), ונשאר n = 906 = 15. יש לחבר 15 איברים (בדיקה: S_15 = 152·(22 + 14·3) = 7.5·64 = 480 ✓).

ג. לפי ההגדרה, האיבר ה-k בסדרה C הוא c_k = a_2k. נחשב את ההפרש בין שני איברים עוקבים:
c_(k+1) - c_k = a_(2k+2) - a_2k = 2d = 2·3 = 6 (בסדרה חשבונית, ההפרש בין שני איברים שהמרחק בין מקומותיהם הוא 2 הוא תמיד 2d).
ההפרש הזה קבוע ואינו תלוי ב-k, ולכן הסדרה C היא סדרה חשבונית שהפרשה 6.
האיבר הראשון: c1 = a2 = a1 + d = 11 + 3 = 14. c1 = 14.

ד. בסדרה C מתקיים c1 = 14 וההפרש הוא 6, ולכן: S_20 = 202·(2·14 + 19·6) = 10·(28 + 114) = 10·142 = 1,420. S_20 = 1,420
(בדיקה ישירה: c20 = a40 = 11 + 39·3 = 128, ולכן S_20 = 20·14 + 1282 = 10·142 = 1,420 ✓).

ה. (1) האיבר ה-12 בסדרה A: a12 = a1 + 11d = 11 + 33 = 44. בסדרה B מתקיים b1 = a1 = 11, ולפי נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת: 111 - q = 44, ולכן 1 - q = 1144 = 0.25, ו-q = 0.75 (מתקיים |0.75| < 1, כנדרש מסדרה מתכנסת ✓).
(2) האיברים מן השלישי והלאה הם סדרה הנדסית אין-סופית באותה מנה, שהאיבר הראשון שלה b3 = 11·0.75² = 6.1875. סכומם: 6.18751 - 0.75 = 6.18750.25 = 24.75. 24.75 (בדיקה: b2 = 8.25, ו-44 - 11 - 8.25 = 24.75 ✓).

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: כל סעיף ב נשען על זהות אלגברית אחת: מכפלת סכום בהפרש. שני אלכסוני הפאה BCC'B' הם v + w ו-v - w, ומכפלתם הסקלרית מצטמצמת ל-|v|² - |w|² בלי שום תלות בזווית שביניהם. לכן הנתון על האנכיות אינו הוכחה שצריך לאמת, אלא משוואה שממנה מחלצים את אורך המקצוע הצדדי - וזה בדיוק אומר שהפאה הזאת היא ריבוע. משהאורך בידינו, מיקום המנסרה במערכת הצירים נקבע לגמרי מן הנתונים: הזווית הישרה ב-B מציבה את שני מקצועות הבסיס על שני צירים, והמנסרה ישרה ולכן המקצוע הצדדי מונח על הציר השלישי. בסעיף ד את הזווית מוצאים מנוסחת המכפלה הסקלרית, ואת הנפח - משטח בסיס כפול גובה, כאשר הבסיס הוא משולש ישר-זווית.
א. בכלל המשולש, ביחס לנקודה B:
AC = BC - BA = v - u.
במנסרה כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן CC' = BB' = w, ומכאן:
BC' = BC + CC' = v + w.
B'C = BC - BB' = v - w.

ב. נחשב את המכפלה הסקלרית של שני האלכסונים: BC'·B'C = (v + w)·(v - w) = v·v - v·w + w·v - w·w = |v|² - |w|² (האיברים v·w ו-w·v שווים ומצטמצמים).
נתון כי שני האלכסונים מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה מתאפסת: |v|² - |w|² = 0, כלומר |w| = |v| = 8 (אורך אינו שלילי).
אורך המקצוע הצדדי של המנסרה הוא 8 ס"מ (ואכן: הפאה BCC'B' היא מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות, כלומר ריבוע, ובריבוע האלכסונים מאונכים זה לזה ✓).

ג. (1) BA מונח על החלק החיובי של ציר ה-x ואורכו 6, ולכן A(6 , 0 , 0).
BC מונח על החלק החיובי של ציר ה-y ואורכו 8, ולכן C(0 , 8 , 0). (המיקום הזה עקבי עם הנתון ∡ABC = 90°, שכן שני הצירים מאונכים.)
BB' מונח על החלק החיובי של ציר ה-z ואורכו 8 (סעיף ב), ולכן B'(0 , 0 , 8). (המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי אכן מאונך למישור הבסיס z = 0.)
(2) w = (0 , 0 , 8), ולכן A' = A + w ו-C' = C + w: A'(6 , 0 , 8) ו-C'(0 , 8 , 8).

ד. (1) M היא אמצע A'C', ושיעוריה הם ממוצע שיעורי הקצוות: M(6 + 02 , 0 + 82 , 8 + 82), כלומר M(3 , 4 , 8).
BM = M - B = (3 , 4 , 8), ולכן |BM| = 9 + 16 + 64 = 89 ≈ 9.43 ס"מ. |BM| = 89 ≈ 9.43 ס"מ.
(2) הזווית MBB' היא הזווית שבין הווקטורים BM ו-BB'. נשתמש בנוסחת המכפלה הסקלרית:
BM·BB' = (3 , 4 , 8)·(0 , 0 , 8) = 0 + 0 + 64 = 64, ו-|BB'| = 8.
cos(∡MBB') = 6489·8 = 889 ≈ 0.8480.
∡MBB' ≈ 32°.
(3) בסיס המנסרה הוא המשולש ישר-הזווית ABC, וניצביו הם |u| = 6 ו-|v| = 8, ולכן שטחו ½·6·8 = 24 סמ"ר. גובה המנסרה הוא |w| = 8 ס"מ, ולכן V = 24·8 = 192 סמ"ק. V = 192 סמ"ק.

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: ירידה באחוז קבוע בכל שעה היא כפל חוזר במקדם קבוע, ולכן כל כמות היא הכמות ההתחלתית כפול מקדם בחזקת מספר השעות. בסעיף א מחלקים את הכמות הסופית בכמות ההתחלתית; הכמות ההתחלתית מצטמצמת ונשאר המקדם בחזקת שלוש, ומזהים את השורש השלישי. בסעיף ב אין חישוב כלל: שתי הכמויות יוצאות מאותה נקודה, ולכן בכל רגע שאחריה נמוכה יותר הכמות שדועכת מהר יותר - והקו הנמוך יותר בסרטוט הוא שלה. בסעיף ג מציבים, ובסעיף ד הנעלם יושב במעריך של שני האגפים: מרכזים את שתי החזקות לאגף אחד כמנה, מקבלים חזקה אחת של בסיס אחד, ופותרים בלוגריתם.
א. נסמן ב-r את המקדם השעתי של התרופה ב'. כעבור 3 שעות: 240·r³ = 101.25, ולכן r³ = 101.25240 = 0.421875.
מזהים: 0.75² = 0.5625 ו-0.5625·0.75 = 0.421875, כלומר 0.75³ = 0.421875, ולכן r = 0.75.
כמות התרופה ב' בדם קטנה ב-25% בכל שעה (בדיקה: 240·0.421875 = 101.25 ✓).

ב. שתי הכמויות מתחילות מאותו ערך, 240 מ"ג. כעבור t שעות:
תרופה א': 240·0.7^t    (ירידה של 30% פירושה מקדם 0.7).
תרופה ב': 240·0.75^t    (לפי סעיף א).
מכיוון ש-0.7 < 0.75, מתקיים 0.7^t < 0.75^t בעבור כל t > 0, ולכן כמות התרופה א' קטנה מכמות התרופה ב' בכל רגע שאחרי תחילת המדידה. כלומר הגרף של תרופה א' נמצא כל הזמן מתחת לגרף של תרופה ב'.
בסרטוט הקו המקווקו הוא הקו הנמוך מבין השניים, ולכן הקו המקווקו מתאר את כמות התרופה א' בדם.

ג. מציבים t = 5 בכמות של תרופה א': 240·0.7⁵.
מחשבים: 0.7² = 0.49, 0.7⁴ = 0.49² = 0.2401, ולכן 0.7⁵ = 0.2401·0.7 = 0.16807, ומכאן 240·0.16807 = 40.3368.
כעבור 5 שעות תישאר בדם כמות של כ-40.34 מ"ג מן התרופה א'.

ד. התנאי המבוקש: 240·0.75^t = 2·240·0.7^t.
מצמצמים ב-240 ומחלקים ב-0.7^t: (0.750.7)^t = 2, כלומר (1514)^t = 2.
פותרים בעזרת לוגריתם: t = ℓn(2)ℓn(1514) = 0.693150.06899 ≈ 10.05.
כעבור כ-10.05 שעות מתחילת המדידה (בדיקה: כעבור 10.05 שעות הכמויות הן 240·0.75^10.05 ≈ 13.32 מ"ג ו-240·0.7^10.05 ≈ 6.66 מ"ג, והיחס ביניהן הוא 2 ✓).

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: בפונקצייה שהיא מנה, המכנה הוא שקובע את תחום ההגדרה, ולכן הוא הדבר הראשון שבודקים. מכאן ואילך השאלה הולכת בכיוון ההפוך למקובל: הנגזרת נגזרת לפני שידוע ערכו של הפרמטר. גוזרים בכלל המנה, מוציאים e^x כגורם משותף במונה ומצמצמים גורם אחד של (x - a); מתקבל שבר שהמכנה שלו ריבוע חיובי והמונה שלו ליניארי, ולכן יש בדיוק שורש אחד לנגזרת - כלומר נקודת קיצון אחת, ושיעור ה-x שלה הוא נוסחה ב-a. רק אז נכנס הנתון על מקומה של נקודת הקיצון, והוא הופך את הנוסחה הזאת למשוואה ליניארית פשוטה ב-a. החקירה המספרית באה אחרי חילוץ הפרמטר, ולא לפניו. בסוף, העובדה שהמונה e^x חיובי תמיד היא שקובעת את הסימן של הפונקצייה בכל אחד משני הענפים - ובלעדיה אי אפשר לדעת מאיזה צד של ציר ה-x לסרטט כל ענף.
א. המכנה מתאפס כאשר x - a = 0, כלומר כאשר x = a. תחום ההגדרה: כל x ≠ a.

ב. גוזרים בכלל המנה, בלי להציב ערך כלשהו ב-a:
f'(x) = e^x·(x - a) - e^x·1(x - a)² = e^x·(x - a - 1)(x - a)².
המכנה (x - a)² חיובי בכל תחום ההגדרה, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה בלבד. המונה מתאפס רק כאשר e^x·(x - a - 1) = 0, ומכיוון ש-e^x ≠ 0 בעבור כל x, מתקבל x - a - 1 = 0, כלומר x = a + 1 - ערך יחיד, בעבור כל a.
נבדוק שזו אכן נקודת קיצון: סימן הנגזרת הוא סימן הגורם (x - a - 1) בלבד. בעבור x < a + 1 (ובתחום ההגדרה) מתקיים f' < 0, ובעבור x > a + 1 מתקיים f' > 0, ולכן הנגזרת מחליפה סימן ממינוס לפלוס.
יש נקודת קיצון אחת בלבד, נקודת מינימום, ושיעור ה-x שלה הוא x = a + 1.

ג. לפי סעיף ב שיעור ה-x של נקודת הקיצון הוא a + 1, ומהנתון הוא 4: a + 1 = 4, ולכן a = 3. מכאן f(x) = e^xx - 3, ולפי סעיף א תחום ההגדרה הוא כל x ≠ 3.

ד. (1) חיתוך עם ציר ה-y (x = 0): f(0) = e⁰0 - 3 = -13, כלומר (0 , -13).
(2) לפי סעיף ב, f'(x) = e^x·(x - 4)(x - 3)², והקיצון הוא ב-x = 4. ערך הפונקצייה שם: f(4) = e⁴4 - 3 = e⁴ ≈ 54.60.
נקודת מינימום: (4 , e⁴).
(3) האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x: כאשר x → 3 המכנה שואף לאפס והמונה שואף ל-e³ ≠ 0, ולכן ערכי הפונקצייה שואפים לאין-סוף בערך מוחלט. x = 3.
האסימפטוטה המאונכת לציר ה-y: כאשר x → -∞, המונה e^x שואף לאפס והמכנה x - 3 שואף ל--∞, ולכן f(x) → 0. y = 0. (כאשר x → ∞ הפונקצייה המעריכית גדלה מהר יותר מכל פולינום, ולכן f(x) → ∞ ואין שם אסימפטוטה אופקית.)

ה. (1) שבר מתאפס רק כאשר המונה שלו מתאפס. המונה הוא e^x, ופונקצייה מעריכית זו חיובית בעבור כל x ואינה מתאפסת לעולם. לכן f(x) ≠ 0 בכל תחום ההגדרה, ולגרף אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x.
מכיוון שהמונה חיובי תמיד, סימן הפונקצייה הוא סימן המכנה (x - 3): בתחום x < 3 המכנה שלילי ולכן f(x) < 0 (כל הענף השמאלי מתחת לציר ה-x), ובתחום x > 3 המכנה חיובי ולכן f(x) > 0 (כל הענף הימני מעל הציר).
(2) הסקיצה נבנית משלושת הדברים שנמצאו: שתי האסימפטוטות, נקודת המינימום, והסימן של כל ענף.
הענף השמאלי (x < 3): כולו מתחת לציר ה-x, מתקרב מלמטה אל האסימפטוטה y = 0 כאשר x → -∞, יורד כל הזמן (אין בו קיצון, שכן הקיצון היחיד הוא ב-x = 4), עובר דרך (0 , -13) וצולל אל -∞ כאשר x → 3^-.
הענף הימני (x > 3): כולו מעל ציר ה-x, יורד מ-+∞ אל נקודת המינימום (4 , e⁴), ומשם עולה שוב לאין-סוף.

ו. נקודת ההשקה היא (0 , -13) מסעיף ד(1). השיפוע: f'(0) = e⁰·(0 - 4)(0 - 3)² = -49.
משוואת המשיק: y = -49·(x - 0) - 13, כלומר y = -49x - 13 (בקירוב: y ≈ -0.44x - 0.33).

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: השאלה הזאת בנויה הפוך מן המקובל: אין בה שום נתון מילולי על צורת הגרף, והזיהוי אינו הצעד הראשון אלא הצעד האחרון - הוא נשען כולו על מה שחישבתם בעצמכם בסעיפים שלפניו. הכול יוצא מגזירה אחת בכלל המנה. מן הנגזרת נקראים תחומי העלייה והירידה ונקודת הקיצון של f, ומן ההתנהגות של הנגזרת בקצוות נקראות שתי האסימפטוטות שלה. משיש בידכם ארבע עובדות - היכן f מתאפסת, היכן היא מגיעה לשיא, לאן f' שואפת ליד ציר ה-y ולאן היא שואפת באין-סוף - כל אחת מהן פוסלת גרפים, ובסוף נשאר גרף אחד לכל פונקצייה. בסעיף ה אין צורך באינטגרציה חדשה: f היא, מעצם ההגדרה, פונקצייה קדומה של f'. יש צורך לפצל את התחום בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת, מפני שמצד אחד שלה השטח מעל הציר ומן הצד האחר מתחתיו, ושטח הוא תמיד גודל חיובי.
א. גוזרים בכלל המנה: f'(x) = 1x·x - ℓnx·1x² = 1 - ℓnxx², כנדרש.
המכנה x² חיובי בכל התחום x > 0, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה (1 - ℓnx) בלבד. 1 - ℓnx > 0 כאשר ℓnx < 1, כלומר כאשר x < e.
הפונקצייה עולה בתחום 0 < x < e ויורדת בתחום x > e.

ב. (1) פותרים f(x) = 0: שבר מתאפס כאשר המונה שלו מתאפס, כלומר ℓnx = 0, ומכאן x = 1 (וזה אכן בתחום ההגדרה). נקודת החיתוך: (1 , 0).
(2) לפי סעיף א הנגזרת מתאפסת רק כאשר 1 - ℓnx = 0, כלומר x = e, והיא מחליפה שם סימן מפלוס למינוס - נקודת מקסימום. ערך הפונקצייה שם: f(e) = ℓnee = 1e.
נקודת מקסימום: (e , 1e) (בקירוב (2.72 , 0.37)).

ג. (1) כאשר x → 0⁺ מתקיים ℓnx → -∞, ולכן המונה 1 - ℓnx → ∞, ואילו המכנה x² שואף לאפס מלמעלה. לכן f'(x) → ∞. האסימפטוטה האנכית של f'(x) היא x = 0 (ציר ה-y עצמו).
(2) כאשר x → ∞, המונה גדל בקצב של ℓnx בלבד, ואילו המכנה גדל בקצב של x² - מהר בהרבה. לכן f'(x) → 0. האסימפטוטה האופקית של f'(x) היא y = 0.

ד. נאסוף את מה שחושב בסעיפים א-ג ונתרגם כל עובדה לתכונה שחייבת להיראות בגרף.
מה חייב לקיים גרף של f(x): לפי ב(1) הוא חותך את ציר ה-x בנקודה אחת, ב-x = 1; לפי ב(2) יש לו נקודת מקסימום אחת, מימין לנקודת החיתוך; לפי א הוא עולה עד למקסימום ויורד אחריו. נוסף על כך, בתחום 0 < x < 1 מתקיים ℓnx < 0 ולכן f(x) < 0 - הגרף מתחיל מתחת לציר.
מה חייב לקיים גרף של f'(x): לפי א הוא חיובי בתחום 0 < x < e, מתאפס ב-x = e ושלילי אחריו; לפי ג(1) הוא שואף לאין-סוף ליד ציר ה-y, ולפי ג(2) הוא חוזר ומתקרב לציר ה-x מלמטה כאשר x גדל.
גרף I מתאר את הפונקצייה f(x): הוא היחיד שמתחיל מתחת לציר, חוצה אותו פעם אחת, מגיע למקסימום ואז יורד בלי לחצות שוב.
גרף II מתאר את פונקציית הנגזרת f'(x): הוא היחיד שמתחיל גבוה ובחיוב, חוצה את הציר פעם אחת ונשאר שלילי, ומתקרב אל הציר מלמטה.
פסילת השניים האחרים: גרף III חיובי בכל התחום ואינו מתאפס אף פעם - הוא אינו יכול להיות f (שמתאפסת ב-x = 1) ואינו יכול להיות f' (שמתאפסת ב-x = e); גרף IV שלילי בכל התחום - הוא אינו יכול להיות f (שחיובית בעבור x > 1) ואינו יכול להיות f' (שחיובית בעבור 0 < x < e).

ה. הפונקצייה f(x) היא, מעצם ההגדרה, פונקצייה קדומה של f'(x), ולכן כל אינטגרל של f' מתקבל כהפרש ערכים של f.
גרף f' חותך את ציר ה-x ב-x = e (סעיף א), והנקודה הזאת נמצאת בתוך התחום 1 ≤ x ≤ e², ולכן מפצלים לשני חלקים:
מ-x = 1 עד x = e הנגזרת חיובית, והשטח נמצא מעל הציר: S₁ = f(e) - f(1) = 1e - 0 = 1e ≈ 0.368.
מ-x = e עד x = e² הנגזרת שלילית, והשטח נמצא מתחת לציר, ולכן לוקחים את ההפרש בסימן הפוך: S₂ = -(f(e²) - f(e)).
מחשבים: f(e²) = ℓn(e²)e² = 2e² ≈ 0.271, ולכן S₂ = 1e - 2e² ≈ 0.368 - 0.271 = 0.097.
השטח הכולל: S = S₁ + S₂ = 2e - 2e² ≈ 0.736 - 0.271 = 0.465.
S = 2e - 2e² ≈ 0.47 (שימו לב: אילו לא היינו מפצלים בנקודה x = e, היינו מקבלים f(e²) - f(1) = 2e² ≈ 0.271 - הפרש השטחים ולא סכומם, ולא זה מה שנשאלנו).