מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: רשימה של כפולות עוקבות של אותו מספר היא תמיד סדרה חשבונית, מפני שהמעבר מכפולה אחת אל הבאה אחריה הוא הוספה של אותו מספר עצמו. לכן אין כאן באמת שאלה על מספרים אלא שאלה על סדרה חשבונית, שהאיבר הראשון והאיבר האחרון שלה נקבעים על ידי שני קצות התחום. מספר האיברים אינו נתון, ולכן מוצאים אותו מנוסחת האיבר הכללי: פותרים משוואה שהנעלם בה הוא המקום בסדרה, ולא ערכו של איבר. כל הסכומים כאן מחושבים בנוסחת הסכום שבה מופיעים האיבר הראשון והאיבר האחרון, ולכן די לדעת מי הם ומה מספר האיברים שביניהם. בסעיף ד המספרים שמתחלקים גם ב-7 וגם ב-5 הם בדיוק הכפולות של 35, כלומר סדרה חשבונית חדשה שהפרשה 35, והתשובה לסעיף ד(2) מתקבלת מחיסור של שני סכומים ולא מחישוב חדש.
א. ההפרש: כל שני איברים עוקבים בסדרה הם שתי כפולות עוקבות של 7, ולכן ההפרש ביניהם הוא תמיד d = 7. ההפרש קבוע, ומכאן שהסדרה היא סדרה חשבונית.
האיבר הראשון: 7·14 = 98 הוא מספר דו-ספרתי, ואילו 7·15 = 105, ולכן a1 = 105.
האיבר האחרון: 999 : 7 = 142.71..., ולכן הכפולה התלת-ספרתית הגדולה ביותר של 7 היא 7·142 = 994 (הכפולה הבאה, 1,001, כבר אינה תלת-ספרתית): 994.
מספר האיברים: לפי נוסחת האיבר הכללי a_n = a1 + (n - 1)·d:
105 + 7(n - 1) = 994  ⇒  7(n - 1) = 889  ⇒  n - 1 = 127,
ומכאן n = 128 איברים.
(בדיקה בדרך שנייה: 105 = 7·15 ו-994 = 7·142, ולכן מספר הכפולות הוא 142 - 15 + 1 = 128 ✓)

ב. נשתמש בנוסחת הסכום שבה מופיעים האיבר הראשון והאיבר האחרון:
S_128 = 1282·(a1 + a128) = 64·(105 + 994) = 64·1,099 = 70,336.
סכום כל איברי הסדרה הוא 70,336.
(בדיקה: אפשר להוציא 7 כגורם משותף מכל האיברים, ואז 7·(15 + 16 + ... + 142) = 7·128·1572 = 7·10,048 = 70,336 ✓)

ג. 700 = 7·100, ולכן 700 אכן איבר בסדרה. נמצא את מקומו:
105 + 7(k - 1) = 700  ⇒  7(k - 1) = 595  ⇒  k - 1 = 85, ומכאן k = 86: 700 הוא האיבר ה-86 בסדרה.
האיברים הגדולים מ-700 הם האיברים שמקומם 87 עד 128, ולכן מספרם 128 - 86 = 42. הראשון שבהם הוא 707 והאחרון הוא 994:
S = 422·(707 + 994) = 21·1,701 = 35,721.
סכום האיברים הגדולים מ-700 הוא 35,721.
(בדיקה בדרך שנייה: סכום 86 האיברים הראשונים הוא 862·(105 + 700) = 43·805 = 34,615, ואכן 70,336 - 34,615 = 35,721 ✓)

ד. (1) מספר מתחלק גם ב-7 וגם ב-5 אם ורק אם הוא מתחלק ב-35. הכפולות התלת-ספרתיות של 35 הן עצמן סדרה חשבונית שהפרשה 35:
35·2 = 70 הוא דו-ספרתי, ולכן הראשונה היא 35·3 = 105; ומכיוון ש-999 : 35 = 28.54..., האחרונה היא 35·28 = 980.
מספרן: 28 - 3 + 1 = 26. יש 26 מספרים כאלה.
סכומן: 262·(105 + 980) = 13·1,085 = 14,105. סכומם 14,105.
(בדיקה: 35·(3 + 4 + ... + 28) = 35·26·312 = 35·403 = 14,105 ✓)
(2) המספרים שמתחלקים ב-7 ואינם מתחלקים ב-5 הם כל איברי הסדרה מסעיף א, פרט ל-26 המספרים שנמנו בסעיף ד(1). לכן סכומם הוא הפרש הסכומים:
70,336 - 14,105 = 56,231.
הסכום המבוקש הוא 56,231 (והם 128 - 26 = 102 מספרים).
(בדיקה גסה לסבירות: הממוצע של 102 המספרים האלה הוא 56,231 : 102 ≈ 551.3, וזה אכן ערך סביר, קרוב לאמצע התחום 105 עד 994 ✓)

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי מאונך למישור הבסיס ומתקיים w·u = 0 וגם w·v = 0. אבל הבסיס הוא מקבילית ולא מלבן, ולכן u·v אינה מתאפסת - וזה כל הסיפור של השאלה: המכפלה הסקלרית הזאת היא הנעלם, והכלי שמחלץ אותה הוא אלכסון הבסיס, שהוא הפרש שני הווקטורים. ברגע ש-u·v ידועה, אורך כל אלכסון של המנסרה מתקבל מפתיחת ריבוע האורך, והזווית שבין שני האלכסונים מתקבלת מן ההגדרה של המכפלה הסקלרית. את השיעורים אי אפשר לקרוא כאן ישירות מן האורכים, מפני שהקודקוד D אינו מונח על ציר: יש לחשב אותם בעזרת הקוסינוס והסינוס של הזווית ∡BAD.
א. במנסרה כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן CC' = DD' = AA' = w.
A'C = A'A + AB + BC. מכיוון ש-A'A = -w ו-BC = AD = v (במקבילית):
A'C = u + v - w.
BD' = BD + DD', ומכיוון ש-BD = AD - AB = v - u:
BD' = -u + v + w.

ב. נחשב את ריבוע אורכו של האלכסון BD = v - u:
|v - u|² = |v|² - 2u·v + |u|² = 36 - 2u·v + 100 = 136 - 2u·v.
נתון |BD| = 8, ולכן 136 - 2u·v = 64, כלומר 2u·v = 72 ומכאן u·v = 36.
לפי הגדרת המכפלה הסקלרית: cos(∡BAD) = u·v|u|·|v| = 3610·6 = 0.6, ולכן ∡BAD ≈ 53.13° (ומכאן גם sin(∡BAD) = 0.8).
(בדיקה בשיעורים שיתקבלו בסעיף ד: B(10 , 0 , 0) ו-D(3.6 , 4.8 , 0), ולכן |BD|² = 6.4² + 4.8² = 40.96 + 23.04 = 64 ✓)

ג. המנסרה ישרה, ולכן u·w = 0 וגם v·w = 0. נפתח:
|A'C|² = (u + v - w)·(u + v - w) = |u|² + |v|² + |w|² + 2u·v = 100 + 36 + 36 + 72 = 244,
ולכן |A'C| = 244 = 261 ≈ 15.62 ס"מ.
|BD'|² = (-u + v + w)·(-u + v + w) = |u|² + |v|² + |w|² - 2u·v = 172 - 72 = 100,
ולכן |BD'| = 100 = 10 ס"מ (בדיוק).

ד. (1) AB מונח על החלק החיובי של ציר ה-x ואורכו 10, ולכן B(10 , 0 , 0).
AA' מונח על החלק החיובי של ציר ה-z ואורכו 6, ולכן A'(0 , 0 , 6).
הקודקוד D נמצא במישור xy, והזווית שבין AD ובין החלק החיובי של ציר ה-x היא ∡BAD. לכן:
D(6·cos(∡BAD) , 6·sin(∡BAD) , 0) = (6·0.6 , 6·0.8 , 0), כלומר D(3.6 , 4.8 , 0).
(2) במקבילית BC = AD, ולכן C = B + AD = (10 + 3.6 , 0 + 4.8 , 0):
C(13.6 , 4.8 , 0), ומכאן C' = C + w, כלומר C'(13.6 , 4.8 , 6).
(בדיקה מול סעיף ג: A'C = C - A' = (13.6 , 4.8 , -6), ואורכו 184.96 + 23.04 + 36 = 244 ✓)

ה. נחשב במכפלה סקלרית. נשתמש בביטויים מסעיף א ובערכים |u|² = 100, |v|² = 36, |w|² = 36, u·v = 36, u·w = v·w = 0:
A'C·BD' = (u + v - w)·(-u + v + w) = -|u|² + |v|² - |w|² = -100 + 36 - 36 = -100.
(בשיעורים: D' = D + w = (3.6 , 4.8 , 6), ולכן BD' = (-6.4 , 4.8 , 6), ואכן 13.6·(-6.4) + 4.8·4.8 + (-6)·6 = -87.04 + 23.04 - 36 = -100 ✓)
cos α = -100244·100 = -10015.620·10 = -100156.20 ≈ -0.6402.
α ≈ 129.8°.
המכפלה הסקלרית שלילית, ולכן הזווית שבין הווקטורים קהה. הזווית החדה שבין הישרים הנושאים את שני האלכסונים היא המשלימה ל-180°, כלומר ≈ 50.2°.
(הערה: שני האלכסונים אכן נחתכים, מפני ש-A'D' = v = BC, ולכן A'BCD' מקבילית ו-A'C ו-BD' הם אלכסוניה.)

ו. שטח הבסיס (מקבילית): S = |u|·|v|·sin(∡BAD) = 10·6·0.8 = 48 סמ"ר.
המנסרה ישרה, ולכן גובהה הוא |w| = 6 ס"מ:
V = 48·6 = 288. V = 288 סמ"ק.

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: דעיכה באחוז קבוע בכל יום היא כפל חוזר במקדם קבוע, ולכן הכמות כעבור t ימים היא הכמות ההתחלתית כפול המקדם בחזקת t. כל שאלה כאן היא על יחס בין הכמות לבין הכמות ההתחלתית - למחצית, לרבע, לאחוז מסוים - ובכל יחס כזה הכמות ההתחלתית מצטמצמת. זה מה שסעיף א מוכיח פעם אחת, ומרגע שהוכח, כל שאר הסעיפים נפתרים בלי לדעת ולו כמות אחת בגרמים. סעיף ב הולך מן המקדם אל הזמן (לוגריתם), וסעיף ג הולך מן הזמן אל המקדם (שורש), כלומר אלה שני כיווני אותה נוסחה. בסעיף ד(2) הזמן שהתקבל בסעיף ד(1) שייך לחומר A, אבל מציבים אותו בנוסחה של חומר B: זהו אותו יום עצמו, ולכן שני החומרים נמדדים בו.
א. נסמן ב-N₀ את הכמות בתחילת המדידה וב-q את המקדם היומי (0 < q < 1, מפני שמדובר בדעיכה). אז N(t) = N₀·q^t.
נדרוש שהכמות תהיה מחצית מן הכמות ההתחלתית:
N₀·q^t = 12·N₀.
הכמות ההתחלתית אינה אפס, ולכן אפשר לחלק בה את שני האגפים: q^t = 12, ומכאן t = ℓn(0.5)ℓn(q).
בביטוי שהתקבל אין N₀ כלל, ולכן מספר הימים תלוי במקדם הדעיכה בלבד ואינו תלוי בכמות ההתחלתית. (מאותו חישוב עצמו נובע גם שאין חשיבות לרגע שממנו מתחילים למדוד.)

ב. ירידה של 10% בכל יום היא כפל ב-1 - 0.1 = 0.9, ולכן q_A = 0.9. לפי סעיף א:
t = ℓn(0.5)ℓn(0.9) = -0.69315-0.10536 ≈ 6.58.
כעבור כ-6.58 ימים.
(בדיקה: 0.9^6.58 ≈ 0.5000 ✓)

ג. נסמן ב-q_B את המקדם היומי של חומר B. מהנתון: q_B¹² = 0.5, ולכן
q_B = ¹²0.5 ≈ 0.94387.
המקדם 0.94387 פירושו שנותרים 94.387% מן הכמות בכל יום, כלומר הירידה היא 1 - 0.94387 = 0.05613.
כמותו של חומר B קטֵנה בכ-5.61% בכל יום.
(בדיקה: 0.94387¹² ≈ 0.5000 ✓)

ד. (1) נדרוש שכמותו של חומר A תהיה רבע מן הכמות ההתחלתית. כמו בסעיף א, הכמות ההתחלתית מצטמצמת:
0.9^t = 0.25, ולכן t = ℓn(0.25)ℓn(0.9) = -1.38629-0.10536 ≈ 13.16.
כעבור כ-13.16 ימים.
(שימו לב: זה בדיוק כפליים מן התשובה לסעיף ב, מפני שהצטמצמות לרבע היא הצטמצמות למחצית פעמיים.)
(2) נציב את אותו t בנוסחת חומר B. השבר שנותר מן הכמות ההתחלתית הוא
q_B^t = 0.94387^13.16 ≈ 0.4677.
נותרו כ-46.8% מכמותו ההתחלתית של חומר B.
(בדיקה בדרך שנייה, דרך זמן מחצית החיים: 13.16 : 12 ≈ 1.0965 "מחציות", ולכן השבר הוא 0.5^1.0965 ≈ 0.4677 ✓ - ואכן מעט פחות ממחצית, כצפוי, מפני שעבר קצת יותר מזמן מחצית חיים אחד.)

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: זו פונקצייה לוגריתמית מורכבת - לוגריתם של פולינום ממעלה שנייה - ולכן גוזרים בכלל השרשרת, והנגזרת מתקבלת כמנה שהמונה שלה הוא נגזרת הפולינום והמכנה שלה הוא הפולינום עצמו. המכנה הזה חיובי בכל תחום ההגדרה, שאם לא כן הלוגריתם כלל אינו מוגדר שם, ולכן סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה בלבד. מכאן שמקום הקיצון אינו תלוי בפרמטר, והפרמטר חייב להיחלץ מן הערך של הקיצון ולא ממקומו. אחרי ההצבה משלימים את הפולינום לריבוע, וההשלמה הזאת מוסרת בבת אחת ארבעה דברים: את תחום ההגדרה, את היעדר האסימפטוטה, את הערך הקטן ביותר ואת סימטריית הגרף. בסעיף ו נשען הפתרון על כך שהפונקצייה ℓn עולה ממש: אי-שוויון בין שני לוגריתמים שקול לאי-שוויון בין הביטויים שבתוכם, וכאן מתקבל אי-שוויון ריבועי.
א. נגזור בכלל השרשרת. הנגזרת של ℓn(g(x)) היא g'(x)g(x), וכאן g(x) = x² - 10x + a ולכן g'(x) = 2x - 10:
f'(x) = 2x - 10x² - 10x + a.
בכל נקודה בתחום ההגדרה מתקיים x² - 10x + a > 0, שאם לא כן הלוגריתם אינו מוגדר שם. לכן המכנה חיובי, וסימן הנגזרת הוא סימנו של המונה בלבד.
הנגזרת מתאפסת רק כאשר המונה מתאפס: 2x - 10 = 0, כלומר x = 5. במונה אין a, ולכן זהו המועמד היחיד לקיצון בעבור כל ערך של הפרמטר.

ב. אם לפונקצייה יש ערך קטן ביותר, הוא מתקבל בנקודת הקיצון שמצאנו, כלומר ב-x = 5:
f(5) = ℓn(25 - 50 + a) = ℓn(a - 25).
מהנתון ℓn(a - 25) = 0, ומכיוון ש-ℓn1 = 0 מתקבל a - 25 = 1, כלומר a = 26.
(בדיקה: בעבור a = 26 מתקיים x² - 10x + 26 = (x - 5)² + 1 > 0 בעבור כל x, ולכן x = 5 אכן שייך לתחום ההגדרה, ושם f(5) = ℓn1 = 0 ✓. שימו לב שהנתון מכריח a > 25: אילו היה a ≤ 25 היה הפולינום מתאפס, הפונקצייה הייתה שואפת למינוס אינסוף בקצות תחום ההגדרה, ולא היה לה ערך קטן ביותר כלל.)

ג. נציב a = 26: f(x) = ℓn(x² - 10x + 26). נשלים את הביטוי שבתוך הלוגריתם לריבוע:
x² - 10x + 26 = (x² - 10x + 25) + 1 = (x - 5)² + 1.
הביטוי (x - 5)² אינו שלילי לעולם, ולכן (x - 5)² + 1 ≥ 1 > 0 בעבור כל x:
תחום ההגדרה הוא כל x.
מדוע אין אסימפטוטה המאונכת לציר ה-x: אסימפטוטה כזאת (אנכית) הייתה נוצרת רק אילו היה הביטוי שבתוך הלוגריתם מתקרב ל-0 בנקודה כלשהי, שכן אז הלוגריתם שלו היה שואף למינוס אינסוף. כאן הערך הקטן ביותר של אותו ביטוי הוא 1, והוא אינו מתקרב ל-0 באף נקודה, ולכן לגרף אין אסימפטוטה כזאת.

ד. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = ℓn26 ≈ 3.258, כלומר (0 , ℓn26).
חיתוך עם ציר ה-x: נדרוש f(x) = 0. מכיוון ש-ℓn1 = 0, זה שקול ל-
(x - 5)² + 1 = 1 ⇒ (x - 5)² = 0 ⇒ x = 5.
יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-x: (5 , 0). זו גם נקודת הקיצון מסעיף ב, ולכן הגרף נוגע בציר ה-x ואינו חוצה אותו.

ה. לפי סעיף א ולפי ההשלמה לריבוע: f'(x) = 2x - 10(x - 5)² + 1. המכנה חיובי תמיד, ולכן סימן הנגזרת הוא סימנו של 2x - 10:
בעבור x < 5 מתקיים f'(x) < 0, ולכן הפונקצייה יורדת ב-x < 5;
בעבור x > 5 מתקיים f'(x) > 0, ולכן הפונקצייה עולה ב-x > 5, ו-(5 , 0) היא נקודת מינימום.
(בדיקה: f'(4) = -22 = -1 < 0 ואילו f'(7) = 45 = 0.8 > 0 ✓)
סקיצה: הגרף מוגדר על כל הישר. משמאל הוא יורד מערכים גדולים, נוגע בציר ה-x בנקודה (5 , 0), ומשם עולה שוב. אין לו אסימפטוטה כלל: לא אנכית (סעיף ג), וגם לא אופקית, מפני שכאשר x גדל או קטן ללא גבול גדל איתו הביטוי (x - 5)² + 1 ללא גבול, ולכן גם f(x) גדלה ללא גבול.
הגרף סימטרי ביחס לישר x = 5, מפני שהביטוי (x - 5)² תלוי רק במרחק מ-5: f(5 + t) = f(5 - t) = ℓn(t² + 1).
נקודות עזר לסרטוט: (4 , ℓn2) ו-(6 , ℓn2) (בקירוב 0.69), (3 , ℓn5) ו-(7 , ℓn5) (בקירוב 1.61), (0 , ℓn26) ו-(10 , ℓn26) (בקירוב 3.26).

ו. הפונקצייה ℓn עולה ממש, ולכן אי-שוויון בין שני לוגריתמים שקול לאי-שוויון בין הביטויים שבתוכם:
ℓn(x² - 10x + 26) < ℓn5 ⇒ x² - 10x + 26 < 5.
(אין כאן תנאי נוסף, מפני שלפי סעיף ג הביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי בעבור כל x.)
x² - 10x + 21 < 0  ,  (x - 3)(x - 7) < 0.
מקדם ה-x² חיובי, ולכן הביטוי שלילי בין שני שורשיו:
3 < x < 7.
(בדיקה: f(3) = ℓn(9 - 30 + 26) = ℓn5 וגם f(7) = ℓn(49 - 70 + 26) = ℓn5, ולכן הקצוות אינם נכללים ✓ ; באמצע התחום f(5) = 0 < ℓn5 ✓ ; ומחוצה לו f(0) = ℓn26 > ℓn5 ✓)
ההתאמה לסקיצה: התחום שהתקבל סימטרי ביחס לישר x = 5, בדיוק כמו הגרף עצמו ✓

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: הפונקצייה היא הפרש בין x ובין לוגריתם, ולכן הנגזרת שלה היא הפרש פשוט מאוד, ואפשר לאחד אותה למנה אחת שהמכנה שלה חיובי בכל תחום ההגדרה. מכאן שסימן הנגזרת נקבע על ידי המונה בלבד. הפונקצייה אינה חותכת את הצירים בנקודות שאפשר לחשב באמצעים אלגבריים (המשוואה x = 4ℓnx אינה פתירה בדרך זו), ולכן הסקיצה נבנית ממה שכן חושב: תחום ההגדרה, האסימפטוטה, נקודת הקיצון וההתנהגות בקצוות. וסעיף ו אינו שאלה חדשה כלל: אורך הקטע PQ הוא בדיוק הפונקצייה f(x) בסימן הפוך, ולכן הקטע הארוך ביותר מתקבל בדיוק בנקודת המינימום שכבר נמצאה בסעיף ג.
א. הביטוי ℓnx מוגדר רק בעבור מספרים חיוביים, ולכן תחום ההגדרה הוא x > 0.

ב. אסימפטוטה המאונכת לציר ה-x היא אסימפטוטה אנכית, והמועמד היחיד הוא קצה תחום ההגדרה, x = 0.
כשהערכים של x מתקרבים ל-0 מימין, ℓnx שואף ל--∞, ולכן -4ℓnx → +∞, ואילו האיבר x שואף ל-0. לכן f(x) → +∞.
משוואת האסימפטוטה: x = 0 (ציר ה-y).

ג. f'(x) = 1 - 4x = x - 4x.
בתחום ההגדרה x > 0, ולכן המכנה חיובי תמיד וסימן הנגזרת הוא סימנו של x - 4:
בעבור 0 < x < 4 מתקיים f'(x) < 0, ולכן הפונקצייה יורדת ב-0 < x < 4;
בעבור x > 4 מתקיים f'(x) > 0, ולכן הפונקצייה עולה ב-x > 4.
(בדיקה: f'(3) = 1 - 43 ≈ -0.33 < 0 ואילו f'(5) = 1 - 0.8 = 0.2 > 0 ✓)
f'(x) = 0 כאשר x = 4, ואז
f(4) = 4 - 4ℓn4 = 4 - 5.5452 ≈ -1.545.
הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס, ולכן זו נקודת מינימום (4 , 4 - 4ℓn4), בקירוב (4 , -1.55).

ד. f(1) = 1 - 4ℓn1 = 1 - 0 = 1, ולכן נקודת ההשקה היא (1 , 1).
f'(1) = 1 - 41 = -3, ולכן שיפוע המשיק הוא -3.
y - 1 = -3(x - 1), ומכאן y = -3x + 4.
(בדיקה: ב-x = 1 מתקבל y = -3 + 4 = 1 ✓, וההשקה היא בתחום הירידה, ואכן השיפוע שלילי ✓)

ה. סקיצה: הגרף קיים רק מימין לציר ה-y. סמוך לאסימפטוטה x = 0 הוא בא מלמעלה (+∞), יורד לאורך כל התחום 0 < x < 4 עד לנקודת המינימום (4 , -1.55), ומשם עולה ללא הגבלה. מכיוון שהמינימום שלילי והפונקצייה שואפת ל-+∞ בשני קצות התחום, הגרף חוצה את ציר ה-x בשתי נקודות, אחת משמאל ל-x = 4 ואחת מימין לו.

ו. לשתי הנקודות אותו שיעור x, והקטע PQ אנכי, ולכן אורכו הוא הפרש שיעורי ה-y. בתחום שבו גרף g(x) נמצא מעל הישר, הנקודה P היא העליונה:
PQ = g(x) - x = 4ℓnx - x.
נשים לב: 4ℓnx - x = -(x - 4ℓnx) = -f(x).
כלומר אורך הקטע הוא הפונקצייה מן הסעיפים הקודמים בסימן הפוך, ולכן הוא מקבל את ערכו הגדול ביותר בדיוק היכן ש-f(x) מקבלת את ערכה הקטן ביותר - בנקודת המינימום שנמצאה בסעיף ג.
נאמת זאת גם בגזירה ישירה. נסמן h(x) = 4ℓnx - x, ואז h'(x) = 4x - 1 = 4 - xx.
h'(x) = 0 כאשר x = 4; בעבור 0 < x < 4 הנגזרת חיובית ובעבור x > 4 היא שלילית, ולכן זו נקודת מקסימום.
h(4) = 4ℓn4 - 4 = 8ℓn2 - 4 ≈ 5.5452 - 4 = 1.5452.
האורך הגדול ביותר של הקטע PQ הוא 4ℓn4 - 4 ≈ 1.55, והוא מתקבל ב-x = 4.
(בדיקה בשני ערכים סמוכים: h(3) = 4ℓn3 - 3 ≈ 1.394 ו-h(5) = 4ℓn5 - 5 ≈ 1.438, ושניהם קטנים מ-1.545 ✓)