מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: שלושת הווקטורים u, v ו-w מאונכים זה לזה בזוגות: u ל-v מפני שהזווית ∡BAC ישרה, ו-w לשניהם מפני ש-AD מאונך למישור הבסיס ולכן מאונך לכל ישר במישור הזה העובר דרך A. בגלל האנכיות הזאת אפשר להניח את שלושתם על שלושת הצירים, וכל אורך וכל זווית בפירמידה הופכים לחישוב בשיעורים. שימו לב לכיוון שבו רצה השאלה: הנפח אינו התוצאה אלא הנתון, ומתוכו נחלץ הגובה AD; ובסעיף האחרון משתמשים בנפח בפעם השנייה, הפוך - הפעם הפאה BDC משמשת בסיס, והנעלם הוא הגובה אליה. את שטח הפאה BDC אי אפשר לקבל מכפל אורכים ישיר, מפני שאין בה זווית ישרה: לכן קודם מוצאים את הזווית שבין שני המקצועות במכפלה סקלרית, ורק אז מפעילים את נוסחת השטח עם הסינוס של אותה זווית.

א. לפי חיסור וקטורים:
BC = AC - AB = v - u ;  DB = AB - AD = u - w ;  DC = AC - AD = v - w.

ב. הזווית ∡BAC ישרה, ולכן במשולש הבסיס ABC הצלעות AB ו-AC הן הניצבים, והשטח הוא מחצית מכפלתם:
S(ABC) = 12·6·8 = 24 סמ"ר.
המקצוע AD מאונך למישור הבסיס, ולכן AD הוא גובה הפירמידה. מנוסחת נפח הפירמידה:
V = 13·S(ABC)·AD  ⇐⇒  64 = 13·24·AD = 8·AD,
ומכאן AD = 8 ס"מ.

ג. כל מקצוע שיוצא מן הראשית לאורך ציר נותן לקודקוד שבקצהו שיעור אחד השווה לאורך המקצוע, ושני שיעורים השווים לאפס:
AB = 6 לאורך ציר ה-x, ולכן B(6 , 0 , 0); AC = 8 לאורך ציר ה-y, ולכן C(0 , 8 , 0); AD = 8 (מסעיף ב) לאורך ציר ה-z, ולכן D(0 , 0 , 8).

ד. הזווית ∡BDC היא הזווית שבין הווקטורים DB ו-DC היוצאים שניהם מן הקודקוד D:
DB = B - D = (6 , 0 , -8)  ,  DC = C - D = (0 , 8 , -8)
(מתאים לביטויים מסעיף א: u - w ו-v - w ✓).
|DB| = 36 + 64 = 100 = 10  ,  |DC| = 64 + 64 = 128 = 82 ≈ 11.314.
DB·DC = 6·0 + 0·8 + (-8)·(-8) = 64.
cos(∡BDC) = 6410·82 = 64802 = 225 ≈ 0.5657,
ולכן ∡BDC ≈ 55.6°.
(בדיקה בדרך אחרת: |BC| = 36 + 64 = 10 = |DB|, ולכן המשולש BDC שווה שוקיים. הגובה מן הקודקוד B אל הבסיס DC חוצה אותו, ולכן במשולש ישר הזווית שנוצר הניצב הסמוך לזווית הוא חצי הבסיס, 42: cos(∡BDC) = 4210 = 225 ✓)

ה. במשולש BDC ידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, ולכן:
sin(∡BDC) = 1 - cos²(∡BDC) = 1 - 825 = 175 ≈ 0.8246 (הזווית חדה, ולכן הסינוס חיובי).
S(BDC) = 12·|DB|·|DC|·sin(∡BDC) = 12·10·82·175 = 834,
כלומר S(BDC) = 834 ≈ 46.65 סמ"ר.

ו. אותה פירמידה, בסיס אחר: ניקח את הפאה BDC כבסיס. הגובה אל הבסיס הזה הוא בדיוק המרחק מן הקודקוד A אל מישור BDC, ונסמן אותו h. הנפח אינו תלוי בבחירת הבסיס, ולכן:
64 = 13·S(BDC)·h = 13·834·h,
h = 192834 = 2434 = 123417 ≈ 4.12.
המרחק מן הקודקוד A אל מישור BDC הוא כ-4.12 ס"מ.
(בדיקת סבירות: המרחק חייב להיות קטן מכל אחד משלושת המקצועות היוצאים מ-A אל קודקודי הפאה, כלומר קטן מ-6, מ-8 ומ-8, ואכן 4.12 < 6 ✓)

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: שני הנתונים על קצב הגידול אינם ברי-השוואה כמו שהם, מפני שהם נמסרו ביחידות זמן שונות: אחד לחודשיים והאחר לחודש. הצעד הראשון, ובלעדיו אין להתקדם, הוא לבחור יחידת זמן אחת - כאן החודש - ולתרגם אליה את שני הקצבים. תרגום כזה איננו חלוקה של האחוז בשניים: אם המספר מוכפל ב-q בכל חודש, אז בחודשיים הוא מוכפל ב-q בריבוע, ולכן מחלצים את q בשורש ריבועי. משיש בידינו מקדם חודשי לכל חווה, שתי החוות מדברות באותה שפה: מספר הדגים כעבור t חודשים הוא הכמות ההתחלתית כפול המקדם בחזקת t. אפשר אז ללכת גם קדימה בזמן, גם אחורה (חזקה שלילית), וגם להשוות בין השתיים. בסעיף ד כדאי להסתכל על היחס בין שתי הכמויות: הוא עצמו ביטוי מעריכי, שבסיסו הוא מנת שני המקדמים; מכיוון שהמנה קטנה מ-1, היחס יורד. בסעיף ה מחפשים את הרגע שבו היחס מגיע ל-1, וזו משוואה מעריכית הנפתרת בלוגריתם.

א. נסמן ב-q את המקדם החודשי של חווה א'. בחודשיים המספר מוכפל ב-q בריבוע, ולכן:
q² = 1.21, ומכיוון ש-q חיובי: q = 1.21 = 1.1.
q = 1.1 פירושו שנוספים 10%, כלומר מספר הדגים בחווה א' גדל ב-10% בכל חודש.
(שימו לב: 10% ולא 10.5%. בדיקה: 1.1² = 1.21 ✓)

ב. חודשיים לפני תחילת המדידה היה המספר קטן פי 1.21:
4,840 : 1.21 = 4,000.
חודשיים לפני תחילת המדידה היו בחווה א' 4,000 דגים.
(בדיקה: 4,000·1.1² = 4,000·1.21 = 4,840 ✓)

ג. חצי שנה היא 6 חודשים.
חווה א': 4,840·1.1⁶ = 4,840·1.771561 = 8,574.36, כלומר כ-8,574 דגים.
חווה ב': 12,000·1.06⁶ = 12,000·1.418519 = 17,022.23, כלומר כ-17,022 דגים.

ד. כעבור t חודשים יש בחווה א' 4,840·1.1^t דגים ובחווה ב' 12,000·1.06^t דגים. נסמן ב-R(t) את היחס ביניהם:
R(t) = 12,000·1.06^t4,840·1.1^t = 300121·(1.061.1)^t.
המקדם 300121 קבוע, ובסיס החזקה הוא 1.06 : 1.1 ≈ 0.9636, שהוא קטן מ-1. לכן (0.9636)^t הולך וקטן ככל ש-t גדל, ואיתו הולך וקטן גם היחס R(t). מש"ל.
(בדיקה: בתחילת המדידה R(0) = 12,000 : 4,840 ≈ 2.48, וכעבור חצי שנה R(6) = 17,022.23 : 8,574.36 ≈ 1.99 - אכן קטן יותר ✓)

ה. נדרוש שוויון בין שתי הכמויות:
4,840·1.1^t = 12,000·1.06^t.
נחלק את שני האגפים ב-4,840·1.06^t:
(1.11.06)^t = 12,0004,840 = 300121 ≈ 2.4793.
נפעיל לוגריתם טבעי על שני האגפים:
t·ℓn(1.1 : 1.06) = ℓn(2.4793)  ⇐⇒  t = ℓn(2.4793)ℓn(1.03774) = 0.907990.03704 ≈ 24.51.
מספר הדגים בשתי החוות ישתווה כעבור כ-24.5 חודשים מתחילת המדידה (במהלך החודש ה-25), ואז יהיו בכל אחת מהן כ-50,061 דגים.
(בדיקה: בתום החודש ה-24 יש בחווה א' כ-47,673 דגים ובחווה ב' כ-48,587 - חווה ב' עדיין גדולה יותר; בתום החודש ה-25 יש בחווה א' כ-52,440 ובחווה ב' כ-51,502 - חווה א' כבר עקפה ✓)

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: שני הנתונים נותנים שתי משוואות בשני נעלמים, a₁ ו-q. הנתון על הסכום האין־סופי הוא הנוח מבין השניים, מפני שאפשר לחלץ ממנו את a₁ ולהציב במשוואה השנייה; מה שמתקבל אינו משוואה ריבועית רגילה אלא הפרש ריבועים, (1 - q)(1 + q), ולכן הפתרון קצר ויש לו שני שורשים. שני השורשים חוקיים מבחינת ההתכנסות, ולכן דרוש נתון נוסף כדי לפסול אחד מהם - וזה תפקידו של סעיף ב. בסעיף ד לא צריך לחסר סכומים: הזנב שמתחיל באיבר הרביעי הוא בעצמו סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת, עם אותה מנה ועם איבר ראשון a₄. ובסעיף ה, המספר 96 אינו מתקבל לעולם אלא רק מתקרב אליו, ולכן השאלה היא כמה רחוק צריך ללכת כדי לרדת מתחת לפער נתון; המשוואה שמתקבלת נפתרת בחזקות של 2, בלי לוגריתם.

א. הסדרה מתכנסת, ולכן |q| < 1 ומתקיים S = a₁1 - q = 96, כלומר a₁ = 96(1 - q).
סכום שני האיברים הראשונים: a₁ + a₁q = a₁(1 + q) = 72.
נציב: 96(1 - q)(1 + q) = 72  ⇐⇒  1 - q² = 7296 = 0.75  ⇐⇒  q² = 0.25.
מכאן q = 0.5 או q = -0.5, ובשני המקרים |q| < 1 ✓
q = 0.5  ⇒  a₁ = 96·0.5 = 48;
q = -0.5  ⇒  a₁ = 96·1.5 = 144.
שני הזוגות האפשריים: (a₁ , q) = (48 , 0.5) או (a₁ , q) = (144 , -0.5).
(בדיקה לזוג השני: S = 1441.5 = 96 ✓ , 144 + 144·(-0.5) = 72 ✓)

ב. אם q = -0.5, סימני האיברים מתחלפים לסירוגין: 144 , -72 , 36 , -18 , ... - ובפרט האיבר השני שלילי. לכן הזוג הזה נפסל.
אם q = 0.5, כל איבר הוא a_n = 48·0.5^n-1 > 0 (מכפלה של מספר חיובי בחזקה של מספר חיובי), ולכן כל האיברים חיוביים.
הזוג המתאים הוא a₁ = 48 ו-q = 0.5.

ג. S₆ = a₁(1 - q⁶)1 - q = 48(1 - 164)0.5 = 96·6364 = 94.5.
S₆ = 94.5 (ואכן קטן מן הסכום האין־סופי 96 ✓).

ד. האיברים מן הרביעי ואילך מהווים בעצמם סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת, שמנתה q = 0.5 ואיברה הראשון הוא
a₄ = 48·0.5³ = 6.
לכן סכומם הוא 61 - 0.5 = 12.
סכום כל האיברים מן הרביעי ואילך הוא 12.
(בדיקה בדרך אחרת: S₃ = 48(1 - 0.125)0.5 = 84, ואכן 96 - 84 = 12 ✓)

ה. S_n = 48(1 - 0.5ⁿ)0.5 = 96(1 - 0.5ⁿ).
נדרוש 96(1 - 0.5ⁿ) > 95  ⇐⇒  1 - 0.5ⁿ > 9596  ⇐⇒  0.5ⁿ < 196  ⇐⇒  2ⁿ > 96.
2⁶ = 64 < 96 ואילו 2⁷ = 128 > 96, ולכן המספר הקטן ביותר הוא n = 7.
(בדיקה: S₇ = 96(1 - 1128) = 95.25 > 95, ואילו S₆ = 94.5 < 95 ✓)

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: הפונקצייה עצמה אינה נתונה - נתונה רק הנגזרת שלה - ולכן הסעיף הראשון הוא אינטגרציה. שני האיברים שבנגזרת שייכים לשני אינטגרלים מוכרים: האינטגרל של 1 הוא x, והאיבר השני הוא בדיוק הנגזרת של ℓn(2x - 1), מפני שגזירת לוגריתם של ביטוי לינארי מחזירה את מקדם ה-x אל המונה. האינטגרציה מחזירה משפחה שלמה של פונקציות הנבדלות בקבוע, ונקודת החיתוך הנתונה היא שבוחרת מתוכה פונקצייה אחת. כל שאר החקירה יושבת על עובדה אחת ויחידה: בתחום ההגדרה המכנה 2x - 1 חיובי, ולכן השבר שבנגזרת חיובי, ולכן f'(x) גדולה מ-1 בכל נקודה. מכאן נובע הכול בזה אחר זה: הפונקצייה עולה ממש (סעיף ב); פונקצייה עולה ממש מקבלת כל ערך לכל היותר פעם אחת, ולכן החיתוך עם הציר יחיד (סעיף ד); ושיפוע של משיק אינו יכול לרדת עד 1 (סעיף ו).

א. נחשב פונקצייה קדומה. בתחום x > 0.5:
f(x) = ∫(1 + 22x - 1)dx = x + ℓn(2x - 1) + c
(שכן [ℓn(2x - 1)]' = 22x - 1).
נציב את הנקודה (1 , 0): 1 + ℓn(2·1 - 1) + c = 0, וכיוון ש-ℓn1 = 0 מתקבל 1 + c = 0, כלומר c = -1.
f(x) = x + ℓn(2x - 1) - 1  (בתחום x > 0.5).
(בדיקה: גזירה חזרה נותנת 1 + 22x - 1 ✓ , והצבה x = 1 נותנת 1 + 0 - 1 = 0 ✓)

ב. בתחום ההגדרה 2x - 1 > 0, ולכן השבר 22x - 1 חיובי. מכאן:
f'(x) = 1 + 22x - 1 > 1 > 0  בכל נקודה בתחום.
(אפשר גם לכתוב במכנה משותף: f'(x) = 2x + 12x - 1, ובתחום ההגדרה גם המונה וגם המכנה חיוביים.)
נגזרת חיובית בכל התחום פירושה שהפונקצייה עולה ממש בכל תחום הגדרתה.
נקודת קיצון מחייבת f'(x) = 0, אך הראינו כי f'(x) > 1 תמיד, ולכן המשוואה הזאת חסרת פתרון: לגרף הפונקצייה אין נקודות קיצון.

ג. כאשר x שואף ל-0.5 מימין, 2x - 1 שואף ל-0 מלמעלה, ולכן ℓn(2x - 1) שואף ל--∞; האיבר x - 1 שואף בינתיים אל -0.5 בלבד, ולכן f(x) שואפת ל--∞.
משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x היא x = 0.5.
(בדיקה: f(0.51) = 0.51 + ℓn(0.02) - 1 ≈ -4.40 , f(0.5001) ≈ -9.02 - צולל ✓)

ד. לפי הנתון (ולפי הבדיקה שבסעיף א) f(1) = 0, כלומר (1 , 0) אכן נקודת חיתוך עם ציר ה-x.
לפי סעיף ב הפונקצייה עולה ממש בכל תחום הגדרתה, ופונקצייה עולה ממש מקבלת כל ערך לכל היותר פעם אחת. לכן את הערך 0 היא מקבלת פעם אחת בלבד, ו(1 , 0) היא נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה-x. מש"ל.
מאותה מונוטוניות נובעים גם הסימנים:
בעבור 0.5 < x < 1 מתקיים f(x) < f(1) = 0, כלומר הפונקצייה שלילית;
בעבור x > 1 מתקיים f(x) > f(1) = 0, כלומר הפונקצייה חיובית.
(בדיקה: f(0.75) = 0.75 + ℓn0.5 - 1 ≈ -0.94 ואילו f(2) = 2 + ℓn3 - 1 ≈ 2.10 ✓)

ה. הסקיצה: כל הגרף נמצא מימין לישר x = 0.5. סמוך לישר הזה הגרף צולל אל -∞, ומשם הוא עולה ברציפות ובלי לעצור: אין לו נקודת קיצון ואין לו קטע ירידה. הוא חוצה את ציר ה-x בנקודה (1 , 0) - שלילי משמאלה, חיובי מימינה - וממשיך לעלות ללא גבול. אין לגרף אסימפטוטה המאונכת לציר ה-y, מפני שהערכים אינם מתייצבים אלא גדלים ללא גבול.
נקודות עזר לסרטוט: (0.75 , -0.94) , (1 , 0) , (1.5 , 1.19) , (2 , 2.10) , (4 , 4.95).

ו. (1) נדרוש ששיפוע המשיק, שהוא ערך הנגזרת, יהיה 2:
1 + 22x - 1 = 2  ⇐⇒  22x - 1 = 1  ⇐⇒  2x - 1 = 2  ⇐⇒  x = 1.5.
שיעור ה-y: f(1.5) = 1.5 + ℓn(2·1.5 - 1) - 1 = 0.5 + ℓn2 ≈ 1.19.
נקודת ההשקה: (1.5 , 0.5 + ℓn2) ≈ (1.5 , 1.19).
משוואת המשיק: y - (0.5 + ℓn2) = 2(x - 1.5), ולכן y = 2x - 2.5 + ℓn2 ≈ 2x - 1.81.
(בדיקה: הצבת x = 1.5 במשיק נותנת 3 - 2.5 + ℓn2 = 0.5 + ℓn2, בדיוק f(1.5) ✓)
(2) ישר המקביל לישר y = x שיפועו 1, ולכן נדרוש f'(x) = 1:
1 + 22x - 1 = 1  ⇐⇒  22x - 1 = 0.
שבר מתאפס רק כאשר המונה מתאפס, והמונה כאן הוא 2 - קבוע ושונה מאפס. למשוואה אין אפוא פתרון.
יתר על כן: בתחום ההגדרה 2x - 1 > 0, ולכן השבר חיובי ממש, ולכן f'(x) > 1 בכל נקודה על הגרף. כלומר שיפועו של כל משיק לגרף גדול מ-1, ולכן אין משיק המקביל לישר y = x. מש"ל.
(בדיקה מספרית: f'(0.75) = 5 , f'(1) = 3 , f'(1.5) = 2 , f'(4) ≈ 1.29 , f'(100) ≈ 1.01 - כולם גדולים מ-1, מתקרבים אליו ולעולם אינם מגיעים ✓)

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: שתי הפונקציות הן אותה פונקצייה מעריכית, האחת עולה והאחרת יורדת, ולכן נקודת החיתוך נמצאת בלי לוגריתם כלל: אם שתי חזקות של אותו בסיס שוות זו לזו, גם המעריכים שווים. אותה תכונה עצמה - שהפונקצייה המעריכית עולה - היא כל ההוכחה שבסעיף ב, וההוכחה הזאת היא שקובעת מי מן השניים "עליון" באינטגרל של סעיף ד; בלעדיה השטח היה מתקבל בסימן הפוך. בשני סעיפי השטח משתמשים באותה פונקצייה קדומה אחת: ∫e^2-xdx = -e^2-x + c (גזרו כדי לוודא). ההבדל בין שני הסעיפים הוא רק מיהו הגרף התחתון - הפונקצייה השנייה בסעיף ד, והמשיק בסעיף ה. שימו לב שבשני המקרים הגבולות הם x = 0 (ציר ה-y) ו-x = 1 (הנקודה מסעיף א, שהיא גם נקודת ההשקה).

א. נשווה: e^x = e^2-x. הפונקצייה המעריכית היא חד־חד־ערכית, ולכן x = 2 - x, כלומר x = 1.
שיעור ה-y: f(1) = e¹ = e (וגם g(1) = e^2-1 = e ✓).
נקודת החיתוך: (1 , e) ≈ (1 , 2.72).

ב. הפונקצייה e^t היא פונקצייה עולה, ולכן אי-השוויון בין החזקות שקול לאי-השוויון בין המעריכים:
e^x < e^2-x  ⇐⇒  x < 2 - x  ⇐⇒  2x < 2  ⇐⇒  x < 1.
כל המעברים הם שקילויות, ולכן לכל x < 1 אכן מתקיים f(x) < g(x). מש"ל.
(בדיקה: ב-x = 0 מתקבל f(0) = 1 ואילו g(0) = e² ≈ 7.39 ✓)

ג. g'(x) = -e^2-x (נגזרת של e בחזקת ביטוי לינארי היא הפונקצייה עצמה כפול נגזרת המעריך).
g'(1) = -e¹ = -e, ונקודת ההשקה היא (1 , e):
y - e = -e(x - 1), ולכן y = -e·x + 2e (בקירוב y = -2.72x + 5.44).
חיתוך עם ציר ה-x: 0 = -e·x + 2e  ⇐⇒  x = 2, כלומר (2 , 0).

ד. התחום נחסם משמאל בציר ה-y (כלומר x = 0) ומימין בנקודת החיתוך (כלומר x = 1). לפי סעיף ב, בכל התחום 0 ≤ x < 1 הגרף של g נמצא מעל הגרף של f, ולכן:
S = ∫₀¹(e^2-x - e^x)dx = [-e^2-x - e^x]₀¹.
הצבת הגבול העליון: -e¹ - e¹ = -2e.
הצבת הגבול התחתון: -e² - e⁰ = -e² - 1.
S = -2e - (-e² - 1) = e² - 2e + 1 = (e - 1)².
S = (e - 1)² ≈ 2.95 יחידות שטח.

ה. המשיק נוגע בגרף g בנקודה (1 , e), ולכן גם כאן הגבולות הם x = 0 ו-x = 1.
מי למעלה? נתבונן בהפרש d(x) = g(x) - (-e·x + 2e). מתקיים d(1) = 0, וכן d'(x) = -e^2-x + e. בעבור x < 1 מתקיים 2 - x > 1 ולכן e^2-x > e, כלומר d'(x) < 0 - הפונקצייה d יורדת עד x = 1. לכן בכל 0 ≤ x < 1 מתקיים d(x) > d(1) = 0, כלומר גרף g נמצא מעל המשיק.
S = ∫₀¹(e^2-x + e·x - 2e)dx = [-e^2-x + e·x²2 - 2e·x]₀¹.
הצבת הגבול העליון: -e + e2 - 2e = -2.5e.
הצבת הגבול התחתון: -e² + 0 - 0 = -e².
S = -2.5e - (-e²) = e² - 2.5e ≈ 7.389 - 6.796 = 0.593.
S = e² - 2.5e ≈ 0.59 יחידות שטח.
(בדיקת סבירות: השטח הזה חייב להיות קטן מן השטח שבסעיף ד, שכן המשיק עובר מעל הגרף של f בקטע 0 ≤ x < 1 - למשל ב-x = 0 ערכו 2e ≈ 5.44 לעומת f(0) = 1 - ואכן 0.59 < 2.95 ✓)