מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: הנתון על האיבר החמישי הוא יחס בין שני איברים, ובסדרה הנדסית יחס כזה תלוי במנה בלבד - ולכן הוא נותן משוואה ב-q לבדה, בלי לדעת את a1. הנתון שכל האיברים חיוביים מכריע בין שני הערכים של המנה, וההפרש בין האיבר השביעי לשישי נותן משוואה אחת ב-a1, ומשם אפשר לחשב את סכום הסדרה A ולהסיק ממנו את סכום הסדרה B. בסעיף ד הנתון b1 = 13d הופך את נוסחת הסכום של סדרה חשבונית למשוואה בנעלם אחד, ההפרש d.
א. לפי נוסחת האיבר הכללי: a5 = a1·q⁴. מהנתון: a1·q⁴ = 16·a1, ומכיוון ש-a1 ≠ 0 (איבר בסדרה הנדסית): q⁴ = 16. מכאן q² = 4 (ריבוע אינו שלילי), ולכן q = 2 או q = -2.

ב. כל האיברים חיוביים, ולכן המנה חיובית: q = 2 (בעבור q = -2 הסימנים מתחלפים). ההפרש בין האיברים: a7 - a6 = a1·q⁶ - a1·q⁵ = a1·q⁵·(q - 1) = a1·32·1 = 32·a1. מהנתון 32·a1 = 96, ולכן a1 = 3.

ג. סכום הסדרה ההנדסית: S_A = a1·q¹² - 1q - 1 = 3·4096 - 11 = 3·4095 = 12,285. סכום הסדרה A גדול פי 35 מסכום הסדרה B, ולכן: S_B = 12,28535 = 351. S_B = 351 (בדיקה: 35·351 = 12,285 ✓).

ד. (1) נסמן את הפרש הסדרה B ב-d. מהנתון: b1 = 13d. לפי נוסחת הסכום של סדרה חשבונית: S_B = (272)·(2b1 + 26d) = 27·(b1 + 13d) = 27·(13d + 13d) = 27·26d = 702d. מ-702d = 351 מתקבל d = 0.5.
(2) b1 = 13·0.5 = 6.5, והאיבר האחרון (ה-27): b27 = b1 + 26d = 6.5 + 26·0.5 = 6.5 + 13 = 19.5. b27 = 19.5 (בדיקה: S_B = 27·b1 + b272 = 27·262 = 351 ✓).

ה. (1) מנת הסדרה A היא q = 2 (סעיף ב), ולכן מנת הסדרה C היא 0.5, והאיבר הראשון שלה c1 = a1 = 3. מכיוון ש-|0.5| < 1, הסדרה מתכנסת ויש לה סכום אין-סופי: S = c11 - 0.5 = 30.5 = 6. S_C = 6
(2) האיברים שבמקומות האי-זוגיים, c1 , c3 , c5 , ..., הם סדרה הנדסית אין-סופית שהאיבר הראשון שלה 3 והמנה שלה 0.5² = 0.25. סכומה: 31 - 0.25 = 30.75 = 4. הסכום הוא 4 (בדיקה: האיברים שבמקומות הזוגיים מתחילים ב-1.5 באותה מנה, וסכומם 1.50.75 = 2, ו-4 + 2 = 6 ✓).

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: שלושת הווקטורים שבחרנו מאונכים זה לזה בזוגות - u ל-v מפני שהזווית ∡DAB ישרה, ו-w לשניהם מפני שהמנסרה ישרה ולכן המקצוע הצדדי מאונך למישור הבסיס. לכן כל מכפלה סקלרית בין שניים שונים מהם מתאפסת, וריבוע האורך של כל צירוף שלהם מצטמצם לסכום של שלושה ריבועים. זה מה שהופך את סעיף ב למשוואה פשוטה בנעלם אחד. שימו לב שהטרפז אינו מוסיף וקטור חדש: הצלע DC מקבילה ל-AB, ולכן היא כפולה של u - והמספר k הוא הנעלם היחיד בחצי הראשון של השאלה. בסעיף ד(1) לשני המשולשים ABD ו-BCD יש אותו גובה בדיוק - המרחק בין שתי הצלעות המקבילות - ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים, כלומר k עצמו, בלי לחשב אף שטח. ובסעיף ד(2): אין להסיק מן הסרטוט ששני האלכסונים נחתכים. מוכיחים זאת, ורק אז מחשבים את הזווית במכפלה סקלרית.
א. הצלע DC מקבילה ל-AB, ולפי הנתון DC = k·u. מכאן: AC = AD + DC = v + k·u.
המנסרה היא מנסרה, ולכן כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים: CC' = DD' = AA' = w. לכן:
AC' = AC + CC' = k·u + v + w.
כמו כן BD = AD - AB = v - u, ולכן:
BD' = BD + DD' = -u + v + w.

ב. נתרגם לשפת מכפלות סקלריות את שתי ההנחות:
הזווית ∡DAB ישרה, ולכן u·v = 0.
המנסרה ישרה, ולכן AA' מאונך למישור הבסיס ובפרט לכל וקטור המונח בו: w·u = 0 וגם w·v = 0.
נחשב את ריבוע האורך של האלכסון: |AC'|² = (k·u + v + w)·(k·u + v + w) = k²|u|² + |v|² + |w|² (כל שלוש המכפלות המעורבות מתאפסות).
|AC'|² = 144k² + 64 + 144 = 144k² + 208.
נתון |AC'| = 17, ולכן 144k² + 208 = 289, כלומר 144k² = 81 ומכאן k² = 81144 = 916.
נתון 0 < k < 1, ולכן נבחר את הפתרון החיובי: k = 34.
|DC| = k·|u| = 34·12 = 9, כלומר DC = 9 ס"מ.

ג. (1) AB מונח על החלק החיובי של ציר ה-x ואורכו 12, ולכן B(12 , 0 , 0).
AD מונח על החלק החיובי של ציר ה-y ואורכו 8, ולכן D(0 , 8 , 0).
AA' מונח על החלק החיובי של ציר ה-z ואורכו 12, ולכן A'(0 , 0 , 12).
(2) הקודקוד C מתקבל מן הקודקוד D בהוספת הווקטור DC = 34·u = (9 , 0 , 0):
C(9 , 8 , 0), ומכאן C' = C + w, כלומר C'(9 , 8 , 12).
(בדיקה מול הנתון בסעיף ב: |AC'| = 81 + 64 + 144 = 289 = 17 ✓)

ד. (1) במשולש ABD הזווית שבין AB ובין AD ישרה, ולכן שתי הצלעות האלה הן הבסיס והגובה: S = 12·|AB|·|AD| = 12·12·8 = 48 סמ"ר.
במשולש BCD ניקח את DC כבסיס. הישר DC מקביל לישר AB, ולכן המרחק מן הנקודה B אל הישר DC הוא המרחק בין שני הישרים המקבילים, כלומר |AD| = 8 - בדיוק אותו גובה כמו במשולש ABD (שם הבסיס הוא AB והגובה AD).
שני המשולשים חולקים גובה, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים: S(BCD)S(ABD) = |DC||AB| = k = 34.
S(BCD) = 34S (במספרים: 34·48 = 36 סמ"ר).
שטח הבסיס הוא סכום שני המשולשים: S + 34S = 74S = 84 סמ"ר (בדיקה בנוסחת שטח הטרפז: 12 + 92·8 = 84 ✓).
גובה המנסרה הוא |w| = 12 ס"מ, ולכן V = 84·12 = 1,008. V = 1,008 סמ"ק.
(2) D'C' הוא המקצוע המקביל ל-DC ושווה לו (פאה צדדית של מנסרה היא מקבילית), ולכן D'C' = DC = k·u, ואילו AB = u.
שני הווקטורים AB ו-D'C' הם כפולות של אותו וקטור, ולכן הישרים AB ו-D'C' מקבילים. שני ישרים מקבילים קובעים מישור אחד, והנקודות A ו-B מונחות על הראשון והנקודות D' ו-C' על השני, ולכן ארבע הנקודות A, B, C' ו-D' נמצאות במישור אחד.
במישור הזה ABC'D' הוא טרפז (|AB| = 12 ואילו |D'C'| = 9, כלומר הצלעות המקבילות אינן שוות), ו-AC' ו-BD' הם אלכסוניו - ולכן הם אכן נחתכים, והזווית שביניהם מוגדרת.
נחשב אותה בשיעורים: D' = D + w = (0 , 8 , 12), ולכן AC' = (9 , 8 , 12) ו-BD' = D' - B = (-12 , 8 , 12) (מתאים לביטוי מסעיף א: -u + v + w ✓).
AC'·BD' = 9·(-12) + 8·8 + 12·12 = -108 + 64 + 144 = 100.
|AC'| = 17  ,  |BD'| = 144 + 64 + 144 = 352 ≈ 18.762.
cos α = 10017·18.762 = 100318.95 ≈ 0.3135.
המכפלה הסקלרית חיובית, ולכן הזווית שהתקבלה היא כבר הזווית החדה שבין האלכסונים: α ≈ 71.7°.

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: גדילה באחוז קבוע בכל חודש היא כפל חוזר במקדם קבוע, ולכן מספר המשתמשים כעבור t חודשים הוא המספר ההתחלתי כפול המקדם בחזקת t. בסעיף א אין צורך לדעת אף אחד משני הגדלים האלה: מוציאים גורם משותף ורואים שהתוספת בכל שישה חודשים היא התוספת הקודמת כפול המקדם בחזקת 6 - ומספר זה גדול מ-1 מפני שמדובר בגדילה. זו הכרעה מבנית, והיא תקפה בכל אחוז גידול ובכל מספר התחלתי. בסעיף ב לא נתון המספר ההתחלתי, ודווקא זה מה שפותר את הסעיף: מחלקים מדידה במדידה, המספר ההתחלתי מצטמצם, ונשארת חזקה של המקדם שהמעריך שלה הוא הפרש הזמנים בלבד. רק אחר כך, בסעיף ג, אפשר לחזור אחורה ולחלץ את המספר ההתחלתי. בסעיף ד יש שני שלבים נפרדים - עלייה ואחריה ירידה - ולכן פותרים בשני שלבים: קודם מחשבים את המספר בסוף שלב העלייה, ואז פותרים משוואה מעריכית בעזרת לוגריתם.
א. נסמן ב-N₀ את מספר המשתמשים הפעילים בתחילת המדידה, וב-q את המקדם החודשי. הגידול הוא באחוז חיובי קבוע, ולכן q > 1, ומספר המשתמשים כעבור t חודשים הוא N(t) = N₀·q^t.
התוספת בשישה החודשים הראשונים: N(6) - N(0) = N₀·q⁶ - N₀ = N₀·(q⁶ - 1).
התוספת בשישה החודשים שאחריהם: N(12) - N(6) = N₀·q¹² - N₀·q⁶ = N₀·q⁶·(q⁶ - 1) = q⁶·[N(6) - N(0)].
כלומר התוספת השנייה שווה לתוספת הראשונה כפול q⁶. מכיוון ש-q > 1 מתקיים q⁶ > 1, והתוספת הראשונה חיובית - ולכן התוספת השנייה גדולה ממנה.
טענה II נכונה. (שימו לב: ההכרעה אינה תלויה לא באחוז הגידול ולא במספר המשתמשים ההתחלתי, ולכן אפשר להכריע בה עוד לפני סעיף ב.)

ב. משתי המדידות: N₀·q² = 23,328  וגם  N₀·q⁸ = 37,019.
נחלק את המשוואה השנייה בראשונה. N₀ מצטמצם, ובאגף שמאל נשארת חזקה שהמעריך שלה הוא הפרש הזמנים בלבד:
q⁶ = 37,01923,328 ≈ 1.58689.
נוציא שורש שישי: q = ⁶1.58689 ≈ 1.0800.
מקדם 1.08 פירושו תוספת של 0.08 מן הערך הקודם, כלומר מספר המשתמשים הפעילים גדל ב-8% בכל חודש.
(המדידה השנייה נתונה בעיגול למספר שלם; החישוב המדויק נותן q = 1.08000.)

ג. נציב בחזרה במדידה הראשונה: N₀ = 23,328q² = 23,3281.08² = 23,3281.1664 = 20,000.
בתחילת המדידה היו באפליקציה 20,000 משתמשים פעילים.
(בדיקה מול המדידה השנייה: 20,000·1.08⁸ = 20,000·1.85093 = 37,018.6, ובעיגול 37,019 ✓)

ד. שלב א - סוף העלייה. כעבור 12 חודשים: N(12) = 20,000·1.08¹² = 20,000·2.51817 = 50,363.4 משתמשים.
שלב ב - הירידה. ירידה של 6% בכל חודש היא כפל ב-1 - 0.06 = 0.94. נסמן ב-s את מספר החודשים שעברו מן החודש ה-12, ונדרוש שמספר המשתמשים ישוב להיות 20,000:
50,363.4·0.94^s = 20,000, ולכן 0.94^s = 20,00050,363.4 ≈ 0.39711.
נפתור בעזרת לוגריתם: s = ℓn(0.39711)ℓn(0.94) = -0.92354-0.06188 ≈ 14.93.
הזמן נמדד מתחילת המדידה, ולכן מוסיפים את 12 חודשי העלייה: t = 12 + 14.93 = 26.93.
כעבור כ-26.9 חודשים מתחילת המדידה (כלומר כ-14.9 חודשים לאחר תחילת הירידה).
(בדיקה, עם הערך הלא-מעוגל s = 14.9257: 50,363.4·0.94^14.9257 = 50,363.4·0.39711 = 20,000.0 ✓; חודש לפני כן, ב-s = 13.93: 50,363.4·0.94^13.93 = 21,271 - עדיין מעל 20,000 ✓)

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: הגורם e^-x חיובי תמיד ואינו מתאפס אף פעם, ולכן כל שאלה כאן על אפסים או על נקודות קיצון מוכרעת על ידי הגורם הליניארי בלבד. כך מתקבל הפרמטר a מיד מהנתון על נקודת החיתוך עם ציר ה-x, וכך גם נקודת הקיצון, אחרי גזירה בכלל המכפלה והוצאת הגורם המעריכי כגורם משותף. את האסימפטוטה האופקית קובע הגורם המעריכי, שדועך אל אפס מהר יותר משהגורם הליניארי גדל. בסעיף ד משוואת המשיק דורשת רק נקודה ושיפוע, ושניהם כבר בידינו: הנקודה מסעיף ב(1) והשיפוע מהצבה בנגזרת שכבר חושבה. בסעיף ה אין חישוב חדש כלל: קוראים מן הסקיצה שבסעיף ג(2) כמה פעמים ישר אופקי פוגש את הגרף, ענף יורד וענף עולה בנפרד.
א. הגרף חותך את ציר ה-x בנקודה שבה x = 2, ולכן f(2) = 0: (2a + 4)·e^-2 = 0. מכיוון ש-e^-2 ≠ 0, נשאר 2a + 4 = 0, ולכן a = -2. מכאן: f(x) = (4 - 2x)·e^-x.

ב. (1) חיתוך עם ציר ה-y (x = 0): f(0) = 4·e⁰ = 4, כלומר (0 , 4). חיתוך עם ציר ה-x: e^-x > 0 תמיד, ולכן 4 - 2x = 0, כלומר x = 2: הנקודה (2 , 0).
(2) גוזרים לפי כלל המכפלה: f'(x) = -2·e^-x + (4 - 2x)·(-e^-x) = e^-x·(-2 - 4 + 2x) = (2x - 6)·e^-x. e^-x > 0 תמיד, ולכן f'(x) = 0 רק כאשר 2x - 6 = 0, כלומר x = 3. בעבור x < 3 מתקיים f' < 0 (הפונקצייה יורדת), ובעבור x > 3 מתקיים f' > 0 (עולה) - נקודת מינימום. ערך הפונקצייה: f(3) = (4 - 6)·e^-3 = -2e³ ≈ -0.0996. נקודת מינימום: (3 , -2e³).

ג. (1) כאשר x → ∞, הגורם המעריכי e^-x שואף לאפס מהר יותר משהגורם הליניארי גדל, ולכן f(x) → 0: האסימפטוטה האופקית היא y = 0 (בעבור x > 2 הפונקצייה שלילית, ולכן הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה). כאשר x → -∞ מתקיים 4 - 2x → ∞ וגם e^-x → ∞, ולכן f(x) → ∞ - אין אסימפטוטה נוספת.
(2) סקיצה: הגרף יורד מ-+∞ משמאל, עובר דרך (0 , 4), חותך את ציר ה-x ב-(2 , 0), ממשיך לרדת אל המינימום (3 , -2e³), ואז עולה ומתקרב מלמטה אל האסימפטוטה y = 0.

ד. נקודת החיתוך עם ציר ה-x היא (2 , 0) (סעיף ב(1)). השיפוע: f'(2) = (2·2 - 6)·e^-2 = -2e^-2 = -2e².
משוואת המשיק: y = -2e²·(x - 2) + 0, כלומר y = -2e²x + 4e² (בקירוב: y ≈ -0.271x + 0.541).

ה. נקודה משותפת לישר y = c ולגרף היא פתרון של f(x) = c. לפי סעיפים ב(2) ו-ג(2) הגרף בנוי משני ענפים: ענף יורד בתחום x ≤ 3, שיורד ברציפות מ-+∞ עד ערך המינימום -2e³; וענף עולה בתחום x ≥ 3, שעולה ברציפות מערך המינימום עד 0, בלי להגיע אל 0 לעולם.
נספור, ענף אחר ענף:
הענף היורד מקבל כל ערך c ≥ -2e³ בדיוק פעם אחת.
הענף העולה מקבל בדיוק את הערכים שבתחום -2e³ ≤ c < 0, כל אחד מהם פעם אחת.
שני הענפים נפגשים בנקודת המינימום עצמה, ולכן בעבור c = -2e³ יש נקודה משותפת אחת בלבד (המינימום).
סיכום: c < -2e³ - אין נקודות משותפות; c = -2e³ - אחת; -2e³ < c < 0 - שתיים; c ≥ 0 - אחת (רק על הענף היורד).
בדיוק שתי נקודות משותפות מתקבלות בעבור -2e³ < c < 0, כלומר בקירוב -0.0996 < c < 0.

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: בסעיף א אין צורך בנוסחה כלל, אלא רק בקשר שבין סימן הנגזרת למונוטוניות: במקום שבו הפונקצייה יורדת הנגזרת שלילית, במקום שבו היא עולה הנגזרת חיובית, ובנקודת הקיצון הנגזרת מתאפסת - ולכן הגרף שחותך את ציר ה-x בדיוק מתחת לנקודת הקיצון של הגרף האחר הוא גרף הנגזרת. כדאי לבדוק גם את הכיוון ההפוך, כדי לפסול את האפשרות השנייה. משהנוסחה ניתנת, שאר השאלה נשענת על שני מהלכים בלבד: גזירה בכלל המכפלה, הנותנת את הביטוי הפשוט f'(x) = ℓnx - 2, שממנו נקראים תחומי העלייה והירידה, הערך הקטן ביותר והאסימפטוטה של הנגזרת; והוצאת גורם משותף, x·(ℓnx - 3), שנותנת את האפס של f עצמה. שימו לב שבסעיף ב(2) לא די בזיהוי מינימום מקומי: הנימוק שזהו הערך הקטן ביותר בכל התחום נשען על כך שהפונקצייה יורדת לפניו ועולה אחריו. בסעיף ה הפונקצייה f היא, מעצם הגדרתה, פונקצייה קדומה של f', ולכן את השטחים מקבלים כהפרש ערכים של f בלבד, בלי לבצע אינטגרציה חדשה; בתחום שבו הנגזרת שלילית לוקחים את ההפרש בסימן הפוך.
א. גרף I יורד בתחילה, מגיע לנקודת מינימום ואז עולה. גרף II עולה בכל התחום ואין לו נקודת קיצון.
נניח שגרף II הוא גרף הנגזרת: אכן גרף II שלילי (מתחת לציר ה-x) בדיוק בתחום שבו גרף I יורד, חיובי בדיוק בתחום שבו גרף I עולה, וחותך את ציר ה-x בדיוק בשיעור ה-x של נקודת המינימום של גרף I - שם הנגזרת מתאפסת. הכול מתאים.
נבדוק את האפשרות ההפוכה ונפסול אותה: אילו גרף I היה גרף הנגזרת, אזי בתחום שבו גרף I שלילי הייתה הפונקצייה שגרף II מתאר חייבת לרדת - אך גרף II עולה בכל תחומו. סתירה.
גרף II הוא גרף פונקציית הנגזרת f'(x), וגרף I הוא גרף הפונקצייה f(x).

ב. (1) גוזרים לפי כלל המכפלה: (x·ℓnx)' = 1·ℓnx + x·1x = ℓnx + 1, ולכן f'(x) = ℓnx + 1 - 3 = ℓnx - 2.
f'(x) < 0 כאשר ℓnx < 2, כלומר כאשר 0 < x < e²; ו-f'(x) > 0 כאשר x > e².
הפונקצייה יורדת בתחום 0 < x < e² ועולה בתחום x > e² (וזו בדיוק ההתנהגות שרואים בגרף I).
(2) הפונקצייה יורדת עד x = e² ועולה אחריו, ולכן הערך שהיא מקבלת שם קטן מכל ערך אחר שלה בתחום ההגדרה כולו - זהו הערך הקטן ביותר, ולא רק מינימום מקומי.
f(e²) = e²·ℓn(e²) - 3e² = 2e² - 3e² = -e².
הערך הקטן ביותר הוא -e² ≈ -7.39, והוא מתקבל ב-x = e² ≈ 7.39.

ג. פותרים f(x) = 0: x·ℓnx - 3x = x·(ℓnx - 3) = 0. בתחום ההגדרה x > 0, ולכן x ≠ 0 ונשאר ℓnx = 3, כלומר x = e³ ≈ 20.09. נקודת החיתוך: (e³ , 0).

ד. פונקציית הנגזרת היא f'(x) = ℓnx - 2. כאשר x → 0⁺ מתקיים ℓnx → -∞, ולכן f'(x) → -∞. האסימפטוטה האנכית של f'(x) היא x = 0 (כלומר ציר ה-y עצמו) - וזה מתיישב עם ירידתו של גרף II אל מתחת לציר בקרבת ציר ה-y.

ה. הפונקצייה f(x) היא, מעצם ההגדרה, פונקצייה קדומה של f'(x), ולכן כל שטח מתקבל כהפרש ערכים של f.
(1) גרף f'(x) = ℓnx - 2 חותך את ציר ה-x כאשר ℓnx = 2, כלומר ב-x = e² (סעיף ב), ובעבור e² < x ≤ e³ הנגזרת חיובית. לכן השטח משתרע מ-x = e² עד x = e³: S = f(e³) - f(e²) = 0 - (-e²) = e² ≈ 7.39. S = e².
(2) בעבור 1 ≤ x < e² מתקיים ℓnx < 2, ולכן f'(x) < 0 (למשל f'(1) = -2) - השטח נמצא מתחת לציר, ולכן לוקחים את ההפרש בסימן הפוך: S = -(f(e²) - f(1)).
מחשבים: f(1) = 1·ℓn1 - 3·1 = -3 ו-f(e²) = -e², ולכן S = -(-e² + 3) = e² - 3 ≈ 4.39. S = e² - 3.