מתמטיקה

פתרון סעיף א הדרך: השוויון אמור להתקיים בעבור כל המספרים הטבעיים, ובדיקה של מקרה אחר מקרה לא תסתיים לעולם; לכן מוכיחים באינדוקצייה. מאמתים את המקרה n = 1, מניחים שהשוויון נכון בעבור n מסוים ומוסיפים לשני האגפים את האיבר הבא, (n + 1)(3n + 4). כל העבודה בצעד היא הוצאת הגורם המשותף (n + 1), ואז הסוגר שנשאר מתפרק לריבוע שלם - וזו בדיוק צורת אגף ימין בעבור n + 1. בסעיף (2) הסכום המבוקש אינו הסכום הנתון, אבל גם אינו חדש לגמרי: כותבים את האיבר הכללי שלו, ומגלים שהוא כפולה קבועה של האיבר הכללי של הסכום שהוכחנו. לכן מוציאים את הקבוע מחוץ לסכום ומציבים בנוסחה פעם אחת בלבד - הזיהוי הזה הוא כל השאלה.
(1) בסיס האינדוקצייה (n = 1): אגף שמאל 1·(3·1 + 1) = 1·4 = 4; אגף ימין 1·(1 + 1)² = 1·4 = 4. השוויון מתקיים.
צעד האינדוקצייה: נניח כי בעבור n מסוים מתקיים 1·4 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)², ונראה שהוא נכון גם בעבור n + 1.
האיבר שנוסף לסכום, האיבר ה־(n + 1), הוא (n + 1)·[3(n + 1) + 1] = (n + 1)(3n + 4), ולכן:
n(n + 1)² + (n + 1)(3n + 4) = (n + 1)·[n(n + 1) + 3n + 4] = (n + 1)(n² + 4n + 4)
= (n + 1)(n + 2)²,
וזהו בדיוק אגף ימין של השוויון בעבור n + 1, שכן (n + 1) + 1 = n + 2. הבסיס נכון והצעד הוכח, ולכן לפי עקרון האינדוקצייה השוויון נכון בעבור כל n טבעי.
(בדיקה נוספת, n = 3: 1·4 + 2·7 + 3·10 = 4 + 14 + 30 = 48, ואגף ימין 3·4² = 48.)
(2) האיבר ה־k בסכום המבוקש הוא (2k)·(6k + 2): בעבור k = 1 מתקבל 2·8, בעבור k = 2 מתקבל 4·14, ובעבור k = 20 מתקבל 40·122 - האיבר האחרון.
נפרק את הגורם השני: (2k)(6k + 2) = 2k·2(3k + 1) = 4·k(3k + 1), כלומר כל איבר גדול פי 4 מן האיבר המתאים בסכום הנתון.
לכן 2·8 + 4·14 + ... + 40·122 = 4·[1·4 + 2·7 + ... + 20·61], ולפי השוויון הנתון בעבור n = 20:
1·4 + 2·7 + ... + 20·61 = 20·21² = 20·441 = 8820,
ולכן הסכום המבוקש הוא 4·8820 = 35280.
(בדיקה על שלושת האיברים הראשונים: 2·8 + 4·14 + 6·20 = 16 + 56 + 120 = 192, ואילו 4·(4 + 14 + 30) = 4·48 = 192.)

פתרון סעיף ב הדרך: המשפט "כל תייר ביקר לפחות באחת משתי הערים" אינו נתון צדדי אלא הנתון המרכזי של השאלה: הוא אומר שהאיחוד של שני המאורעות הוא כל המרחב, כלומר ההסתברות שלו היא 1. מרגע שמזהים את זה, נוסחת ההסתברות של איחוד הופכת למשוואה אחת בנעלם אחד, ואפשר לפתור אותה גם כשאחת ההסתברויות מסומנת באות. סעיף (1) הוא פשוט "רומא בלי החיתוך", וסעיף (3) הוא התניה - החיתוך חלקי ההסתברות של התנאי.
נסמן: R - "ביקר ברומא", P - "ביקר בפריז". נתון: P(R) = p , P(P) = 0.6 , P(R ∩ P) = 0.35.
(1) P(R ∩ לא P) = P(R) - P(R ∩ P) = p - 0.35.
(2) כל תייר ביקר לפחות באחת מן הערים, ולכן P(R ∪ P) = 1. לפי נוסחת האיחוד:
P(R ∪ P) = P(R) + P(P) - P(R ∩ P) = p + 0.6 - 0.35 = p + 0.25,
ולכן p + 0.25 = 1, כלומר p = 0.75.
(3) P(P | R) = P(R ∩ P)P(R) = 0.350.75 = 3575 = 715 ≈ 0.467.

פתרון סעיף ג הדרך: בסרטוט הזה יש שני מקורות לזוויות שוות, ושניהם קלאסיים: זוויות קדקודיות בנקודת החיתוך, וזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת. די בשתיים מהן כדי לקבל דמיון, ומן הדמיון נובע יחס בין הצלעות שאפשר לכתוב כשוויון מכפלות - זהו בדיוק משפט המיתרים הנחתכים, וסעיף (2) הוא הצבה ישירה בו.
(1) הוכחה:
(א) ∡AEC = ∡DEB - זוויות קדקודיות בנקודת החיתוך E.
(ב) ∡CAE = ∡BDE - זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת CB (∡CAE היא ∡CAB, ו־∡BDE היא ∡BDC).
(ג) מ־(א) ומ־(ב): שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש האחר, ולכן △AEC ∼ △DEB (משפט דמיון ז.ז). מ.ש.ל.
(2) מן הדמיון, בהתאמת הקודקודים A↔D, E↔E, C↔B:
AEDE = CEBE, ולכן AE·BE = CE·DE.
הצבה: 6·4 = 8·ED, כלומר 24 = 8·ED ומכאן ED = 3.

פתרון סעיף ד הדרך: כל הסעיף נפתח בצעד אחד: לכתוב את הפונקצייה אחרת. המונה הוא כמעט פי שניים מן המכנה, ולכן אפשר לפצל אותו ולקבל f(x) = 2 + 1x² + 1, וכל שלוש התשובות יושבות כבר בצורה הזאת. המכנה x² + 1 אינו מתאפס לעולם, ולכן אין ערכים אסורים; כאשר |x| גדל השבר קטן ושואף לאפס, ולכן הפונקצייה מתקרבת ל־2; והשבר עצמו חיובי תמיד, ולכן ההפרש בין הפונקצייה ובין האסימפטוטה אינו מתאפס באף נקודה - וזה כל מה שנדרש כדי להכריע בין שתי הטענות, בלי לפתור אף משוואה. גם הגזירה נוחה יותר בצורה הזאת, כי הקבוע 2 נעלם בגזירה ונשאר שבר אחד בלבד.
הצורה שממנה נעבוד: f(x) = 2(x² + 1) + 1x² + 1 = 2 + 1x² + 1.
(1) בעבור כל x מתקיים x² ≥ 0, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0: המכנה אינו מתאפס אף פעם, ותחום ההגדרה הוא כל x.
כאשר x → ∞ וכאשר x → -∞ המכנה x² + 1 גדל ללא גבול, ולכן 1x² + 1 → 0 ו־f(x) → 2. משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x היא y = 2.
(2) נגזור את הצורה f(x) = 2 + (x² + 1)⁻¹:
f'(x) = -(x² + 1)⁻²·2x = -2x(x² + 1)².
המכנה (x² + 1)² חיובי תמיד, ולכן הסימן של f'(x) נקבע על ידי המונה בלבד:
f'(x) = 0 רק כאשר x = 0; בעבור x < 0 מתקיים f'(x) > 0 (הפונקצייה עולה), ובעבור x > 0 מתקיים f'(x) < 0 (הפונקצייה יורדת).
הנגזרת מתחלפת מחיובית לשלילית, ולכן x = 0 היא נקודת מקסימום. שיעור ה־y שלה: f(0) = 31 = 3, כלומר נקודת המקסימום היא (0 , 3).
(בדיקה לפי כלל המנה: f'(x) = 4x(x² + 1) - (2x² + 3)·2x(x² + 1)² = 4x³ + 4x - 4x³ - 6x(x² + 1)² = -2x(x² + 1)² - זהה.)
(3) נבדוק את ההפרש בין הפונקצייה ובין האסימפטוטה:
f(x) - 2 = 1x² + 1.
המונה הוא 1 והמכנה חיובי בעבור כל x, ולכן f(x) - 2 > 0 בעבור כל x. שני דברים נובעים מכאן מיד: ההפרש אינו מתאפס באף נקודה, ולכן הגרף אינו חותך את האסימפטוטה כלל; והוא חיובי בכל נקודה, ולכן הגרף כולו מעליה.
לכן טענה I אינה נכונה, וטענה II היא הנכונה.
(הדבר מתיישב עם סעיף (2): ערך המקסימום הוא 3, וכל ערכי הפונקצייה נמצאים בתחום 2 < f(x) ≤ 3 - מעל האסימפטוטה ולא יותר מ־3.)

פתרון הדרך: בסדרה הנדסית היחס בין שני איברים הוא q בחזקת מספר הצעדים ביניהם, ולכן חלוקת שני הנתונים זה בזה מוציאה את a₁ מן התמונה ומשאירה משוואה ב־q בלבד. בסעיף ב אין מה להציב מספרים: מוציאים aₙ כגורם משותף בהגדרה של bₙ, ובודקים אם המנה בין שני איברים סמוכים בסדרה B יוצאת קבועה - זו בדיוק ההגדרה של סדרה הנדסית. לסכום שבסעיף ג די באיבר הראשון ובמנה, ובסעיף ד הדרישה על הסכום הופכת לאי־שוויון מעריכי ב־n: מבודדים את 3ⁿ ומוצאים בניסוי וטעיה את החזקה הראשונה שעוברת את הסף.
א. a₇a₄ = q³, ולכן q³ = 145854 = 27, כלומר q = 3.
a₄ = a₁q³, ולכן 54 = 27a₁ וכן a₁ = 2. האיבר הכללי: aₙ = 2·3ⁿ⁻¹. (בדיקה: a₄ = 2·27 = 54; a₇ = 2·729 = 1458.)
ב. לכל n טבעי, aₙ₊₁ = aₙ·q, ולכן:
bₙ = aₙq - aₙ = aₙ(q - 1).
נתון q ≠ 1, ולכן q - 1 ≠ 0, וגם aₙ ≠ 0 (אחרת כל איברי A היו אפס והנתון a₄ = 54 לא היה מתקיים). לכן bₙ ≠ 0 ומותר לחלק:
bₙ₊₁bₙ = aₙ₊₁(q - 1)aₙ(q - 1) = aₙ₊₁aₙ = q.
המנה קבועה (אינה תלויה ב־n), ולכן לפי ההגדרה B היא סדרה הנדסית שמנתה q. בעבור q = 3: המנה היא 3, והאיבר הראשון הוא b₁ = a₂ - a₁ = 6 - 2 = 4. מ.ש.ל.
ג. סכום סדרה הנדסית: S₁₀ = b₁·q¹⁰ - 1q - 1 = 4·3¹⁰ - 12 = 2·(59049 - 1) = 2·59048 = 118096.
(בדיקה בדרך אחרת - סכום טלסקופי: b₁ + ... + b₁₀ = a₁₁ - a₁, ומכיוון ש־a₁₁ = 2·3¹⁰ = 118098: 118098 - 2 = 118096 - זהה.)
ד. סכום n האיברים הראשונים של A: Sₙ = a₁·qⁿ - 1q - 1 = 2·3ⁿ - 12 = 3ⁿ - 1.
דרישה: 3ⁿ - 1 > 600, כלומר 3ⁿ > 601.
נבדוק חזקות של 3: 3⁵ = 243 < 601 ואילו 3⁶ = 729 > 601.
מכאן המספר הטבעי הקטן ביותר הוא n = 6.
(בדיקה: S₅ = 243 - 1 = 242 < 600; S₆ = 729 - 1 = 728 > 600.)

פתרון הדרך: התהליך מתפצל לשני שלבים - קודם באיזה קו יוצרה הנורה ורק אחר כך אם היא פגומה - ולכן מתאים כאן עץ הסתברות: כופלים לאורך כל ענף ומחברים את הענפים שמובילים לנורה פגומה, וזה עובד גם כשאחת ההסתברויות היא האות q ולא מספר. בסעיף ב הנתון החדש הופך את הביטוי הזה למשוואה אחת בנעלם אחד. בסעיף ג הידוע והמבוקש מתחלפים בתפקידים, וזו הסתברות מותנית: הענף של קו ב' חלקי סך ההסתברות לפגם. סעיף ד הוא חמש בדיקות בלתי תלויות עם אותה הסתברות לפגם בכל אחת - ניסוי ברנולי. סעיף ה נראה דומה אבל הוא שונה במהותו: זו שאלת המתנה, שבה סדר התוצאות כפוי (שלוש תקינות ואז פגומה אחת), ולכן אין בה מקדם בינומי כלל אלא מכפלה אחת בלבד.
א. לפי נוסחת ההסתברות השלמה (דיאגרמת עץ):
P(פגומה) = 0.6·0.05 + 0.4·q = 0.03 + 0.4q.
ב. 0.03 + 0.4q = 0.07 ⟸ 0.4q = 0.04 ⟸ q = 0.1.
(כלומר 10% מן הנורות של קו ב' פגומות.)
ג. P(קו ב' ∩ פגומה) = 0.4·0.1 = 0.04, ולכן:
P(קו ב' | פגומה) = 0.040.07 = 47 ≈ 0.571.
ד. ניסוי ברנולי: בכל בחירה P(פגומה) = 0.07, עם n = 5, k = 1:
P = C(5,1)·0.07·0.93⁴ = 5·0.07·0.7481 ≈ 0.262.
(פירוט: 0.93² = 0.8649; 0.93⁴ = 0.8649² ≈ 0.74805; 0.35·0.74805 ≈ 0.2618.)
ה. ייבדקו בדיוק 4 נורות אם ורק אם שלוש הנורות הראשונות תקינות והרביעית פגומה. הבדיקות בלתי תלויות והסדר קבוע, ולכן אין כאן מקדם בינומי:
P = 0.93³·0.07 = 0.804357·0.07 ≈ 0.0563.

פתרון הדרך: שני הנתונים שמניעים את השאלה הם הגובה והקוטר: הגובה AH יוצר זווית ישרה ב־H, והקוטר AD יוצר זווית ישרה ב־C, כי זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. הזווית השווה השנייה מגיעה משתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת, ומשתי זוויות שוות נובע דמיון, ומן הדמיון נובע יחס הצלעות שהוא כל סעיף ב. בסעיף ג אותו שוויון עצמו הוא שנותן את AD, שהוא קוטר, ולכן גם את הרדיוס. בסעיף ד הגובה מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי־זווית, ופיתגורס נותן בכל אחד מהם קטע של BC. בסעיף ה נכנס לתמונה שימוש חדש בקוטר: הוא רואה זווית ישרה גם מן הקדקוד B וגם מן הקדקוד C, ולכן פיתגורס נותן את שתי הצלעות BD ו־DC. שני המשולשים שמשווים ביניהם אינם דומים כלל, ואף על פי כן אין צורך לחשב אף שטח: הזוויות ∠BAC ו־∠BDC נשענות על אותו מיתר BC משני צדדיו ולכן משלימות ל־180°, הסינוסים שלהן שווים ומצטמצמים, ומה שנשאר ביחס הוא מכפלת אורכים בלבד.
א. הוכחה:
(1) ∠AHB = 90° - הקטע AH גובה לצלע BC.
(2) ∠ACD = 90° - זווית היקפית הנשענת על הקוטר AD.
(3) ∠ABH = ∠ADC - זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת AC (מאותו הצד של המיתר; ∠ABH היא ∠ABC).
(4) מ־(1), (2) ו־(3): במשולשים ABH ו־ADC שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן △ABH ∼ △ADC (דמיון ז.ז.). מ.ש.ל.
ב. הוכחה: מן הדמיון בסעיף א, בהתאמת הקודקודים A↔A, B↔D, H↔C, הצלעות המתאימות מקיימות: ABAD = AHAC.
הכפלה צולבת: AB·AC = AD·AH. מ.ש.ל.
ג. מסעיף ב: AD = AB·ACAH = 13·1512 = 19512 = 16.25.
AD קוטר, ולכן הרדיוס: R = 16.252 = 8.125.
ד. במשולש ישר־הזווית ABH (לפי פיתגורס): BH = AB² - AH² = 169 - 144 = 25 = 5.
במשולש ישר־הזווית ACH: HC = AC² - AH² = 225 - 144 = 81 = 9.
המשולש חד־זווית, ולכן H בין B ל־C (כמתואר בסרטוט): BC = BH + HC = 5 + 9 = 14.
ה. הקטע AD הוא קוטר, ולכן הזוויות הנשענות עליו מן המעגל ישרות: ∠ABD = 90° וגם ∠ACD = 90°.
לפי פיתגורס במשולש ABD: BD = AD² - AB² = 264.0625 - 169 = 95.0625 = 9.75.
לפי פיתגורס במשולש ACD: DC = AD² - AC² = 264.0625 - 225 = 39.0625 = 6.25.
המשולש חד־זווית, ולכן מרכז המעגל O נמצא בתוכו, והקוטר AD היוצא מ־A דרך O חוצה את הצלע BC. מכאן ש־D נמצאת על הקשת BC שאינה מכילה את A, כלומר ∠BAC ו־∠BDC הן זוויות היקפיות הנשענות על המיתר BC משני צדדיו, ולכן
∠BDC = 180° - ∠BAC  ⇒  sin ∠BDC = sin ∠BAC.
נחשב את שני השטחים לפי שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן:
S = S(ABC) = (12)·AB·AC·sin ∠BAC = (12)·13·15·sin ∠BAC,
S(BDC) = (12)·BD·DC·sin ∠BDC = (12)·9.75·6.25·sin ∠BAC.
הסינוס משותף לשני הביטויים ומצטמצם ביחס:
S(BDC)S = 9.75·6.2513·15 = 60.9375195 = 0.3125 = 516,
ולכן S(BDC) = 516·S = 0.3125·S.
(בדיקה במספרים: S = (12)·BC·AH = (12)·14·12 = 84, ומכאן sin ∠BAC = 8497.5 ≈ 0.8615 ו־∠BAC ≈ 59.49°; אז S(BDC) = (12)·9.75·6.25·0.8615 ≈ 26.25, ואכן 26.2584 = 0.3125.)

פתרון הדרך: הנתון הוא שתי צלעות והזווית שביניהן, וזה בדיוק הצירוף שמשפט הקוסינוסים בנוי בשבילו - הוא נותן את הצלע השלישית בהצבה אחת. ברגע ש־BC ידועה יש בידינו צלע והזווית שמולה, וזוג כזה הוא מה שמפעיל את משפט הסינוסים ומביא לרדיוס המעגל החוסם. את השטח נותנת הנוסחה עם שתי צלעות והזווית שביניהן, ושתיהן כבר נתונות. בסעיף ד חוצה הזווית מפצל את המשולש לשני משולשים שבכל אחד מהם זווית של 30°, ושטחיהם יחד שווים לשטח המשולש כולו - משוואה אחת שבה AD הוא הנעלם.
א. לפי משפט הקוסינוסים במשולש ABC (cos 60° = 0.5):
BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos 60° = 64 + 25 - 2·8·5·0.5 = 89 - 40 = 49,
ולכן BC = 7.
ב. לפי משפט הסינוסים, הצלע BC נמצאת מול הזווית ∠A = 60°:
2R = BCsin 60° = 732 = 143,
ולכן R = 73 = 733 ≈ 4.04.
ג. S = (12)·AB·AC·sin 60° = (12)·8·5·32 = 103 ≈ 17.32.
ד. הקטע AD חוצה את הזווית ∠BAC, ולכן ∠BAD = ∠CAD = 30°. שטח המשולש ABC שווה לסכום שטחי המשולשים ABD ו־ACD:
(12)·AB·AD·sin 30° + (12)·AC·AD·sin 30° = 103.
נציב sin 30° = 0.5: (14)·AD·(8 + 5) = 103, כלומר (134)·AD = 103,
ולכן AD = 40313 ≈ 5.33.
(בדיקה בדרך אחרת: לפי משפט חוצה הזווית BDDC = 85, ולכן BD = 5613, DC = 3513; לפי הנוסחה AD² = AB·AC - BD·DC = 40 - 1960169 = 4800169, ולכן AD = 480013 = 40313 - זהה.)

פתרון הדרך: המכנה מתאפס ב־x = a ואילו המונה שם אינו מתאפס, ולכן זו נקודה שיוצאת מתחום ההגדרה וגם מקומה של האסימפטוטה האנכית. את הנגזרת גוזרים לפי כלל המנה, ומכיוון שהמכנה שלה ריבועי ולכן חיובי בכל התחום, סימן הנגזרת נקבע כולו לפי המונה x(x - 2a). שתי נקודות הקיצון יוצאות תלויות ב־a בלבד, ולכן המרחק ביניהן הוא ביטוי ב־a - וזה מה שהופך את הנתון בסעיף ג למשוואה אחת בנעלם אחד; שימו לב שהמרחק נמדד בשני הכיוונים גם יחד, ולכן פיתגורס ולא הפרש ערכים. בסעיף ה הכפל ב־(x - 3)² מבטל את המכנה ומשאיר פולינום - הפונקצייה הרציונלית ובת־זוגה הפולינומית חולקות את אותם גורמים, וזה מה שמאפשר לעבור מחקירת מנה לחקירת מכפלה. בסעיף ו הגרף של g(x) נמצא כולו מתחת לציר בין שתי נקודות האפס שלו, ולכן האינטגרל שם שלילי ויש לקחת את ערכו המוחלט.
א. (1) תחום ההגדרה: x ≠ a.
(2) בנקודה x = a המונה שווה a² ≠ 0 (a חיובי), והמכנה מתאפס, ולכן האסימפטוטה האנכית - זו המאונכת לציר ה־x - היא x = a.
ב. לפי כלל המנה:
f'(x) = 2x(x - a) - x²(x - a)² = x² - 2ax(x - a)² = x(x - 2a)(x - a)².
f'(x) = 0 כאשר x = 0 או x = 2a.
סימן הנגזרת (המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה): בעבור x < 0 שני הגורמים שליליים ולכן f'(x) > 0; בעבור 0 < x < a וכן a < x < 2a מתקיים x > 0 ו־x - 2a < 0, ולכן f'(x) < 0; בעבור x > 2a שוב f'(x) > 0.
לכן (0 , 0) נקודת מקסימום (f(0) = 0), ו־(2a , 4a) נקודת מינימום (f(2a) = 4a²a = 4a).
ג. המרחק בין שתי נקודות הקיצון, לפי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
d = (2a - 0)² + (4a - 0)² = 4a² + 16a² = 20a² = 2a5 (a חיובי).
נתון 2a5 = 65, ולכן a = 3.
ד. בעבור a = 3: f(x) = x²x - 3, תחום ההגדרה x ≠ 3 ואסימפטוטה אנכית x = 3.
חיתוך עם הצירים: f(x) = 0 רק כאשר x² = 0, וגם f(0) = 0, ולכן הגרף חותך את שני הצירים בראשית בלבד: (0 , 0).
סימן: המונה x² חיובי בכל נקודה פרט ל־x = 0, ולכן הסימן נקבע לפי המכנה - f(x) > 0 בעבור x > 3, ו־f(x) < 0 בעבור x < 3 (פרט ל־x = 0, שבה f(x) = 0).
נקודות הקיצון (סעיף ב): מקסימום (0 , 0), מינימום (6 , 12).
הסקיצה: הענף השמאלי (x < 3) כולו מתחת לציר ה־x ונוגע בו בראשית בלבד - הוא עולה מ־-∞ אל המקסימום (0 , 0) ואז יורד אל -∞ בהתקרב לאסימפטוטה x = 3. הענף הימני (x > 3) כולו מעל הציר - הוא יורד מ־+∞ אל המינימום (6 , 12) ואז עולה.
ה. בעבור x ≠ 3:
g(x) = x²x - 3·(x - 3)² = x²(x - 3) = x³ - 3x².
הביטוי x³ - 3x² מוגדר גם ב־x = 3, ולכן זו הפונקצייה g(x) בכל תחומה. מ.ש.ל.
g'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2), ולכן g'(x) = 0 כאשר x = 0 או x = 2.
סימן הנגזרת: חיובית בעבור x < 0, שלילית בעבור 0 < x < 2, חיובית בעבור x > 2.
לכן (0 , 0) נקודת מקסימום, ו־(2 , -4) נקודת מינימום (g(2) = 8 - 12 = -4).
ו. g(x) = x²(x - 3) מתאפסת ב־x = 0 (אפס כפול) וב־x = 3, ובקטע 0 < x < 3 מתקיים x² > 0 ו־x - 3 < 0, כלומר הגרף כולו מתחת לציר ה־x. לכן
S = -∫₀³(x³ - 3x²)dx = -[x⁴4 - x³]₀³ = -(814 - 27) = 27 - 20.25 = 6.75.
(בדיקה: S = 274, והיא חיובית כנדרש; ערך המינימום -4 בקטע באורך 3 מתיישב עם שטח מסדר גודל של כ־7.)

פתרון הדרך: כל השאלה נפתחת בפירוק לגורמים. הזהות sin 2x = 2 sin x cos x הופכת את f(x) למכפלה, ומכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס - כך מתקבלות נקודות החיתוך עם הציר. אותו מהלך חוזר בנגזרת: הזהות cos 2x = 2cos²x - 1 הופכת גם אותה למכפלה, ואחד הגורמים בה אינו שלילי לעולם, ולכן הסימן תלוי רק בגורם השני. זה גם ההסבר למה שמבקשים בסוף סעיף ב: ב־x = π הנגזרת מתאפסת אך אינה מחליפה סימן, ולכן אין שם קיצון. בסעיף ד הפונקצייה אינה שלילית בכל התחום, ולכן השטח הוא האינטגרל המסוים עצמו בלי פיצול לקטעים, ובסעיף ו קוראים מן הסקיצה כמה פתרונות יש למשוואה f(x) = -a.
א. לפי הזהות sin 2x = 2 sin x cos x: f(x) = 2 sin x (1 + cos x).
f(x) = 0 כאשר sin x = 0, כלומר x = 0, π, 2π, או כאשר cos x = -1, כלומר x = π (כבר נמנה).
הנקודות: (0, 0), (π, 0), (2π, 0).
ב. f'(x) = 2cos x + 2cos 2x. לפי הזהות cos 2x = 2cos²x - 1:
f'(x) = 2(2cos²x + cos x - 1) = 2(2cos x - 1)(cos x + 1).
f'(x) = 0 כאשר cos x = 12, כלומר x = π3 או x = 5π3, או כאשר cos x = -1, כלומר x = π.
סימן הנגזרת: הגורם cos x + 1 ≥ 0 תמיד (מתאפס רק ב־x = π), ולכן הסימן נקבע לפי 2cos x - 1: חיובי בעבור 0 ≤ x < π3 (עלייה), שלילי בעבור π3 < x < 5π3 (ירידה), וחיובי בעבור 5π3 < x ≤ 2π (עלייה).
ערכי הקיצון: f(π3) = 2·(32) + sin(2π3) = 3 + 32 = 332 ≈ 2.6;
f(5π3) = 2·(-32) + sin(10π3) = -3 - 32 = -332 ≈ -2.6 (sin(10π3) = sin(4π3) = -32).
לכן: (π3, 332) נקודת מקסימום, (5π3, -332) נקודת מינימום.
בנקודה x = π: f'(π) = 0, אבל הנגזרת אינה מחליפה סימן - היא שלילית משני צידי הנקודה (בכל התחום π3 < x < 5π3), ולכן אין שם קיצון (הגרף יורד עם משיק אופקי - נקודת פיתול).
ג. סקיצה: הגרף יוצא מ־(0, 0), עולה למקסימום (π3, 332), יורד וחוצה את ציר ה־x ב־(π, 0) עם משיק אופקי, ממשיך לרדת עד המינימום (5π3, -332), ועולה עד (2π, 0) (הגרף סימטרי ביחס לנקודה (π, 0)).
ד. בתחום 0 ≤ x ≤ π מתקיים f(x) = 2 sin x (1 + cos x) ≥ 0 (שני הגורמים אי־שליליים), ולכן השטח הוא האינטגרל המסוים:
הקדומה: F(x) = -2cos x - (12)cos 2x.
F(π) = -2·(-1) - (12)·1 = 2 - 12 = 32; F(0) = -2 - 12 = -52.
לכן S = F(π) - F(0) = 32 - (-52) = 4.
ה. f(π2) = 2·1 + sin π = 2; f'(π2) = 2cos(π2) + 2cos π = 0 - 2 = -2.
משוואת המשיק: y - 2 = -2(x - π2), כלומר y = -2x + π + 2.
נקודת החיתוך עם ציר ה־y מתקבלת בהצבת x = 0:
B = (0 , π + 2)  (π + 2 ≈ 5.14).
ו. גרף הפונקצייה g(x) = f(x) + a חותך את ציר ה־x כאשר f(x) = -a. נבחן את מספר הפתרונות של f(x) = c בתחום לפי הסקיצה (סעיף ג):
בעבור c = 0: שלושה פתרונות (x = 0, π, 2π); בעבור 0 < c < 332: שני פתרונות (אחד בקטע העלייה הראשון ואחד בקטע הירידה); בעבור -332 < c < 0: שני פתרונות (בקטע הירידה ובקטע העלייה האחרון); בעבור c = ±332: פתרון יחיד; בעבור |c| > 332: אין פתרונות.
לכן בדיוק שתי נקודות חיתוך מתקבלות כאשר 0 < |a| < 332, כלומר:
-332 < a < 332 וגם a ≠ 0.

פתרון הדרך: בפונקצייה הרציונלית האפס במכנה הוא שמוציא נקודה מתחום ההגדרה ומעמיד שם אסימפטוטה אנכית, ושאיפת הערכים לאפס בקצוות נותנת את האסימפטוטה האופקית. הנגזרת יוצאת שבר שהמונה שלו קבוע ושונה מאפס, ולכן היא לעולם אינה מתאפסת - וזו כל ההוכחה שאין נקודות קיצון. משוואת החיתוך של שני הגרפים היא ממעלה רביעית, אבל היא מכילה רק חזקות זוגיות של x, ולכן ההצבה t = x² הופכת אותה לריבועית - וזה הרעיון שנושא את כל השאלה: מספר נקודות החיתוך ברביע הראשון הוא מספר הפתרונות החיוביים של המשוואה הריבועית ב־t, ולכן הכול נקבע לפי הדיסקרימיננטה שלה. בסעיף ד מחשבים אינטגרל של ההפרש בין הפונקצייה העליונה לתחתונה בין שתי נקודות החיתוך. בסעיף ה "משיקים זה לזה" הוא בדיוק המקרה שבו שתי נקודות החיתוך מתלכדות, כלומר הדיסקרימיננטה מתאפסת - ולכן אין צורך להשוות נגזרות כדי למצוא את c (אם כי כדאי לאמת בהן).
א. תחום ההגדרה: x ≠ 0.
אסימפטוטה אנכית: x = 0 (בהתקרב ל־0, f(x) → +∞); אסימפטוטה אופקית: y = 0 (כאשר x → ±∞, f(x) → 0).
הנגזרת: f'(x) = -8x³. הנגזרת אינה מתאפסת באף נקודה (המונה קבוע שונה מאפס), ולכן אין נקודות קיצון.
בעבור x < 0: x³ < 0, ולכן f'(x) > 0 - עלייה; בעבור x > 0: f'(x) < 0 - ירידה. (הפונקצייה זוגית: f(-x) = f(x).)
ב. משוואת החיתוך: 4x² = c - x². נכפול ב־x² (x ≠ 0):
4 = cx² - x⁴, כלומר x⁴ - cx² + 4 = 0.
נציב t = x² (t > 0): t² - ct + 4 = 0, ולכן
t = c ± c² - 162.
ברביע הראשון x > 0, ולכן לכל פתרון t > 0 מתאימה נקודת חיתוך אחת בלבד, שבה
x = c ± c² - 162.
מכפלת שורשי המשוואה הריבועית היא 4 > 0 וסכומם הוא c > 0, ולכן כאשר השורשים ממשיים הם בהכרח שניהם חיוביים. לכן יש בדיוק שתי נקודות חיתוך ברביע הראשון אם ורק אם הדיסקרימיננטה חיובית:
c² - 16 > 0, ומכיוון ש־c > 0 מתקבל c > 4.
ג. בעבור c = 5: t² - 5t + 4 = 0, ובפירוק (t - 1)(t - 4) = 0, כלומר t = 1 או t = 4.
ברביע הראשון: x = 1 ו־x = 2, והנקודות הן (1 , 4) ו־(2 , 1).
(בדיקה: g(1) = 4 = f(1); g(2) = 1 = f(2).)
סקיצה: גרף f(x) - שני ענפים חיוביים משני צידי ציר ה־y, סימטריים זה לזה, השואפים ל־+∞ ליד x = 0 ול־0 בקצוות; גרף g(x) - פרבולה "בוכה" שקודקודה (0 , 5) ונקודות האפס שלה x = ±5. ברביע הראשון הגרפים נחתכים בשתי הנקודות שמצאנו.
ד. בקטע 1 ≤ x ≤ 2 מתקיים g(x) ≥ f(x) (למשל ב־x = 1.5: g = 2.75 > f ≈ 1.78).
S = ∫₁²[g(x) - f(x)]dx = ∫₁²(5 - x² - 4x²)dx. הקדומה: F(x) = 5x - x³3 + 4x.
F(2) = 10 - 83 + 2 = 283; F(1) = 5 - 13 + 4 = 263.
לכן S = 283 - 263 = 23 ≈ 0.67.
ה. השקה פירושה שנקודת החיתוך היא כפולה, כלומר שני הפתרונות של t² - ct + 4 = 0 מתלכדים - הדיסקרימיננטה מתאפסת:
c² - 16 = 0, ומכיוון ש־c > 0 מתקבל c = 4.
אז t = c2 = 2, ולכן x = 2 (הפתרון החיובי) ו־y = f(2) = 42 = 2.
נקודת ההשקה: (2 , 2).
(אימות בנגזרות: f'(2) = -8(2)³ = -822 = -22, ו־g'(x) = -2x נותן g'(2) = -22 - השיפועים שווים, ואכן יש שם השקה.)