מתמטיקה

פתרון סעיף א הדרך: סדרה שנתון עליה Sₙ ולא aₙ נפתחת תמיד באותה תנועה: איבר יחיד הוא הפרש של שני סכומים עוקבים, aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. ההפרש הזה תקף מן המקום השני והלאה, ולכן יש לבדוק בנפרד שהנוסחה שהתקבלה נותנת גם את a₁ = S₁. שימו לב שההפרש בין שתי חזקות עוקבות של 3 נפתח בהוצאת גורם משותף, ולא בחישוב מספרי. בסעיף (2) אין צורך בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית כלל: הסכום המבוקש הוא הפרש של שני סכומים חלקיים שכבר נתונים לנו.
(1) בעבור n ≥ 2:
Sₙ₋₁ = 3ⁿ⁻¹ − 1,
ולכן aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = (3ⁿ − 1) − (3ⁿ⁻¹ − 1) = 3ⁿ − 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹(3 − 1) = 2·3ⁿ⁻¹.
בדיקת המקום הראשון: a₁ = S₁ = 3 − 1 = 2, והנוסחה נותנת 2·3⁰ = 2 - מתאים, ולכן aₙ = 2·3ⁿ⁻¹ לכל n טבעי.
aₙ ≠ 0 לכל n, ולכן מותר לחלק: aₙ₊₁aₙ = 2·3ⁿ2·3ⁿ⁻¹ = 3, מנה קבועה שאינה תלויה ב־n, ולכן A היא סדרה הנדסית שמנתה q = 3. ∎
(2) a₆ + a₇ + ... + a₁₀ = S₁₀ − S₅.
S₁₀ = 3¹⁰ − 1 = 59048 ,   S₅ = 3⁵ − 1 = 242,
ולכן הסכום המבוקש הוא 59048 − 242 = 58806.
(בדיקה בדרך השנייה: a₆ = 2·3⁵ = 486, וחמשת האיברים a₆, ..., a₁₀ הם סדרה הנדסית שמנתה 3, ולכן סכומם 486·3⁵ − 13 − 1 = 486·121 = 58806.)

פתרון סעיף ב הדרך: שתי הקוביות נבדלות זו מזו, ולכן מרחב המדגם הוא 6·6 = 36 זוגות סדורים שווי־הסתברות, וכל סעיף הוא ספירה בתוך המרחב הזה. בסעיף (2) המאורע התנאי מכיל חמישה זוגות בלבד, ולכן קל יותר לספור בתוכו מאשר להפעיל את נוסחת ההסתברות המותנית. בסעיף (3) אין צורך לספור כלל: מכפלה אי־זוגית מחייבת ששני הגורמים יהיו אי־זוגיים, ושתי הקוביות בלתי תלויות.
(1) הזוגות שסכומם 8 הם (2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2) - חמישה זוגות, ולכן
P = 536 ≈ 0.139.
(2) מבין חמשת הזוגות האלה, אלה שמופיעה בהם התוצאה 5 הם (3,5) ו־(5,3) - שניים, ולכן
P = 25 = 0.4.
(3) מכפלה של שני מספרים היא אי־זוגית אם ורק אם שניהם אי־זוגיים. בכל קובייה שלוש תוצאות אי־זוגיות מתוך שש, והקוביות בלתי תלויות, ולכן
P = 12·12 = 14 = 0.25.
(בדיקה בספירה: מספר הזוגות שבהם שתי התוצאות אי־זוגיות הוא 3·3 = 9, ואכן 936 = 0.25.)

פתרון סעיף ג הדרך: נתונות שתי זוויות וצלע אחת, ולכן המשולש נקבע כולו, וכל אורך בו מתקבל ממשפט הסינוסים. שימו לב שהצלע הנתונה AB נמצאת מול הזווית השלישית, ולכן היא זו שמשלימה כל יחס. את השטח נוח לחשב מן הזווית שבין שתי הצלעות היוצאות מן הקדקוד A, ואת הגובה מתוך השטח - ואז אפשר לבדוק את התוצאה בדרך שנייה לגמרי, ישירות מן המשולש ישר־הזווית שהגובה יוצר.
(1) סכום זוויות במשולש: ∡ACB = 180° − 105° − 30° = 45°.
לפי משפט הסינוסים ACsin∡ABC = ABsin∡ACB, ולכן
AC = 20·sin30°sin45° = 100.7071 = 102 ≈ 14.14.
(2) הזווית בין הצלעות AB ו־AC היא ∡BAC = 105°, ולכן
S = 12·AB·AC·sin∡BAC = 12·20·102·sin105° ≈ 141.42·0.9659 ≈ 136.60.
(3) שוב ממשפט הסינוסים: BC = 20·sin105°sin45° ≈ 19.31850.7071 ≈ 27.32.
נסמן ב־h את הגובה לצלע BC. מן השטח: h = 2SBC ≈ 273.2127.32 = 10.
(בדיקה בדרך שנייה: רגל הגובה מן הקדקוד A יוצרת משולש ישר־זווית שבו הזווית בקדקוד B היא 30° והייתר הוא AB = 20, ולכן h = 20·sin30° = 10 בדיוק. שתי הדרכים נותנות אותו ערך.)

פתרון סעיף ד הדרך: המלבן נקבע כולו על ידי מספר אחד, שיעור ה־x של B , כי הסימטרייה מעמידה את A ממול והפרבולה קובעת את הגובה. האילוץ הוא ההימצאות על הגרף, והוא זה שהופך את השטח לפונקצייה של משתנה יחיד. הפונקצייה מתאפסת בשני קצות התחום, ולכן נקודת האיפוס היחידה של הנגזרת בתוכו היא המקסימום.
(1) הקדקוד B הוא (x , 0), ולפי הסימטרייה A הוא (−x , 0), ולכן אורך הצלע AB הוא 2x.
הקדקוד C נמצא על הגרף מעל B , ולכן גובה המלבן הוא 12 − x², ומכאן
S(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³   בתחום 0 < x < 23.
(2) S'(x) = 24 − 6x², ומהשוואה לאפס x² = 4, כלומר x = 2 (הערך x = −2 אינו בתחום).
בתחום 0 < x < 2 מתקיים S' > 0 ובתחום 2 < x < 23 מתקיים S' < 0, ולכן זו נקודת מקסימום.
S(2) = 2·2·(12 − 4) = 4·8 = 32.
(בדיקה: S(1.5) = 3·9.75 = 29.25 ו־S(2.5) = 5·5.75 = 28.75; שניהם קטנים מ־32.)

פתרון הדרך: סעיף א הוא אינדוקצייה שבה כל העבודה בצעד היא הוצאת הגורם המשותף (2n + 1) ופירוק הטרינום שנשאר. סעיף ב אינו סכום חדש אלא הפרש של שני מופעים של אותו שוויון. בסעיפים ג-ד הסדרה ההנדסית נקבעת משני קצותיה ומסכומה בלבד: כשרושמים את נוסחת הסכום דרך האיבר האחרון ולא דרך מספר האיברים, נשארת משוואה לינארית ב־q, ורק אחריה מוצאים כמה איברים יש. סעיף ד הוא ההפך מסעיף א: שם היה צריך אינדוקצייה כדי לסכם ריבועים, כי הריבועים של המספרים האי־זוגיים אינם סדרה מוכרת; כאן הריבועים של סדרה הנדסית הם בעצמם סדרה הנדסית, ולכן נוסחת הסכום הרגילה עושה את כל העבודה.
א. בסיס האינדוקצייה (n = 1): אגף שמאל 1² = 1; אגף ימין 1·1·33 = 1. השוויון מתקיים.
צעד האינדוקצייה: נניח כי בעבור n מסוים מתקיים Tₙ = n(2n − 1)(2n + 1)3, ונוכיח בעבור n + 1. האיבר הבא הוא (2(n + 1) − 1)² = (2n + 1)², ולכן
Tₙ₊₁ = n(2n − 1)(2n + 1)3 + (2n + 1)² = (2n + 1)[n(2n − 1) + 3(2n + 1)]3.
נפשט את הסוגריים: 2n² − n + 6n + 3 = 2n² + 5n + 3 = (n + 1)(2n + 3), ולכן
Tₙ₊₁ = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)3,
וזהו בדיוק אגף ימין בעבור n + 1 (כי 2(n + 1) − 1 = 2n + 1 וכן 2(n + 1) + 1 = 2n + 3). מן הבסיס ומן הצעד, לפי עקרון האינדוקצייה, השוויון מתקיים לכל n טבעי. ∎
ב. המספר 39 הוא האי־זוגי ה־20 (2·20 − 1 = 39), והמספר 19 הוא האי־זוגי ה־10. הסכום המבוקש מתחיל ב־21², כלומר בריבוע האי־זוגי ה־11, ולכן הוא T₂₀ − T₁₀:
T₂₀ = 20·39·413 = 20·533 = 10660 ,   T₁₀ = 10·19·213 = 10·133 = 1330,
ולכן 21² + 23² + ... + 39² = 10660 − 1330 = 9330.
(בדיקה גסה: יש כאן 10 מחוברים, הקטן שבהם 441 והגדול שבהם 1521, ולכן הסכום חייב להיות בין 4410 ובין 15210.)
ג. אם שיכנו n מספרים בין 5 ובין 1215, יש בסדרה שהתקבלה n + 2 איברים, האיבר הראשון הוא 5 והאחרון הוא 1215. הסדרה עולה וכל איבריה חיוביים, ולכן q > 1.
נשתמש בנוסחת הסכום בצורה שבה מופיעים האיבר הראשון והאיבר האחרון בלבד: S = (האיבר האחרון)·q − (האיבר הראשון)q − 1, ולכן
1215q − 5q − 1 = 1820  ⇐⇒  1215q − 5 = 1820q − 1820  ⇐⇒  605q = 1815  ⇐⇒  q = 3.
מספר האיברים: 1215 = 5·q^{n + 1}, ולכן 3^{n + 1} = 243 = 3⁵, כלומר n + 1 = 5 ומכאן n = 4.
בסדרה 6 איברים, והיא 5 , 15 , 45 , 135 , 405 , 1215.
(בדיקה: 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 = 1820 - כנתון.)
ד. הוכחה: נסמן ב־gₖ את האיבר ה־k בסדרה שקיבלנו. כל איבריה חיוביים, ולכן מותר לחלק:
gₖ₊₁²gₖ² = (gₖ₊₁gₖ)² = q² = 9
המנה קבועה, ולכן הריבועים מהווים סדרה הנדסית שמנתה 9. ∎
איברה הראשון 5² = 25, ויש בה 6 איברים, ולכן
5² + 15² + ... + 1215² = 25·9⁶ − 19 − 1 = 25·531441 − 18 = 25·66430 = 1660750.
(בדיקה בסכימה ישירה: 25 + 225 + 2025 + 18225 + 164025 + 1476225 = 1660750.)

פתרון הדרך: ההעברה מפצלת את הבעיה לשני מסלולים בלבד, ובכל מסלול הרכבו של כד II אחר: אם הועבר לבן יש בו 3 לבנים ו־6 שחורים, ואם הועבר שחור יש בו 2 לבנים ו־7 שחורים. בשני המסלולים יש בכד II תשעה כדורים. סעיף ב הוא נוסחת ההסתברות השלמה על שני המסלולים, סעיף ג הוא ההתניה ההפוכה (בייס), וסעיף ד מתייחס אל התהליך כולו כאל ניסוי אחד שהצלחתו היא המאורע מסעיף ב. בסעיף ה מוסיפים שלב שלישי, ולכן צריך למנות את שני המסלולים מחדש עד הסוף.
א. P = 58·39 = 1572 = 524 ≈ 0.208.
ב. לפי נוסחת ההסתברות השלמה, לפי הצבע של הכדור שהועבר:
P = 58·39 + 38·29 = 1572 + 672 = 2172 = 724 ≈ 0.292.
ג. P(הועבר שחור | הוצא לבן) = 6722172 = 621 = 27 ≈ 0.286.
ד. כל חזרה על התהליך היא ניסוי בלתי תלוי, וההסתברות ל"הצלחה" (כדור לבן מכד II) היא 724. לפי נוסחת ברנולי:
P = C(5 , 2)·(724)²·(1724)³ = 10·0.08507·0.35540 ≈ 0.3023.
ה. נחשב את ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו מכד II לבנים, בשני המסלולים:
58·39·28 + 38·29·18 = 30576 + 6576 = 36576 = 116.
ההסתברות המבוקשת היא הסתברות מותנית, שבה מאורע התנאי הוא זה שחושב בסעיף ב:
P = 116724 = 2416·7 = 314 ≈ 0.214.
(בדיקה: התוצאה קטנה מן ההסתברות בסעיף ב, כמצופה, שהרי כדור לבן אחד כבר הוצא מן הכד.)

פתרון הדרך: כל השאלה יושבת על אותה עובדה אחת: OM מאונך למיתר וחוצה אותו, ולכן CD הוא ציר סימטרייה של כל הסרטוט. מן הסימטרייה מתקבלים שני משולשים ישרי־זווית שבהם מחשבים הכול: OMA נותן את הרדיוס, AMC נותן את הזווית, ו־AMD נותן את AD. בסעיף האחרון אין צורך לחשב שטחים כלל: במרובע ACBD האלכסונים AB ו־CD מאונכים זה לזה, ולכן שטחו הוא מחצית מכפלת האלכסונים.
א. OA = OB = R (רדיוסים), ולכן המשולש OAB שווה־שוקיים. הקטע OM הוא התיכון לבסיס AB, ובמשולש שווה־שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה, ולכן OM ⊥ AB. ∎
מכאן CM ⊥ AB וכן AM = MB, ולכן המשולשים ישרי־הזווית AMC ו־BMC חופפים (צלע, זווית, צלע: AM = MB, זווית ישרה, MC משותפת), ומכאן AC = BC. ∎
ב. M אמצע AB, ולכן AM = 12. נסמן את הרדיוס R; אז OC = R ולכן OM = OC − MC = R − 8.
במשולש ישר־הזווית OMA, לפי משפט פיתגורס:
R² = 12² + (R − 8)² = 144 + R² − 16R + 64  ⇐⇒  16R = 208  ⇐⇒  R = 13.
(ומכאן OM = 5; ואכן 5² + 12² = 13².)
ג. במשולש ישר־הזווית AMC מתקיים tan∡ACM = AMMC = 128 = 1.5, ולכן ∡ACM ≈ 56.31°.
מן החפיפה שבסעיף א, CM חוצה את הזווית ∡ACB, ולכן
∡ACB = 2·56.31° ≈ 112.62°.
(בדיקה בדרך אחרת: sin∡AOM = 1213, ולכן ∡AOM ≈ 67.38° והזווית המרכזית ∡AOB ≈ 134.76°. הנקודה C נמצאת על הקשת הקטנה AB, ולכן הזווית ההיקפית ∡ACB נשענת על הקשת הגדולה: 360° − 134.76°2 ≈ 112.62°.)
ד. CD עובר דרך המרכז, ולכן הוא קוטר: CD = 26, ומכאן MD = CD − MC = 26 − 8 = 18.
במשולש ישר־הזווית AMD (DM ⊥ AB), לפי משפט פיתגורס:
AD = 12² + 18² = 468 = 613 ≈ 21.63.
(בדיקה בדרך אחרת: ∡CAD = 90° כזווית היקפית הנשענת על הקוטר CD, וכן AC = 12² + 8² = 208, ולכן AD = 26² − 208 = 468.)
ה. במרובע ACBD האלכסונים הם AB ו־CD, והם מאונכים זה לזה לפי סעיף א. שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא מחצית מכפלת האלכסונים, ולכן
S(ACBD) = 12·AB·CD  ,  ואילו S = S(ABC) = 12·AB·MC.
נחלק: S(ACBD)S = CDMC = 268 = 3.25, ולכן S(ACBD) = 3.25·S.
(בדיקה במספרים: S = 12·24·8 = 96 ו־S(ACBD) = 12·24·26 = 312, ואכן 312 = 3.25·96.)

פתרון הדרך: חוצה הזווית מפרק את המשולש לשני משולשים שבכל אחד מהם הזווית הכלואה היא 60°, ואילו במשולש כולו הזווית הכלואה היא 120°. מכיוון ש־sin60° = sin120°, כאשר כותבים את השוויון "סכום שני השטחים שווה לשטח כולו" מצטמצם הגורם הטריגונומטרי לגמרי, ומתקבל קשר אלגברי נקי בין שלושת האורכים. הקשר הזה נושא את כל השאלה: בסעיפים ב-ד הוא מספק את המכפלה xy, ובסעיף ה הוא הופך את שאלת הקיצון לשאלה על מכפלה מרבית תחת סכום קבוע.
א. AD חוצה את הזווית, ולכן ∡BAD = ∡DAC = 60°. נחשב שלושה שטחים בנוסחת השטח:
S(ABD) = 12·AB·AD·sin60° = 12·x·AD·sin60°
S(ADC) = 12·AD·AC·sin60° = 12·AD·y·sin60°
S(ABC) = 12·AB·AC·sin120° = 12·x·y·sin120°
הנקודה D נמצאת על BC, ולכן S(ABD) + S(ADC) = S(ABC):
12·AD·sin60°·(x + y) = 12·x·y·sin120°.
sin60° = sin120° = 32, ולכן מותר לצמצם את שני האגפים בגורם 12·32 ומתקבל
AD·(x + y) = x·y  ⇐⇒  AD = x·yx + y. ∎
ב. נציב את הנתונים בשוויון שהוכחנו: 3 = xy14, ולכן xy = 42.
x ו־y הם שני מספרים שסכומם 14 ומכפלתם 42, כלומר שני הפתרונות של המשוואה
t² − 14t + 42 = 0  ⇐⇒  t = 14 ± 196 − 1682 = 7 ± 7.
לכן x = 7 + 7 ≈ 9.65 ו־y = 7 − 7 ≈ 4.35 (או להפך).
(בדיקה: (7 + 7)(7 − 7) = 49 − 7 = 42, ואכן 42 : 14 = 3.)
ג. לפי משפט הקוסינוסים במשולש ABC:
BC² = x² + y² − 2xy·cos120° = x² + y² + xy.
נשתמש בזהות x² + y² = (x + y)² − 2xy:
BC² = (x + y)² − 2xy + xy = (x + y)² − xy = 196 − 42 = 154,
ולכן BC = 154 ≈ 12.41.
ד. S(ABC) = 12·x·y·sin120° = 12·42·32 = 2132 ≈ 18.19.
ה. לפי סעיף א, וכאשר x + y = 14: AD = xy14, ולכן AD מרבי בדיוק כאשר המכפלה xy מרבית.
נציב y = 14 − x ונקבל את הפונקצייה g(x) = x(14 − x) = 14x − x² בתחום 0 < x < 14.
g'(x) = 14 − 2x = 0  ⇐⇒  x = 7, וכיוון ש־g''(x) = −2 < 0 זוהי נקודת מקסימום.
לכן x = y = 7, המכפלה המרבית היא 49, ואורך חוצה הזווית המרבי הוא
AD = 4914 = 3.5.
(בדיקה גאומטרית: כאשר x = y המשולש שווה־שוקיים, וחוצה זווית הראש הוא גם הגובה. במשולש ישר־הזווית ABD מתקיים ∡BAD = 60°, ולכן AD = AB·cos60° = 7·0.5 = 3.5. מתאים. שימו לב שהערך הזה גדול מן הערך AD = 3 שבסעיפים ב-ד, כמצופה.)

פתרון הדרך: המכנה חיובי תמיד, ולכן אין כאן אסימפטוטה אנכית כלל, וכל השאלה נשענת על המונה. הנגזרת, אחרי צמצום, היא שבר שסימנו נקבע רק מן הגורם 9 − x², ולכן שתי נקודות הקיצון יושבות ב־x = 3 וב־x = −3 בלי קשר לערך של a. הסעיף האחרון אינו דורש חקירה נוספת: ההפרש בין המשיק ובין הפונקצייה מתאחד לשבר אחד שסימנו גלוי לעין.
א. בעבור כל x מתקיים x² + 9 ≥ 9 > 0, ולכן תחום ההגדרה הוא כל x ממשי.
נחלק את המונה ואת המכנה ב־x²: f(x) = ax1 + 9x², וכאשר x שואף לאין־סוף (או למינוס אין־סוף) המונה שואף לאפס והמכנה שואף ל־1. לכן האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x היא y = 0.
f(x) = 0 אם ורק אם ax = 0, וכיוון ש־a ≠ 0 מתקבל x = 0. הגרף חותך את שני הצירים בראשית בלבד: (0 , 0).
ב. לפי כלל הגזירה של מנה:
f'(x) = a(x² + 9) − ax·2x(x² + 9)² = a(9 − x²)(x² + 9)².
המכנה חיובי תמיד ו־a > 0, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן הביטוי 9 − x²:
בתחום −3 < x < 3 מתקיים f' > 0 (עלייה), ובתחומים x < −3 ו־x > 3 מתקיים f' < 0 (ירידה).
מכאן x = 3 היא נקודת מקסימום ו־x = −3 היא נקודת מינימום, ושיעורי ה־y שלהן הם
f(3) = 3a18 = a6 ,   f(−3) = −a6.
כלומר מקסימום ב־(3 , a6) ומינימום ב־(−3 , −a6).
ג. הפונקצייה עולה עד x = 3 ויורדת אחריה אל האסימפטוטה, ולכן ערך המקסימום המקומי הוא גם הערך הגדול ביותר של הפונקצייה בכל תחום ההגדרה:
a6 = 3  ⇐⇒  a = 18, ואכן a > 0.
מעתה f(x) = 18xx² + 9.
ד. f(−x) = 18(−x)(−x)² + 9 = −18xx² + 9 = −f(x), ותחום ההגדרה סימטרי ביחס לראשית, ולכן הפונקצייה אי־זוגית. ∎
הסקיצה: הגרף עובר בראשית, עולה אל המקסימום (3 , 3) ואז יורד ומתקרב לאסימפטוטה y = 0 מלמעלה; ברביע השלישי התמונה משוקפת דרך הראשית: הגרף יורד אל המינימום (−3 , −3) ומשם עולה ומתקרב לאסימפטוטה מלמטה. הגרף אינו חותך את האסימפטוטה בשום נקודה פרט לראשית.
ה. f'(0) = 18·981 = 2, והמשיק עובר בנקודה (0 , 0), ולכן משוואתו היא y = 2x.
נבדוק את ההפרש בין המשיק ובין הפונקצייה:
2x − f(x) = 2x − 18xx² + 9 = 2x(x² + 9) − 18xx² + 9 = 2x³x² + 9.
בעבור x > 0 המונה חיובי והמכנה חיובי, ולכן 2x − f(x) > 0, כלומר הגרף נמצא מתחת למשיק בכל התחום הזה. ∎
(בדיקה: x = 3 נותן f(3) = 3 ואילו המשיק נותן 6; x = 0.1 נותן f ≈ 0.19978 ואילו המשיק נותן 0.2 - קרוב מאוד, כמצופה סמוך לנקודת ההשקה, אך עדיין קטן ממנו.)

פתרון הדרך: הזווית הנשענת על הקוטר היא ישרה, ולכן המשולש ישר־זווית וכל אורך בו נכתב מיד באמצעות α והייתר הקבוע 20. משם השאלה כולה היא על פונקצייה של משתנה אחד: בסעיף ב גוזרים אותה, ובסעיף ג פותרים משוואה שבה מופיע הצירוף cos α + sin α - ואת זה עושים בהעלאה בריבוע, שמכניסה את sin 2α לתמונה. אותו sin 2α בדיוק הוא גם השטח (עד כדי מקדם), ומכאן ההסבר שבסעיף ד.
א. הזווית ∡ACB היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB, ולכן ∡ACB = 90°.
במשולש ישר־הזווית ACB, הייתר הוא AB = 2·10 = 20, ולכן
AC = 20·cos α  ,  BC = 20·sin α.
ב. P(α) = 20 + 20cos α + 20sin α.
P'(α) = −20sin α + 20cos α = 20(cos α − sin α).
P'(α) = 0  ⇐⇒  cos α = sin α  ⇐⇒  tan α = 1  ⇐⇒  α = 45°.
בתחום 0° < α < 45° מתקיים cos α > sin α ולכן P' > 0, ובתחום 45° < α < 90° מתקיים P' < 0; לכן זו נקודת מקסימום.
P(45°) = 20 + 20·22 + 20·22 = 20 + 202 ≈ 48.28.
ג. 20 + 20(cos α + sin α) = 46  ⇐⇒  cos α + sin α = 1.3.
נעלה בריבוע: cos²α + 2sin α·cos α + sin²α = 1.69, ולפי זהות היסוד ולפי זהות הזווית הכפולה
1 + sin 2α = 1.69  ⇐⇒  sin 2α = 0.69.
בתחום 0° < 2α < 180°: 2α ≈ 43.63° או 2α ≈ 136.37°, ולכן
α ≈ 21.82° או α ≈ 68.18°.
(בדיקה: cos21.82° + sin21.82° ≈ 0.9285 + 0.3715 = 1.3. שתי האפשרויות בתחום הנתון, ולכן שתיהן קבילות.)
ד. שטח משולש ישר־זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:
S = 12·20cos α·20sin α = 200·sin α·cos α = 100·sin 2α.
בשתי האפשרויות sin 2α = 0.69, ולכן בשתיהן S = 100·0.69 = 69.
ההסבר: סכום שתי האפשרויות הוא 21.82° + 68.18° = 90°, כלומר הן זוויות משלימות. החלפת α במשלימה שלה מחליפה את שני הניצבים זה בזה, ולכן המשולש השני חופף לראשון והשטח אינו משתנה.
ה. נסמן ב־h את הגובה לייתר. שטח המשולש בשני אופנים: 12·AB·h = 12·AC·BC, ולכן
h = 20cos α·20sin α20 = 20·sin α·cos α = 10·sin 2α.
התנאי h = BC2 נותן
20·sin α·cos α = 10·sin α. בתחום הנתון sin α ≠ 0, ולכן מותר לחלק בו:
cos α = 12  ⇐⇒  α = 60°.
(בדיקה: BC = 20sin60° ≈ 17.32 ו־h = 10·sin120° ≈ 8.66, ואכן 8.66 = 17.32 : 2.)

פתרון הדרך: הצורה המפורקת x(x − 3)² מגלה מיד את שתי נקודות החיתוך ואת ההבדל ביניהן: שורש כפול פירושו נגיעה בציר ולא חצייה. הצורה הפתוחה היא זו שגוזרים ומאנטגרים. בסעיף האחרון ההפרש בין הפולינום ובין הישר מתפרק אף הוא לשלושה גורמים, ולכן שלוש נקודות המפגש מתקבלות בלי נוסחת השורשים, ושני הגושים מחושבים בשני אינטגרלים נפרדים - האחד שבו הגרף מעל הישר, והאחר שבו הישר מעל הגרף.
א. x(x − 3)² = x(x² − 6x + 9) = x³ − 6x² + 9x = f(x). ∎
f(x) = 0 אם ורק אם x = 0 או x = 3, ולכן החיתוך עם ציר ה־x הוא בנקודות (0 , 0) ו־(3 , 0); החיתוך עם ציר ה־y הוא (0 , 0).
בסביבת x = 3 מתקיים x > 0 וגם (x − 3)² ≥ 0, ולכן f(x) ≥ 0 משני צדי הנקודה: הגרף נוגע בציר ה־x ואינו עובר אל מתחתיו. (הגורם (x − 3) מופיע בריבוע, כלומר x = 3 הוא שורש כפול, ובשורש כפול אין חילוף סימן.)
ב. f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
איפוס: x = 1 ו־x = 3. סימני הנגזרת:
בתחום x < 1 שני הגורמים שליליים ולכן f' > 0 (עלייה); בתחום 1 < x < 3 מתקיים f' < 0 (ירידה); בתחום x > 3 שוב f' > 0 (עלייה).
f(1) = 1 − 6 + 9 = 4 ו־f(3) = 0, ולכן (1 , 4) היא נקודת מקסימום מקומי ו־(3 , 0) היא נקודת מינימום מקומי.
ג. f''(x) = 6x − 12, ולכן f'' = 0 ב־x = 2. משמאל לנקודה f'' < 0 ומימין לה f'' > 0, ולכן זו נקודת פיתול, ו־f(2) = 2·1 = 2: הנקודה היא (2 , 2).
הסקיצה: הגרף עולה מלמטה־משמאל, חותך את הצירים בראשית, ממשיך לעלות אל המקסימום (1 , 4), יורד דרך נקודת הפיתול (2 , 2) אל המינימום (3 , 0) שבו הוא נוגע בציר ה־x, ומשם עולה ללא הגבלה.
ד. בתחום 0 ≤ x ≤ 3 מתקיים f(x) ≥ 0 (לפי סעיף א), ולכן
S = ∫(x³ − 6x² + 9x)dx = [x⁴4 − 2x³ + 9x²2] בגבולות 0 עד 3,
S = 814 − 54 + 812 = 20.25 − 54 + 40.5 = 6.75.
ה. נקודות המפגש עם הישר:
x³ − 6x² + 9x = x  ⇐⇒  x³ − 6x² + 8x = 0  ⇐⇒  x(x − 2)(x − 4) = 0,
ולכן x = 0 , x = 2 , x = 4, והנקודות הן (0 , 0) , (2 , 2) , (4 , 4).
ההפרש f(x) − x = x(x − 2)(x − 4) חיובי בתחום 0 < x < 2 (הגרף מעל הישר) ושלילי בתחום 2 < x < 4 (הישר מעל הגרף), ולכן יש כאן שני גושים ויש לחשב שני אינטגרלים.
הפונקצייה הקדומה של x³ − 6x² + 8x היא G(x) = x⁴4 − 2x³ + 4x².
הגוש הראשון: G(2) − G(0) = (4 − 16 + 16) − 0 = 4.
הגוש השני: −[G(4) − G(2)] = −[(64 − 128 + 64) − 4] = −(0 − 4) = 4.
השטח הכולל הוא 4 + 4 = 8.
(בדיקה: שני הגושים יצאו שווים, וזה אינו מקרה - נקודת הפיתול (2 , 2) נמצאת על הישר y = x, וגרף של פולינום ממעלה שלישית סימטרי ביחס לנקודת הפיתול שלו, ולכן הגוש שמימין לה הוא תמונת המראה של הגוש שמשמאל לה.)