מתמטיקה

פתרון סעיף א הדרך: השוויון מנוסח לכל n טבעי, ואי אפשר לבדוק אין־סוף מקרים אחד־אחד - זה בדיוק המצב שבו האינדוקצייה היא הכלי. בודקים את n = 1, מניחים שהשוויון נכון בעבור n ומוסיפים לשני האגפים את האיבר הבא, 1(2n + 1)(2n + 3). כל העבודה בצעד היא איחוד שני שברים למכנה משותף, ואז המונה שמתקבל מתפרק לגורמים ומצטמצם עם המכנה. בסעיף (2) הסכום כבר ידוע כפונקצייה של n, ולכן משווים את הביטוי הזה למספר הנתון ופותרים משוואה אחת בנעלם אחד.
(1) בסיס האינדוקצייה (n = 1): אגף שמאל 11·3 = 13; אגף ימין 12·1 + 1 = 13. השוויון מתקיים.
צעד האינדוקצייה: נניח כי בעבור n מסוים מתקיים 11·3 + ... + 1(2n - 1)(2n + 1) = n2n + 1, ונוכיח בעבור n + 1. האיבר ה־(n + 1) בסכום הוא 1(2n + 1)(2n + 3), ולכן:
n2n + 1 + 1(2n + 1)(2n + 3) = n(2n + 3) + 1(2n + 1)(2n + 3) = 2n² + 3n + 1(2n + 1)(2n + 3).
המונה מתפרק: 2n² + 3n + 1 = (2n + 1)(n + 1), ולכן
(2n + 1)(n + 1)(2n + 1)(2n + 3) = n + 12n + 3 = n + 12(n + 1) + 1,
וזהו בדיוק אגף ימין של השוויון בעבור n + 1. מן הבסיס והצעד, לפי עקרון האינדוקצייה, השוויון מתקיים לכל n טבעי.
(2) לפי השוויון שהוכחנו, הסכום שווה ל־n2n + 1, ולכן נפתור:
n2n + 1 = 0.48  ⇐⇒  n = 0.48(2n + 1) = 0.96n + 0.48  ⇐⇒  0.04n = 0.48  ⇐⇒  n = 12.
(בדיקה: 122·12 + 1 = 1225 = 0.48.)

פתרון סעיף ב הדרך: ההסתברות של הכרטיס השני אינה ידועה מראש, כי היא תלויה במה שיצא ראשון - ולכן מפצלים לשני מסלולים זרים לפי צבע הכרטיס הראשון ומחברים. הביטוי שמתקבל מצטמצם לביטוי פשוט להפתיע, וזה אינו צירוף מקרים: לכרטיסים אין "זיכרון" של סדר ההוצאה, ולכן ההסתברות שהשני אדום שווה להסתברות שהראשון אדום. בסעיף (2) הנתון הוא הסתברות מותנית שכיוונה הפוך לכיוון הטבעי - מן הכרטיס השני אל הראשון - ולכן מפעילים את הגדרת ההסתברות המותנית ומציבים במכנה בדיוק את הביטוי מסעיף (1); המכנה מצטמצם, והמשוואה שנשארת היא לינארית. בסעיף (3) אין כאן התניה כלל אלא ספירה: כמה מן הרביעיות האפשריות מכילות את כל הכרטיסים האדומים.
(1) מספר הכרטיסים הכחולים הוא 12 - k. נפצל לפי צבע הכרטיס הראשון:
P(ראשון אדום ו־שני אדום) = k12 · k - 111 , P(ראשון כחול ו־שני אדום) = 12 - k12 · k11.
שני המסלולים זרים, ולכן
P(שני אדום) = k(k - 1) + k(12 - k)12·11 = k² - k + 12k - k²132 = 11k132 = k12.
זו בדיוק ההסתברות שהכרטיס הראשון אדום - סדר ההוצאה אינו משנה.
(2) לפי הגדרת ההסתברות המותנית, ובעזרת שני הביטויים שכבר חישבנו:
P(ראשון אדום | שני אדום) = P(שניהם אדומים)P(שני אדום) = k(k - 1)132k12 = k - 111.
נתון כי הביטוי הזה שווה ל־211, ולכן k - 1 = 2, כלומר k = 3 (ואכן 0 < 3 < 12).
(3) בקופסה 3 כרטיסים אדומים ו־9 כחולים. מוציאים ארבעה כרטיסים; מספר הרביעיות האפשריות הוא C(12,4) = 12·11·10·94·3·2·1 = 495.
רביעייה מתאימה חייבת להכיל את שלושת האדומים ועוד כרטיס כחול אחד, ולכן מספר הרביעיות המתאימות הוא C(3,3)·C(9,1) = 9.
P = 9495 = 155 ≈ 0.018.
(בדיקה בדרך ההוצאה בזה־אחר־זה: הכרטיס הכחול היחיד יכול לצאת באחד מ־4 המקומות, ובעבור מקום קבוע ההסתברות היא 3·2·1·912·11·10·9, ולכן P = 4·5411880 = 21611880 = 155.)

פתרון סעיף ג הדרך: בסרטוט הזה יש שתי זוויות ישרות שמגיעות משני משפטים שונים לגמרי: הזווית ההיקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, והמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. כל אחת מהן יושבת במשולש אחר, ולשני המשולשים משותפת הזווית α שבקדקוד A ומשותף היתר-או-הניצב AB. לכן אפשר לבטא את כל האורכים הדרושים באמצעות AB ו־α בלבד, ובחישוב היחס האורך המשותף מצטמצם ונשאר ביטוי בזווית בלבד - זו הסיבה שאין צורך באף נתון מספרי.
(1) נסמן AB = d.
∡ACB = 90° - זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB. במשולש ישר־הזווית ACB:
AC = d·cos α , BC = d·sin α, ולכן S(ABC) = 12·AC·BC = 12d²·sin α·cos α.
∡ABD = 90° - המשיק בנקודה B מאונך לרדיוס OB, והרדיוס OB נמצא על הקוטר AB. הזווית ∡BAD היא אותה זווית α, שכן D נמצאת על המשך AC. במשולש ישר־הזווית ABD:
BD = d·tan α, ולכן S(ABD) = 12·AB·BD = 12d²·tan α.
S(ABC)S(ABD) = sin α·cos αtan α = sin α·cos α·cos αsin α = cos²α.
(בדיקה: בעבור α = 45° מתקבל יחס 0.5; ואכן אז AC = BC = d2 ו־BD = d, כלומר S(ABC) = d²4 ו־S(ABD) = d²2.)
(2) הנתון אומר S(ABC)S(ABD) = 14, ולכן cos²α = 14.
בתחום 0° < α < 90° מתקיים cos α > 0, ולכן cos α = 12, כלומר α = 60°.

פתרון סעיף ד הדרך: גרף הנגזרת אינו מראה את ערכי הפונקצייה, אבל הוא מראה בדיוק דבר אחד שמספיק כאן: את הסימן של f'(x). במקום שבו גרף הנגזרת נמצא מעל ציר ה־x הפונקצייה עולה, ובמקום שבו הוא מתחתיו היא יורדת. נקודת קיצון נוצרת רק היכן שהסימן מתחלף, וכיוון ההתחלפות הוא שקובע אם זה מקסימום או מינימום. בסעיף (2) אין צורך לחשב דבר: בודקים כל גרף מועמד לפי שני קריטריונים בלבד - כמה נקודות קיצון יש לו, ובאילו שיעורי x הן יושבות ומאיזה סוג.
(1) מן הסרטוט, גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x בנקודות x = -1 ו־x = 3 בלבד, ולכן:
בעבור x < -1: f'(x) > 0 (הגרף מעל הציר) - הפונקצייה עולה;
בעבור -1 < x < 3: f'(x) < 0 - הפונקצייה יורדת;
בעבור x > 3: f'(x) > 0 - הפונקצייה עולה.
ב־x = -1 הנגזרת מתחלפת מחיובית לשלילית, ולכן זו נקודת מקסימום; ב־x = 3 הנגזרת מתחלפת משלילית לחיובית, ולכן זו נקודת מינימום.
(2) הגרף המתאים הוא III: רק בו יש מקסימום ב־x = -1 ומינימום ב־x = 3, בדיוק כפי שקבענו בסעיף (1).
מדוע לא האחרים: בגרף I נקודות הקיצון נמצאות בשיעורי ה־x הנכונים אבל סוגן הפוך (מינימום ב־x = -1 ומקסימום ב־x = 3); לגרף II יש נקודת קיצון אחת בלבד, ואילו לנגזרת שלנו שתי נקודות התאפסות עם החלפת סימן; בגרף IV נקודות הקיצון נמצאות ב־x = 1 וב־x = 4, ואילו הנגזרת הנתונה מתאפסת ב־x = -1 וב־x = 3.

פתרון הדרך: שני הנתונים כאן הם שני סכומים אין־סופיים של אותה סדרה, ולכן אין טעם לחפש תחילה את a₁. תת־הסדרה של המקומות האי־זוגיים היא בעצמה הנדסית, ומנתה q² - כי בין שני איברים שכנים בתוכה יש שני צעדים בסדרה המקורית. ברגע שכותבים את שני הסכומים זה מול זה, a₁ מצטמצם בחלוקה ונשארת משוואה אחת ב־q בלבד, ואפילו לינארית. סעיף ג אינו דורש חישוב חדש כלל: המקומות הזוגיים הם כל מה שנשאר מן הסכום הכולל אחרי שמורידים ממנו את המקומות האי־זוגיים. בסעיף ד חוזר אותו רעיון של סעיף א(1) בגרסה אחרת - כשמעלים את כל האיברים בריבוע, המנה עולה בריבוע גם היא, ולכן |q²| < 1 וגם הסדרה הזאת מתכנסת.
א(1) הוכחה: נסמן ב־cₖ את האיבר ה־k בסדרה החדשה, כלומר cₖ = a₂ₖ₋₁. בסדרה הנדסית aₘ₊₁ = aₘ·q לכל m, ולכן שני צעדים קדימה הם כפל ב־q²:
cₖ₊₁cₖ = a₂ₖ₊₁a₂ₖ₋₁ = q²
המנה אינה תלויה ב־k, ולכן C היא סדרה הנדסית שמנתה q². ∎
(החלוקה מותרת: אילו היה איבר אחד של A שווה לאפס היו כל איבריה אפס, וסכומה לא היה 27.)
נתון |q| < 1, ולכן גם |q²| < 1 ותת־הסדרה הזאת מתכנסת.
א(2) נכתוב את שני הסכומים הנתונים:
a₁1 - q = 27  ,  a₁1 - q² = 18
נחלק את השוויון הראשון בשני. האיבר a₁ מצטמצם:
1 - q²1 - q = 2718 = 1.5
1 - q² = (1 - q)(1 + q), ומכיוון ש־q ≠ 1 מותר לצמצם:
1 + q = 1.5, ולכן q = 0.5, ואכן |0.5| < 1.
ב. מן השוויון הראשון: a₁ = 27(1 - q) = 27·0.5 = 13.5.
(בדיקה בשוויון השני: 13.51 - 0.25 = 13.50.75 = 18 - מתאים לנתון.)
ג. כל איבר של A נמצא במקום אי־זוגי או במקום זוגי, ולכן שני הסכומים החלקיים משלימים יחד את הסכום הכולל:
a₂ + a₄ + a₆ + ... = 27 - 18 = 9.
(בדיקה בדרך ישירה: גם זו סדרה הנדסית שמנתה q² = 0.25, ואיברה הראשון a₂ = a₁q = 6.75, ולכן סכומה 6.751 - 0.25 = 6.750.75 = 9.)
ד. aₙ₊₁²aₙ² = (aₙ₊₁aₙ)² = q² לכל n, ולכן סדרת הריבועים היא סדרה הנדסית שאיברה הראשון a₁² = 13.5² = 182.25 ומנתה q² = 0.25.
0.25 < 1, ולכן גם סדרה זו מתכנסת:
S = 182.251 - 0.25 = 182.250.75 = 243.

פתרון הדרך: ארבע זריקות בלתי תלויות שבכל אחת מהן שתי תוצאות בלבד ואותה הסתברות הצלחה - זה ניסוי ברנולי, ולכן אפשר לכתוב כל הסתברות בנוסחה גם כשהיא תלויה באות p ולא במספר. את "לפחות פעם אחת" כמעט אף פעם לא מחשבים ישירות (זה יהיה סכום של שלושה מקרים), אלא דרך המאורע המשלים "אף פעם" - וזה גם מה שהופך את סעיף ב למשוואה שאפשר לפתור: שורש רביעי של מספר שהוא חזקה רביעית מדויקת. בסעיף ג אותו ביטוי משלים עצמו חוזר, אלא שהפעם p ידוע ומספר הזריקות הוא הנעלם, ולכן מקבלים אי־שוויון מעריכי; פותרים אותו בלוגריתם או בבדיקה מספרית, ומעגלים כלפי מעלה כי מספר הזריקות שלם. בסעיף ד "מספר זהה" מתפצל לשלושה מקרים זרים (שניהם 0, שניהם 1, שניהם 2), ובכל מקרה מכפילים כי השחקנים בלתי תלויים.
א(1) בכל זריקה P(לא קולע) = 1 - p, והזריקות בלתי תלויות:
P(אף פעם) = (1 - p)⁴.
א(2) P(לפחות פעם אחת) = 1 - (1 - p)⁴.
ב. 1 - (1 - p)⁴ = 0.9744, ולכן (1 - p)⁴ = 0.0256.
מכיוון ש־0 < p < 1 מתקיים 0 < 1 - p < 1, ולכן נבחר את השורש החיובי:
1 - p = ⁴0.0256 = 0.4 (שכן 0.4⁴ = 0.0256), ומכאן p = 0.6.
ג. נסמן ב־n את מספר הזריקות. אותו שיקול משלים כמו בסעיף א נותן P(לפחות פעם אחת) = 1 - 0.4ⁿ, ולכן הדרישה היא
1 - 0.4ⁿ > 0.999  ⇐⇒  0.4ⁿ < 0.001.
הביטוי 0.4ⁿ קטן והולך ככל ש־n גדל, ולכן די למצוא את המעבר:
0.4⁶ = 0.004096 , 0.4⁷ = 0.0016384 , 0.4⁸ = 0.00065536.
רק מ־n = 8 ואילך מתקיים 0.4ⁿ < 0.001, ולכן מספר הזריקות הקטן ביותר הוא n = 8.
(בדיקה: 1 - 0.4⁷ = 0.99836 < 0.999 ואילו 1 - 0.4⁸ = 0.99934 > 0.999.)
ד. בעבור שחקן אחד בשתי זריקות:
P(0) = 0.4² = 0.16 , P(1) = C(2,1)·0.6·0.4 = 0.48 , P(2) = 0.6² = 0.36.
(בדיקה: 0.16 + 0.48 + 0.36 = 1.)
השחקנים בלתי תלויים, ולכן
P(מספר זהה) = 0.16² + 0.48² + 0.36² = 0.0256 + 0.2304 + 0.1296 = 0.3856.

פתרון הדרך: אין בשאלה הזאת אף נתון מספרי, ולכן כל התשובות חייבות לצאת מיחסים בלבד. שני משיקים היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם, והרדיוסים אל נקודות ההשקה שווים גם הם - שתי העובדות האלה יחד מציבות את P ואת O על האנך האמצעי של AB, ולכן M היא אמצע AB. זו הנקודה שממנה נפתח הכול: O היא אמצע הקוטר AC, ולכן MO הוא קטע אמצעים במשולש ABC - וזה כל סעיף ב. בסעיף ג מתרגמים את השאלה על שני המיתרים לשאלה על שני הניצבים OM ו־AM באותו משולש ישר־זווית, ושם ההשוואה ביניהם היא פשוט השוואה בין הקוסינוס לסינוס של אותה זווית, כלומר תנאי על גודלה. בסעיף ד שני המשולשים נשענים על אותו הבסיס AB, ולכן יחס השטחים הוא יחס הגבהים בלבד - ואת שני הגבהים אפשר לבטא באמצעות הרדיוס לאחר שהיחס PA : R נקבע.
א. הוכחה:
(1) PA = PB - שני משיקים היוצאים מנקודה אחת אל מעגל שווים זה לזה.
(2) OA = OB - רדיוסים באותו מעגל.
(3) מ־(1) ו־(2): הנקודות P ו־O שתיהן שוות־מרחק מ־A ומ־B, ולכן הישר PO הוא האנך האמצעי של המיתר AB; בפרט PO ⊥ AB.
(4) הזווית ∠ABC = 90° - זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC; מכאן BC ⊥ AB.
(5) מ־(3) ו־(4): BC ו־PO שניהם מאונכים לישר AB, ושני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה. לכן BC ∥ PO. מ.ש.ל.
ב. הוכחה:
(1) מסעיף א, PO הוא האנך האמצעי של AB, ולכן M - נקודת החיתוך שלו עם AB - היא אמצע הקטע AB.
(2) AC הוא קוטר, ולכן O היא אמצע הקטע AC.
(3) מ־(1) ומ־(2): MO מחבר את אמצעי שתי הצלעות AB ו־AC במשולש ABC, ולכן הוא קטע אמצעים בו.
(4) קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית, ולכן OM = 12·BC, כלומר BC = 2·OM. מ.ש.ל.
(הערה: קטע האמצעים גם מקביל ל־BC, וזו הוכחה שנייה לסעיף א.)
ג. נסמן ב־R את רדיוס המעגל, וב־θ את הזווית ∡AOM.
מסעיף ב BC = 2·OM, ומסעיף א AB = 2·AM, ולכן
BC > AB  ⇐⇒  OM > AM.
במשולש OAM הזווית ∡OMA = 90° (שכן PO ⊥ AB), ולכן OM = R·cos θ ו־AM = R·sin θ, ומכאן
OM > AM  ⇐⇒  cos θ > sin θ  ⇐⇒  θ < 45°.
המשיק מאונך לרדיוס, ולכן במשולש ישר־הזווית OAP מתקיים tan θ = PAR, ולכן θ < 45° אם ורק אם PA < R.
לכן כן, הדבר אפשרי: המיתר BC ארוך מן המיתר AB בדיוק כאשר אורך המשיק PA קטן מרדיוס המעגל - כלומר כאשר P קרובה דיה למעגל, וזה שקול לכך שהזווית ∡APB גדולה מ־90°.
(דוגמה מספרית: R = 6 , PA = 3 נותנים OP = 45 ≈ 6.71, AM = R·PAOP ≈ 2.68 ו־OM = R²OP ≈ 5.37, כלומר AB ≈ 5.37 ואילו BC ≈ 10.73.)
ד. נתון PA = 2R. המשיק מאונך לרדיוס, ולכן לפי פיתגורס במשולש OAP:
OP = R² + (2R)² = R5.
AM הוא הגובה ליתר במשולש ישר־הזווית OAP, ולכן
AM = OA·PAOP = R·2RR5 = 2R5 , OM = OA²OP = R²R5 = R5.
לכן BC = 2·OM = 2R5 (סעיף ב), ו־PM = OP - OM = R5 - R5 = 4R5.
שני המשולשים ABC ו־APB נשענים על אותו הבסיס AB, ולכן יחס שטחיהם שווה ליחס הגבהים אליו - ואין צורך לחשב אף שטח בנפרד. הגובה מן C הוא CB עצמו (שכן ∡ABC = 90°, זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC), והגובה מן P הוא PM (שכן PO ⊥ AB). לכן
S(ABC)S = CBPM = 2R54R5 = 12,
ולכן S(ABC) = 12·S = 0.5·S.
(בדיקה במספרים, R = 5 ולכן PA = 10 ו־OP = 55: AB = 205 ≈ 8.944 , PM = 205 ≈ 8.944 , BC = 105 ≈ 4.472; S = 40 ו־S(ABC) = 20.)

פתרון הדרך: שני המשולשים ABD ו־ADC יושבים על אותו ישר, BC, ולשניהם אותו קדקוד עליון A - ולכן הגובה מ־A משותף להם, ויחס שטחיהם הוא בדיוק יחס הבסיסים BD ו־DC. את אותם שני שטחים אפשר לחשב גם בדרך שנייה, לפי שתי צלעות והזווית שביניהן, ואז הצלע AD משותפת לשניהם ומצטמצמת ביחס. השוואת שתי הדרכים היא כל ההוכחה שבסעיף א, והיא מייצרת כלי שעובד לשני הכיוונים: בסעיף ב נתון יחס הבסיסים ומחפשים את הזווית, ובסעיף ג נתונה הזווית ומחפשים את יחס הבסיסים. בשני הסעיפים האחרונים אין עוד טריגונומטרייה חדשה - רק תרגום של שני היחסים לאורכים ממשיים על הצלע BC, שאת אורכה נותן פיתגורס, ולבסוף הגובה מ־A אל היתר, שנותן את השטח.
א. הוכחה:
(1) למשולשים ABD ו־ADC גובה משותף מן הקדקוד A אל הישר BC; נסמן אותו ב־h. הבסיסים המתאימים הם BD ו־DC, ולכן
S(ABD)S(ADC) = (12)·BD·h(12)·DC·h = BDDC.
(2) נחשב את אותם שני שטחים בדרך שנייה, לפי שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן. במשולש ABD הצלעות הן AB ו־AD והזווית שביניהן היא β; במשולש ADC הצלעות הן AC ו־AD והזווית שביניהן היא γ:
S(ABD)S(ADC) = (12)·AB·AD·sin β(12)·AC·AD·sin γ = AB·sin βAC·sin γ (הצלע AD מופיעה במונה ובמכנה ומצטמצמת).
(3) שני הביטויים שווים לאותו יחס שטחים, ולכן הם שווים זה לזה: BDDC = AB·sin βAC·sin γ. מ.ש.ל.
ב. הזווית ∠BAC = 90° מתחלקת בין β ל־γ, ולכן γ = 90° - β ומכאן sin γ = sin(90° - β) = cos β.
הנתון BD = 2·DC פירושו BDDC = 2. נציב בנוסחה שהוכחנו בסעיף א:
2 = 8·sin β6·cos β = 43·tan β,
ולכן tan β = 1.5 ומכאן β ≈ 56.31° (הזווית חדה, שכן 0° < β < 90°).
(בדיקה: γ = 90° - 56.31° = 33.69°, ואכן 8·sin 56.31°6·sin 33.69° = 8·0.83216·0.5547 = 6.6573.328 = 2.)
ג. הנקודה E נמצאת על BC בדיוק כמו D, ולכן הנוסחה מסעיף א תקפה גם בעבורה, עם ∠BAE = 30° במקום β ועם ∠EAC = 90° - 30° = 60° במקום γ:
BEEC = 8·sin 30°6·sin 60° = 8·0.56·32 = 433 = 439 ≈ 0.77,
כלומר BE : EC = 43 : 9.
ד. לפי פיתגורס במשולש ABC (הזווית ∠BAC ישרה): BC = 8² + 6² = 100 = 10.
מסעיף ב: BD = 2·DC ו־BD + DC = 10, ולכן BD = 23·10 = 203 ≈ 6.667.
מסעיף ג: BE : EC = 43 : 9, ולכן BE = 4343 + 9·10 = 40343 + 9 = 1203 - 16011 ≈ 4.350.
מתקיים BE < BD, ולכן הסדר על הצלע הוא B, E, D, C, ומכאן
DE = BD - BE = 203 - 1203 - 16011 = 700 - 360333 ≈ 2.317.
ה. הגובה מן הקדקוד A אל היתר BC במשולש ישר־הזווית ABC:
h = AB·ACBC = 8·610 = 4.8.
המשולש ADE יושב על הבסיס DE שעל הישר BC, ולכן זהו בדיוק הגובה שלו:
S(ADE) = (12)·DE·h = (12)·2.317·4.8 ≈ 5.56.
(בדיקה בדרך אחרת, בלי DE: S(ABC) = (12)·8·6 = 24; המשולשים ABD ו־ABE חולקים את אותו גובה עם ABC, ולכן S(ABD) = BDBC·24 = 23·24 = 16 ו־S(ABE) = 4.35010·24 ≈ 10.44; מכאן S(ADE) = S(ABD) - S(ABE) ≈ 16 - 10.44 = 5.56 - זהה.)

פתרון הדרך: הפונקצייה היא מנה, ולכן הצעד הראשון הוא לשאול מתי המכנה מתאפס: שם נשבר התחום ושם יושבת האסימפטוטה האנכית. המונה הוא ריבוע של גורם לינארי, ולכן הוא מתאפס בנקודה אחת בלבד ואינו יורד מתחת לאפס - וזו הסיבה שנקודת החיתוך עם ציר ה־x היא גם נקודת השקה. את הגזירה נוח לבצע אחרי חלוקה איבר־איבר, כי אז הפונקצייה נכתבת כסכום של שלושה איברים פשוטים והנגזרת יוצאת הפרש של שניים בלבד. בסעיף ד שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה, ולכן הנתון הופך למשוואה ב־a. בסעיף ו אין צורך לספור חיתוכים על הסקיצה: מספיק לקרוא ממנה את טווח הערכים של כל ענף, ולראות איזה פער ערכים אינו מתקבל כלל - ואפשר גם לאמת זאת בדיסקרימיננטה של משוואה ריבועית.
א. המכנה מתאפס כאשר x = 0, ולכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.
כאשר x → 0 המונה שואף ל־a² שהוא חיובי (a > 0), והמכנה שואף לאפס, ולכן f(x) → +∞ כאשר x → 0⁺ ו־f(x) → -∞ כאשר x → 0⁻. לכן x = 0 היא אסימפטוטה אנכית, כלומר האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x.
ב. נחלק איבר־איבר: f(x) = x² - 2ax + a²x = x - 2a + a²x, ולכן
f'(x) = 1 - a²x² = x² - a²x².
f(x) = 0 רק כאשר (x - a)² = 0, כלומר x = a (והוא בתחום, שכן a > 0). בנקודה זו f'(a) = a² - a²a² = 0, ולכן שיפוע המשיק בה הוא 0 והמשיק הוא הישר y = 0 - כלומר ציר ה־x עצמו. לכן הגרף משיק לציר ה־x, ונקודת ההשקה היא (a , 0). מ.ש.ל.
(אין לגרף נקודת חיתוך עם ציר ה־y, שכן x = 0 אינו בתחום ההגדרה.)
ג. f'(x) = x² - a²x². המכנה חיובי לכל x ≠ 0, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה x² - a²:
בעבור |x| > a: f'(x) > 0 - עלייה; בעבור 0 < |x| < a: f'(x) < 0 - ירידה.
f'(x) = 0 כאשר x = a או x = -a.
ב־x = a הנגזרת מתחלפת משלילית לחיובית, ולכן (a , 0) נקודת מינימום (f(a) = (a - a)²a = 0);
ב־x = -a הנגזרת מתחלפת מחיובית לשלילית, ולכן (-a , -4a) נקודת מקסימום (f(-a) = (-a - a)²-a = 4a²-a = -4a).
תחומי עלייה: x < -a או x > a; תחומי ירידה: -a < x < 0 וכן 0 < x < a.
ד. f'(1) = 1² - a²1² = 1 - a²1 = 1 - a². מן הנתון 1 - a² = -8, ולכן a² = 9, ומכיוון ש־a חיובי: a = 3.
ה. בעבור a = 3: f(x) = (x - 3)²x, אסימפטוטה אנכית x = 0, מינימום (3 , 0) ומקסימום (-3 , -12).
הסקיצה: הענף הימני (x > 0) יורד מ־+∞ בסמוך לאסימפטוטה עד לנקודה (3 , 0), שבה הוא נוגע בציר ה־x בלי לחצות אותו, ומשם עולה ללא גבול; הענף השמאלי (x < 0) עולה מ־-∞ עד למקסימום (-3 , -12) ומשם יורד ל־-∞ בסמוך לאסימפטוטה. כל הענף השמאלי נמצא מתחת לציר ה־x.
ו. מסעיף ג ומן הסקיצה: על הענף הימני הפונקצייה יורדת מ־+∞ עד 0 ואז עולה חזרה ל־+∞, ולכן היא מקבלת שם בדיוק את הערכים k ≥ 0; על הענף השמאלי היא עולה מ־-∞ עד -12 ואז יורדת חזרה ל־-∞, ולכן היא מקבלת שם בדיוק את הערכים k ≤ -12.
לכן אין למשוואה f(x) = k אף פתרון כאשר -12 < k < 0.
(בדיקה אלגברית: בעבור x ≠ 0 המשוואה (x - 3)²x = k שקולה ל־x² - (6 + k)x + 9 = 0, שהדיסקרימיננטה שלה Δ = (6 + k)² - 36 = k² + 12k = k(k + 12). Δ < 0 בדיוק כאשר -12 < k < 0 - כמתקבל. לדוגמה, k = -6: x² - 0·x + 9 = 0 כלומר x² = -9 - אין פתרון.)

פתרון הדרך: הפונקצייה היא סכום של פולינום ושל פונקצייה טריגונומטרית, ולכן הנגזרת נכתבת מיד, והפרמטר a נשאר בה כמקדם של sin x. זה מה שהופך את שאלת קיום הקיצון לשאלה על הסינוס בלבד: המשוואה f'(x) = 0 היא sin x = 1a, ולה יש פתרון רק כאשר האגף הימני נמצא בתחום הערכים של הסינוס. שימו לב שקיום פתרון עדיין אינו קיצון - דרושה גם החלפת סימן של הנגזרת, וזה בדיוק מה שנשבר במקרה הגבולי. משנקבע a, שאר הסעיפים הם עבודה שגרתית: סימן הנגזרת קובע את סוג הקיצון, סימן הנגזרת השנייה קובע את הפיתול, ובסעיף ו הפונקצייה חיובית בכל הקטע ולכן השטח הוא האינטגרל המסוים עצמו, בלי פיצול ובלי ערך מוחלט.
א. f'(x) = 1 - a·sin x.
f'(x) = 0 ⇐⇒ sin x = 1a.
a חיובי, ולכן 1a > 0, ולמשוואה יש פתרון רק אם 1a ≤ 1, כלומר a ≥ 1.
בעבור a = 1 מתקבל sin x = 1, כלומר x = π2 בלבד; אבל אז f'(x) = 1 - sin x ≥ 0 בכל התחום, והנגזרת אינה מחליפה סימן - ולכן אין שם נקודת קיצון.
בעבור a > 1 מתקיים 0 < 1a < 1, ולמשוואה sin x = 1a יש בתחום בדיוק שני פתרונות: אחד בקטע (0 , π2) והשני בקטע (π2 , π), סימטריים ביחס ל־x = π2. בכל אחד מהם הנגזרת מחליפה סימן, ולכן אלה נקודות קיצון פנימיות. (בקטע π < x < 2π מתקיים sin x < 0, ולכן f'(x) = 1 - a·sin x > 0 ואין שם התאפסות.)
מסקנה: לפונקצייה יש נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון אם ורק אם a > 1.
ב. sin π6 = 12, ולכן מן התנאי sin x = 1a מתקבל 1a = 12, כלומר a = 2 (ואכן a = 2 > 1, ולכן לפי סעיף א זו אמנם נקודת קיצון).
ג. בעבור a = 2: f(x) = x + 2cos x ו־f'(x) = 1 - 2sin x.
f'(x) = 0 ⇐⇒ sin x = 12 ⇐⇒ x = π6 או x = 5π6.
סימן הנגזרת: בעבור 0 ≤ x < π6 ובעבור 5π6 < x ≤ 2π מתקיים sin x < 12 ולכן f'(x) > 0 - עלייה; בעבור π6 < x < 5π6 מתקיים sin x > 12 ולכן f'(x) < 0 - ירידה.
לכן:
f(π6) = π6 + 2cos π6 = π6 + 3 ≈ 2.26, ולכן (π6 , π6 + 3) נקודת מקסימום;
f(5π6) = 5π6 + 2cos 5π6 = 5π6 - 3 ≈ 0.89, ולכן (5π6 , 5π6 - 3) נקודת מינימום.
ד. f''(x) = -2cos x. f''(x) = 0 ⇐⇒ cos x = 0 ⇐⇒ x = π2 או x = 3π2.
בשתי הנקודות האלה הקוסינוס מחליף סימן, ולכן גם f''(x) מחליפה סימן, ולכן שתיהן נקודות פיתול:
f(π2) = π2 + 2·0 = π2 ≈ 1.57 ; f(3π2) = 3π2 + 2·0 = 3π2 ≈ 4.71.
נקודות הפיתול: (π2 , π2) ו־(3π2 , 3π2).
ה. סקיצה: הגרף מתחיל בנקודה (0 , 2), עולה עד המקסימום (π6 , 2.26), יורד עד המינימום (5π6 , 0.89), ומשם עולה עד לקצה הימני (2π , 2π + 2 ≈ 8.28). הגרף כולו נמצא מעל ציר ה־x.
הקעירות: כלפי מטה בתחום 0 ≤ x < π2, כלפי מעלה בתחום π2 < x < 3π2, ושוב כלפי מטה בתחום 3π2 < x ≤ 2π.
ו. בקטע 0 ≤ x ≤ π הערך הקטן ביותר של הפונקצייה הוא ערך המינימום 5π6 - 3 ≈ 0.89 > 0 (ובקצוות: f(0) = 2 ו־f(π) = π - 2 ≈ 1.14), ולכן הפונקצייה חיובית בכל הקטע והשטח שווה לאינטגרל המסוים.
הקדומה: F(x) = x²2 + 2sin x.
S = F(π) - F(0) = (π²2 + 2sin π) - (0 + 0) = π²2 ≈ 4.93.

פתרון הדרך: השורש מגביל את התחום ל־x ≥ 0, וההצגה הנוחה של הפונקצייה היא x^1.5 - 3x^0.5 - בכתיב הזה הגזירה היא פשוט כלל החזקה. בסעיף ד אין מה לחשב: מספר הפתרונות של f(x) = k הוא מספר נקודות המפגש של הגרף עם הישר האופקי y = k, וכל התשובה נקראת מן הסקיצה של סעיף ג. שתי הנקודות שקובעות את המעבר בין המקרים הן המינימום (1 , -2) וקצה תחום ההגדרה (0 , 0). בסעיף ה משוואת משיק דורשת שני דברים בלבד - נקודה ושיפוע - ושניהם מתקבלים מהצבת x = 4 בפונקצייה ובנגזרת שכבר חישבנו.
א. תחום ההגדרה: x ≥ 0.
חיתוך עם הצירים: f(x) = 0 כאשר x = 3 או x = 0; וכן f(0) = 0, כלומר הגרף עובר בראשית. הנקודות: (0, 0) ו־(3, 0).
ב. נכתוב f(x) = x·x - 3x. הנגזרת: f'(x) = (32)x - 32x = 3x - 32x = 3(x - 1)2x (מוגדרת בעבור x > 0).
f'(x) = 0 כאשר x = 1. סימן הנגזרת: בעבור 0 < x < 1: f'(x) < 0 (ירידה); בעבור x > 1: f'(x) > 0 (עלייה).
לכן (1, f(1)) = (1, -2) נקודת מינימום (f(1) = (1 - 3)·1 = -2).
תחום ירידה: 0 ≤ x < 1; תחום עלייה: x > 1.
ג. סקיצה: הגרף יוצא מהראשית (0, 0) כלפי מטה (משיק אנכי בראשית), יורד עד המינימום (1, -2), עולה וחוזר לחתוך את ציר ה־x ב־(3, 0), וממשיך לעלות בעבור x > 3.
ד. מספר הפתרונות של המשוואה f(x) = k הוא מספר נקודות המפגש של גרף הפונקצייה עם הישר האופקי y = k. ואפשר לקרוא אותן מן הסקיצה שבסעיף ג: הגרף יורד מן הקצה (0 , 0) אל המינימום (1 , -2), ומשם עולה בלי הפסקה דרך (3 , 0) והלאה.
בעבור k < -2 הישר עובר מתחת למינימום, שהוא הערך הקטן ביותר של הפונקצייה, ואינו פוגש את הגרף כלל: אין פתרון.
בעבור k = -2 הישר נוגע בגרף בנקודת המינימום בלבד: פתרון יחיד, x = 1.
בעבור -2 < k < 0 הישר חותך פעם אחת את הענף היורד (בין 0 ובין 1) ופעם אחת את הענף העולה (בין 1 ובין 3): שני פתרונות.
בעבור k = 0 הישר הוא ציר ה־x עצמו, והוא נפגש עם הגרף בדיוק בשתי נקודות החיתוך שמצאנו בסעיף א: שני פתרונות, x = 0 ו־x = 3. שימו לב ש־x = 0 נספר, מפני שהוא שייך לתחום ההגדרה.
בעבור k > 0 הפונקצייה אינה מקבלת אף ערך חיובי בקטע 0 ≤ x ≤ 3, ולכן הישר פוגש רק את הענף העולה שמימין ל־x = 3: פתרון יחיד.
סיכום: אין פתרון בעבור k < -2; פתרון יחיד בעבור k = -2 או k > 0; שני פתרונות בעבור -2 < k ≤ 0.
ה. f(4) = (4 - 3)·4 = 2; f'(4) = 3·(4 - 1)2·4 = 94 = 2.25.
משוואת המשיק: y - 2 = 2.25(x - 4), כלומר y = 2.25x - 7.