מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: באליפסה קנונית כל הנתונים תלויים זה בזה דרך הקשר a² = b² + c², ולכן די בנתון מטרי אחד - כאן המרחק בין המוקדים - כדי לשחזר את המשוואה כולה. בסעיף ב הנקודה P נבחרה כך ששיעור ה־x שלה שווה לשיעור ה־x של המוקד, ולכן הקטע PF₁ אנכי - וזה חוסך לגמרי את חישוב המרחק השני אם משתמשים בתכונה המגדירה, אף שכאן חישבנו גם ישירות כדי לבדוק. שטח המרובע אינו דורש חישוב חדש כלל: שני האלכסונים חוצים זה את זה בראשית, ולכן המרובע הוא מקבילית המורכבת משני משולשים חופפים. בסעיף ג נוח לזכור שהתנאי "מרחק ממוקד שווה למרחק מישר" הוא ההגדרה של פרבולה, אבל את המשוואה עדיין צריך לגזור - ומכיוון שהמדריך כאן הוא ציר ה־y עצמו, ריבוע שני האגפים מבטל את x² ומשאיר משוואה ליניארית ב־x. סעיף ה הוא לב השאלה: המשוואה הריבועית שמתקבלת נותנת שני פתרונות ל־x, אבל אחד מהם נפסל - ולכן מספר נקודות החיתוך אינו מספר הפתרונות של המשוואה, וזו בדיוק המלכודת שהטענה מציבה.
א. (1) באליפסה קנונית שמוקדיה על ציר ה־x מתקיים a² = b² + c², כאשר 2c הוא המרחק בין המוקדים.
מן הנתון 2c = 8, ולכן c = 4. כאן b² = 9, ומכאן a² = 9 + 16 = 25 ולכן a = 5 (הערך החיובי, ואכן 5 > 3 ✓).
משוואת האליפסה: x²25 + y²9 = 1.
(2) המוקדים: F₁ (4 , 0) ו־F₂ (-4 , 0). חיתוך עם הצירים: (5 , 0), (-5 , 0), (0 , 3), (0 , -3).

ב. (1) הצבת x = 4 במשוואת האליפסה: 1625 + y²9 = 1, ולכן y²9 = 925 ומכאן y² = 8125 ו־y = ±1.8. ברביע הראשון y > 0, ולכן P (4 , 1.8).
שיעור ה־x של P שווה לזה של F₁, ולכן הקטע PF₁ אנכי ואורכו PF₁ = 1.8.
PF₂ = (4 - (-4))² + 1.8² = 64 + 3.24 = 67.24 = 8.2.
PF₁ + PF₂ = 1.8 + 8.2 = 10 - ואכן זהו הסכום הקבוע 2a = 2·5 = 10 שמופיע בתכונה המגדירה של האליפסה.
(2) Q סימטרית ל־P ביחס לראשית, ולכן Q (-4 , -1.8), וראשית הצירים היא אמצע הקטע PQ. גם המוקדים סימטריים ביחס לראשית, ולכן הראשית היא גם אמצע F₁F₂.
שני אלכסוני המרובע PF₁QF₂ חוצים אפוא זה את זה, כלומר המרובע הוא מקבילית. האלכסון F₁F₂ מחלק אותה לשני משולשים: PF₁F₂ ו־QF₁F₂. לשניהם אותו בסיס F₁F₂, והגבהים אליו הם |1.8| ו־|-1.8| - שווים.
לכן שטח המרובע הוא 2S (מספרית: S = 12·8·1.8 = 7.2 ולכן שטח המרובע 14.4).

ג. נסמן M (x , y). המרחק מן המוקד: MF₁ = (x - 4)² + y²; המרחק מציר ה־y הוא |x|.
התנאי MF₁ = |x|, ואחרי ריבוע שני האגפים: (x - 4)² + y² = x².
x² - 8x + 16 + y² = x², וה־x² מצטמצם: y² = 8x - 16, כלומר y² = 8(x - 2).
זו אכן פרבולה: משוואה מן הצורה y² = 2p(x - x₀) עם 2p = 8, שקודקודה בנקודה (2 , 0) והיא פתוחה ימינה. (התנאי y² ≥ 0 מחייב x ≥ 2, וזה עקבי עם הדרישה |x| = x ≥ 0.)

ד. (1) קודקוד הפרבולה הוא D (2 , 0). אמצע הקטע שבין O (0 , 0) ובין F₁ (4 , 0) הוא (0 + 42 , 0 + 02) = (2 , 0) - אותה נקודה בדיוק. (וזה נכון תמיד: קודקוד פרבולה נמצא באמצע הדרך בין המוקד ובין המדריך, וכאן המדריך הוא ציר ה־y.)
(2) הצבת x = 4 במשוואת הפרבולה: y² = 8(4 - 2) = 16, ולכן y = ±4: הנקודות (4 , 4) ו־(4 , -4).
במשולש שקודקודיו (4 , 4), (4 , -4) ו־D (2 , 0) נבחר כבסיס את הקטע האנכי שבין שתי הנקודות הראשונות: אורכו 8. הגובה אליו הוא המרחק האופקי מ־D אל הישר x = 4, כלומר |4 - 2| = 2.
S_Δ = 12·8·2 = 8, כלומר 8.

ה. הטענה אינה נכונה - יש בדיוק שתי נקודות חיתוך.
נציב y² = 8x - 16 במשוואת האליפסה: x²25 + 8x - 169 = 1.
כפל ב־225: 9x² + 25(8x - 16) = 225, כלומר 9x² + 200x - 400 = 225, ומכאן 9x² + 200x - 625 = 0.
Δ = 200² + 4·9·625 = 40,000 + 22,500 = 62,500, ו־Δ = 250.
x = -200 ± 25018, ולכן x = 5018 = 259 או x = -45018 = -25.
הפתרון x = -25 נפסל משתי סיבות בלתי תלויות: הפרבולה מוגדרת רק בתחום x ≥ 2, וגם באליפסה מתקיים תמיד -5 ≤ x ≤ 5.
נשאר אפוא שיעור x אחד ויחיד, x = 259 ≈ 2.78, ולו שני שיעורי y:
y² = 8·259 - 16 = 200 - 1449 = 569, ולכן y = ±2143 ≈ ±2.49.
נקודות החיתוך: (259 , 2143) ו־(259 , -2143) - שתיים בלבד.
(בדיקה באליפסה: שיעור ה־x בריבוע הוא 62581, ולכן 62581·25 + 5681 = 2581 + 5681 = 8181 = 1 ✓.)

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: שלושת המקצועות היוצאים מן הקודקוד A משמשים בסיס לכל הווקטורים במנסרה, וסעיף א נפתר בכלל המשולש בלבד בתוספת עובדה אחת על מנסרה: הפאה העליונה חופפת ומקבילה לבסיס, ולכן A'B' = AB ו־A'C' = AC. המנסרה ישרה, ולכן הגובה מאונך לבסיס וכל קודקוד עליון יושב בדיוק מעל התאום שלו בבסיס - וברגע שהנפח נותן את הגובה נקראים כל השיעורים ישירות. זווית בין ישר ובין מישור נמדדת אל מול ההיטל, ולכן סעיף ג מתרחש כולו במשולש ישר-זווית אחד שניצביו ההיטל והגובה. את משוואת המישור בסעיף ד בונים משני וקטורי כיוון המונחים בו ומכפלה וקטורית, ומכיוון שהמנסרה ישרה יוצא הנורמל אופקי (רכיב z אפס) - וזו בדיוק הסיבה שהמרחק מ־A אל הפאה הצדדית שווה למרחק מ־A אל הישר BC בתוך מישור הבסיס, כלומר לגובה ליתר. בסעיף ה אפשר לחשב את הזווית במכפלה סקלרית, ואפשר גם לקצר: הנקודה P מונחת על הפאה BCC'B', ולכן הסינוס של הזווית הוא פשוט המרחק מ־A חלקי AP.
א. לפי כלל המשולש: A'B = A'A + AB = -w + u, כלומר A'B = u - w.
בפאה העליונה A'B' = u ו־A'C' = v, והנקודה P היא אמצע B'C', ולכן A'P = ½(A'B' + A'C') = ½(u + v).
מכאן: CP = CA + AA' + A'P = -v + w + ½(u + v), כלומר CP = ½u - ½v + w.

ב. הבסיס ABC ישר-זווית ב־A, וניצביו AB = 6 ו־AC = 8, ולכן שטחו S_בסיס = ½·6·8 = 24. נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה, ולכן 24·h = 240 ומכאן h = 10.
המנסרה ישרה, ולכן AA' מאונך לבסיס וכל קודקוד עליון נמצא בדיוק מעל התאום שלו: A' (0 , 0 , 10), B' (6 , 0 , 10), C' (0 , 8 , 10) (שיעור ה־z חיובי כנדרש).
הנקודה P היא אמצע B'C': P (6 + 02 , 0 + 82 , 10), כלומר P (3 , 4 , 10).

ג. AP = (3 , 4 , 10), ולכן AP = 9 + 16 + 100 = 125 = 55 ≈ 11.18.
ההיטל של P על מישור הבסיס הוא הנקודה P₀ (3 , 4 , 0), ולכן ההיטל של הישר AP על הבסיס הוא הקטע AP₀, והזווית המבוקשת היא ∠PAP₀. במשולש ישר-הזווית APP₀ (∠AP₀P = 90°): AP₀ = 9 + 16 = 5 ו־PP₀ = 10, ולכן tan(∠PAP₀) = 105 = 2. מכאן ∠PAP₀ ≈ 63.4° (בדיקה: cos(∠PAP₀) = 555 ≈ 0.447 ✓).

ד. (1) נקודות המישור: B (6 , 0 , 0), C (0 , 8 , 0), C' (0 , 8 , 10). וקטורי כיוון: BC = (-6 , 8 , 0), CC' = (0 , 0 , 10). וקטור נורמל (מכפלה וקטורית): n = (8·10 - 0·0 , 0·0 - (-6)·10 , (-6)·0 - 8·0) = (80 , 60 , 0), ואפשר לצמצם ב־20 ולקחת n = (4 , 3 , 0). המישור: 4x + 3y = d; הצבת B נותנת d = 24. 4x + 3y = 24 (בדיקה: C: 3·8 = 24 ✓, C': 3·8 = 24 ✓; הנורמל אופקי, כמצופה מפאה צדדית של מנסרה ישרה).
(2) d(A , המישור) = |4·0 + 3·0 - 24|16 + 9 = 245 = 4.8.

ה. (1) וקטור הכיוון של הישר AP הוא (3 , 4 , 10), שאורכו 55 (סעיף ג), ו־|n| = 5. הזווית φ שבין ישר למישור מקיימת: sin φ = |4·3 + 3·4 + 0·10|5·55 = 24255 ≈ 2455.9 ≈ 0.429. מכאן φ ≈ 25.4°.
(קיצור דרך: הנקודה P מונחת על המקצוע B'C', שכולו במישור BCC'B' - ואכן 4·3 + 3·4 = 24 - ולכן P היא נקודת החיתוך של הישר עם המישור, ומתקיים sin φ = d(A , המישור)AP = 4.855 ≈ 0.429 ✓.)
(2) הטענה נכונה. במשולש ישר-הזווית ABC הניצבים הם 6 ו־8, ולכן היתר הוא BC = 36 + 64 = 10, והגובה ליתר מקיים h_BC = AB·ACBC = 6·810 = 4.8 - בדיוק המרחק שהתקבל בסעיף ד(2).
הנימוק שמסביר מדוע אין כאן מקריות: המנסרה ישרה, ולכן הפאה הצדדית BCC'B' מאונכת למישור הבסיס. הקודקוד A מונח במישור הבסיס, ולכן גם רגל האנך ממנו אל הפאה מונחת במישור הבסיס, והאנך הזה הוא בדיוק האנך מ־A אל הישר BC בתוך המשולש - כלומר הגובה ליתר.

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: התנאי שבסעיף א משווה שני מרחקים מנקודות קבועות, ולכן ידוע מראש שהמקום הגאומטרי הוא אנך אמצעי - ובכל זאת יש לגזור את המשוואה, וריבוע שני האגפים מבטל את x² ואת y² ומשאיר משוואה ליניארית. בסעיף ב שימו לב שהמספר c אינו נתון במפורש: כל מה שידוע עליו הוא שהוא ממשי שלילי, כלומר שזוויתו 180°, וזה כל מה שדרוש כדי לכתוב את זוויות ארבעת השורשים - 45° ועוד כפולות של 90°. הכיוון של השאלה הפוך אפוא לרגיל: לא מפתרון המשוואה אל הגאומטרייה, אלא מן הגאומטרייה אל המשוואה. סעיף ג הוא הצומת: מבין ארבעת השורשים רק אחד יושב ברביע הראשון, ובו x = y בדיוק - ולכן הצבת y = x במשוואת הישר משחזרת את השורש, וממנו את c. בסעיף ה כדאי לזכור ששאלת מספר נקודות החיתוך של ישר עם מעגל אינה דורשת פתרון מערכת: די להשוות את המרחק מן המרכז אל הרדיוס - ותת־סעיף (2) מראה שחיתוך המעגל אינו אומר דבר על חיתוך הקודקודים.
א. נציב z = x + iy. אז z - 6 = (x - 6) + iy ו־z - 2i = x + i(y - 2). נרבע את שני אגפי התנאי:
(x - 6)² + y² = x² + (y - 2)².
x² - 12x + 36 + y² = x² + y² - 4y + 4.
x² ו־y² מצטמצמים, ונשאר -12x + 36 = -4y + 4, כלומר 4y = 12x - 32, ולכן y = 3x - 8 - קו ישר (זהו האנך האמצעי לקטע שקצותיו (6 , 0) ו־(0 , 2)).

ב. (1) c ממשי שלילי, ולכן הצגתו הקוטבית היא c = |c|(cos180° + i·sin180°).
לפי נוסחת שורשי מספר מרוכב, ארבעת הפתרונות של z⁴ = c הם
z_k = ⁴√|c| · (cos(180° + 360°k4) + i·sin(180° + 360°k4)), k = 0 , 1 , 2 , 3,
כלומר הזוויות הן 45° , 135° , 225° , 315° והמודול המשותף הוא ⁴√|c|.
(2) לארבעת הפתרונות אותו מודול R = ⁴√|c|, ולכן ארבע הנקודות נמצאות על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו R. ההפרש בין זוויות סמוכות הוא 90° קבוע, ולכן ארבע הנקודות מחלקות את המעגל לארבע קשתות שוות - כלומר הן קודקודי ריבוע החסום במעגל, ומרכזו הוא מרכז המעגל, כלומר ראשית הצירים.

ג. (1) ארבע הזוויות הן 45° (רביע ראשון), 135° (רביע שני), 225° (רביע שלישי) ו־315° (רביע רביעי). רק הראשונה נותנת נקודה ששני שיעוריה חיוביים, ולכן הפתרון המבוקש הוא זה שזוויתו 45°.
בזווית 45° מתקיים cos45° = sin45°, ולכן שיעורי הנקודה מקיימים y = x.
הצבה במשוואת הישר שבסעיף א: x = 3x - 8, כלומר 2x = 8 ולכן x = 4, וממילא y = 4.
הפתרון: 4 + 4i (ואכן שני שיעוריו חיוביים ✓).
(2) (4 + 4i)² = 16 + 32i + 16i² = 16 + 32i - 16 = 32i, ולכן (4 + 4i)⁴ = (32i)² = 1024·i² = -1024.
c = -1024 - ואכן ממשי שלילי, כנדרש.
(דרך שנייה: |4 + 4i| = 32 = 42 וזוויתו 45°, ולכן z⁴ = (42)⁴(cos180° + i·sin180°) = 1024·(-1) = -1024.)

ד. (1) המודול המשותף הוא ⁴1024 = 42, והזוויות הן 45° , 135° , 225° , 315°. מכיוון ש־42·cos45° = 42·22 = 4, ארבעת הפתרונות הם
4 + 4i , -4 + 4i , -4 - 4i , 4 - 4i.
(2) שתי הנקודות (4 , 4) ו־(-4 , 4) הן קודקודים סמוכים, והמרחק ביניהן הוא 8 - זהו אורך צלע הריבוע. לכן S = 8² = 64.
(בדיקה דרך האלכסון: אורך האלכסון הוא 2·42 = 82, ובריבוע S = d²2 = 1282 = 64 ✓.)

ה. (1) נכתוב את הישר בצורה כללית: 3x - y - 8 = 0. המרחק מן הראשית:
d = |3·0 - 0 - 8|3² + (-1)² = 810 = 4105 ≈ 2.53.
המעגל שעליו נמצאים ארבעת הפתרונות הוא x² + y² = 32, ורדיוסו R = 42 ≈ 5.66.
מכיוון ש־d ≈ 2.53 < 5.66 ≈ R, הישר עובר בתוך המעגל, ולכן יש לו עם המעגל שתי נקודות חיתוך.
(2) הטענה אינה נכונה. נבדוק כל אחד משלושת הפתרונות האחרים בתנאי y = 3x - 8:
(-4 , 4): 3·(-4) - 8 = -20 ≠ 4;
(-4 , -4): 3·(-4) - 8 = -20 ≠ -4;
(4 , -4): 3·4 - 8 = 4 ≠ -4.
אף אחד מן השלושה אינו על הישר, ולכן 4 + 4i הוא הפתרון היחיד שהנקודה המייצגת אותו נמצאת על המקום הגאומטרי.
שימו לב שאין כאן סתירה לתת־סעיף (1): הישר אכן חותך את המעגל בשתי נקודות, אבל רק אחת מהן היא במקרה קודקוד של הריבוע - הנקודה השנייה יושבת על המעגל בין שני קודקודים.

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: המונה והמכנה תלויים שניהם ב-e^x, ולכן מתחילים מן המכנה: הערך שבו הוא מתאפס נותן בבת אחת את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית. את האסימפטוטה האופקית מחפשים רק בצד שבו e^x מתאפס, כלומר כאשר x שואף למינוס אינסוף; בצד השני המונה גדל מהר יותר מן המכנה ואין אסימפטוטה כלל. הפרמטר משוחזר בסעיף ב מנקודת החיתוך עם ציר ה־y בלבד - זהו הנתון היחיד בשאלה כולה שמצריך היפוך, ומכיוון ש־f(0) תלוי ב־a בצורה פשוטה, זו משוואה ליניארית אחת. בגזירה כדאי להוציא e^2x כגורם משותף במונה מיד אחרי נוסחת המנה, ואז נשאר גורם ליניארי אחד ב־e^x שקובע לבדו את הסימן. בסעיפים ה-ו הכיוון הפוך לרגיל: הפונקצייה g נתונה בצורתה הפרושה, ומה שיש להראות הוא שהיא בעצם ℓn(f) - ומרגע שהראינו זאת, שני דברים נובעים בחינם. ראשית, ℓn עולה ממש ולכן הוא מעביר את נקודת המינימום של f לנקודת מינימום של g באותו x, בלי חקירה חדשה. שנית, ערך המינימום עצמו מכריע את שאלת החיתוך עם ציר ה־x בלי לפתור אף משוואה.
א. (1) המכנה חייב להיות שונה מאפס: e^x - a ≠ 0, כלומר e^x ≠ a. מכיוון ש־a > 0 יש לכך פתרון, ולכן x ≠ ℓn a.
(2) אסימפטוטה המאונכת לציר ה־x: כאשר x → (ℓn a)⁺ המכנה חיובי ושואף ל־0 והמונה שואף ל־a² (חיובי), ולכן f(x) → +∞; כאשר x → (ℓn a)^- המכנה שלילי, ולכן f(x) → -∞. האסימפטוטה: x = ℓn a.
אסימפטוטה המאונכת לציר ה־y: כאשר x → -∞ מתקיים e^2x → 0 ו־e^x - a → -a, ולכן f(x) → 0-a = 0: y = 0 (הגרף מתקרב אליה מלמטה). כאשר x → ∞ מחלקים מונה ומכנה ב־e^x ומקבלים f(x) = e^x1 - a·e^-x → ∞ - אין אסימפטוטה נוספת.
(3) חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 11 - a, כלומר (0 , 11 - a) (ומכאן הדרישה a ≠ 1: אחרת x = 0 אינו בתחום ההגדרה כלל).
חיתוך עם ציר ה־x דורש שהמונה יתאפס: e^2x = 0 - וזה בלתי אפשרי, שכן e^2x > 0 לכל x. לכן הגרף אינו חותך את ציר ה־x כלל, ובעבור כל ערך של הפרמטר.

ב. לפי סעיף א(3) שיעור ה־y של נקודת החיתוך הוא 11 - a, ומן הנתון:
11 - a = -0.5, ולכן 1 - a = -2 ומכאן a = 3 (חיובי ושונה מ־1, כנדרש ✓).
מכאן ואילך f(x) = e^2xe^x - 3, תחום ההגדרה הוא x ≠ ℓn 3 (ℓn 3 ≈ 1.099), והאסימפטוטות הן x = ℓn 3 ו־y = 0.

ג. (1) לפי נוסחת נגזרת המנה: f'(x) = 2e^2x(e^x - 3) - e^2x·e^x(e^x - 3)² = e^2x[2(e^x - 3) - e^x](e^x - 3)², כלומר f'(x) = e^2x(e^x - 6)(e^x - 3)².
(2) e^2x > 0 והמכנה חיובי בכל תחום ההגדרה, ולכן סימן הנגזרת נקבע רק לפי e^x - 6. הנגזרת מתאפסת כאשר e^x = 6, כלומר x = ℓn 6 ≈ 1.792. בעבור x < ℓn 6 מתקיים f' < 0, ובעבור x > ℓn 6 מתקיים f' > 0 - נקודת מינימום. ערך הפונקצייה: f(ℓn 6) = 366 - 3 = 12. נקודת מינימום: (ℓn 6 , 12).
(שימו לב: ℓn 6 נמצא בענף הימני, שכן 6 > 3; בענף השמאלי e^x - 6 < 0 תמיד ולכן הפונקצייה יורדת שם ואין בו קיצון.)

ד. סקיצה. בתחום x < ℓn 3 המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן f(x) < 0: הענף יורד מן האסימפטוטה y = 0 (מתחתיה, משמאל), עובר דרך (0 , -0.5) וצונח ל־-∞ בהתקרב ל־x = ℓn 3. בתחום x > ℓn 3 הפונקצייה חיובית: הענף יורד מ־+∞ אל נקודת המינימום (ℓn 6 , 12) ומשם עולה לאינסוף.

ה. (1) הביטוי 2x מוגדר לכל x, ולכן התחום נקבע רק על ידי הלוגריתם: e^x - 3 > 0, כלומר e^x > 3. תחום ההגדרה: x > ℓn 3.
(2) בכל x > ℓn 3 מתקיים e^x - 3 > 0, ולכן f(x) > 0 ומותר לקחת את הלוגריתם שלה. לפי חוקי הלוגריתמים:
ℓn(f(x)) = ℓn(e^2xe^x - 3) = ℓn(e^2x) - ℓn(e^x - 3) = 2x - ℓn(e^x - 3) = g(x) (כי ℓn(e^2x) = 2x).
התחום צר יותר מזה של f משום שאצל f די היה בכך שהמכנה שונה מאפס, ואילו כאן נדרש שהמכנה יהיה חיובי ממש - ולכן כל הענף השמאלי, x < ℓn 3, שבו f שלילית, נושר מן התחום.
(3) הפונקצייה ℓn עולה ממש, ולכן היא משמרת את סדר הערכים: ככל ש־f קטנה יותר כך ℓn(f) קטנה יותר. מכאן ש־g מקבלת את ערכה המזערי בדיוק באותו x שבו f מקבלת את ערכה המזערי בענף הימני, כלומר ב־x = ℓn 6, והערך שם הוא ℓn 12. נקודת מינימום: (ℓn 6 , ℓn 12) (ℓn 12 ≈ 2.485).

ו. (1) אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x. לפי סעיף ה(3) הערך הקטן ביותר שהפונקצייה g מקבלת בכל תחום הגדרתה הוא ℓn 12 ≈ 2.485, והוא חיובי. לכן g(x) > 0 בכל התחום, והגרף אינו חותך את ציר ה־x אף לא בנקודה אחת.
אישוש אלגברי: g(x) = 0 פירושו ℓn(f(x)) = 0, כלומר f(x) = 1, כלומר e^2x = e^x - 3. בהצבה t = e^x מתקבלת המשוואה t² - t + 3 = 0, שהמבחין שלה Δ = 1 - 12 = -11 < 0 - אין לה פתרון ממשי כלל.
(2) הטענה נכונה. נבדוק את שני קצות תחום ההגדרה x > ℓn 3:
כאשר x → (ℓn 3)⁺ מתקיים e^x - 3 → 0⁺, ולכן ℓn(e^x - 3) → -∞ ומכאן g(x) → +∞: יש אסימפטוטה x = ℓn 3, המאונכת לציר ה־x.
כאשר x → ∞ נוציא e^x מן הסוגר:
g(x) = 2x - ℓn(e^x(1 - 3e^-x)) = 2x - x - ℓn(1 - 3e^-x) = x - ℓn(1 - 3e^-x).
הביטוי ℓn(1 - 3e^-x) שואף ל־ℓn 1 = 0, ולכן g(x) → ∞ - הפונקצייה אינה מתייצבת על שום ערך, ואין אסימפטוטה המאונכת לציר ה־y.
לפיכך יש בסך הכול אסימפטוטה אחת בלבד המאונכת לצירים. (הביטוי האחרון מגלה גם משהו נוסף: הגרף מתקרב לישר המשופע y = x, אך ישר משופע אינו מאונך לאף אחד מן הצירים ואינו נספר כאן.)

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: השאלה בנויה הפוך מן הרגיל: הפונקצייה הפשוטה נתונה תחילה, והפונקצייה המסובכת נבנית ממנה - ולכן הפרמטר a אינו מחושב מנקודה או משטח אלא מן הזהות עצמה, בעזרת חוק הלוגריתמים ℓn A + ℓn B = ℓn(A·B). שני לוגריתמים שווים בקטע שלם רק כאשר הביטויים שבתוכם שווים שם, וזו כל ההצדקה הדרושה. הזהות הזאת עושה גם את העבודה בסעיף ב(2): היא אינה משמרת תחומי הגדרה, כי הצד הימני דורש בנוסף ℓn x, וזה בדיוק מה שמצמצם את התחום. מרגע שהתחום ידוע, הכול נובע מן הטרינום שבתוך הלוגריתם: מקדם ה־x² שלו שלילי, ולכן דרישת החיוביות כולאת את הפונקצייה בתחום חסום משני צדדיו - שתי האסימפטוטות יושבות בקצות התחום, ואין אסימפטוטה אופקית פשוט מפני שאין לאן לשאוף. הסימטרייה שבסעיף ו איננה נוי: הטרינום סימטרי סביב אמצע התחום, ולכן שני האינטגרלים שבפירוק f = g + ℓn x שווים זה לזה, ואפשר לחשב רק אחד מהם ולהכפיל.
א. (1) הלוגריתם מוגדר רק על ביטוי חיובי: 2.5 - x > 0, ולכן x < 2.5.
(2) כאשר x → 2.5^- מתקיים 2.5 - x → 0⁺, ולכן g(x) → -∞: אסימפטוטה x = 2.5.
כאשר x → -∞ מתקיים 2.5 - x → ∞ ולכן g(x) → ∞ - אין אסימפטוטה המאונכת לציר ה־y.
חיתוך עם ציר ה־x: ℓn(2.5 - x) = 0 כאשר 2.5 - x = 1, כלומר (1.5 , 0). חיתוך עם ציר ה־y: g(0) = ℓn 2.5, כלומר (0 , ℓn 2.5) (ℓn 2.5 ≈ 0.92).
(3) g'(x) = -12.5 - x. בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן g'(x) < 0 תמיד: הפונקצייה יורדת בכל תחום הגדרתה, ואין לה נקודות קיצון.
סקיצה: הגרף יורד משמאל לימין, עובר דרך (0 , 0.92) ודרך (1.5 , 0), וצונח ל־-∞ לאורך האסימפטוטה x = 2.5.

ב. (1) נפשט את אגף ימין בעזרת חוק הלוגריתמים:
g(x) + ℓn x = ℓn(2.5 - x) + ℓn x = ℓn(x·(2.5 - x)) = ℓn(2.5x - x²).
מן הנתון שוויון זה שווה ל־f(x) = ℓn(a·x - x²) בכל תחום ההגדרה של f, שהוא קטע שלם. הפונקצייה ℓn היא חד-חד-ערכית, ולכן שוויון הלוגריתמים גורר שוויון הביטויים שבתוכם:
a·x - x² = 2.5x - x² לכל x בקטע, כלומר a·x = 2.5x, ומכיוון שבקטע יש x ≠ 0 מתקבל a = 2.5.
(2) f(x) = ℓn(2.5x - x²), ולכן דורשים 2.5x - x² > 0, כלומר x·(2.5 - x) > 0. מכפלה חיובית כאשר שני הגורמים חיוביים או שניהם שליליים; האפשרות השנייה דורשת x < 0 וגם x > 2.5 - בלתי אפשרי. לכן 0 < x < 2.5.
תחום ההגדרה של g הוא x < 2.5, ולכן תחום f צר יותר בדיוק בחצי-הישר x ≤ 0. הסיבה גלויה בזהות עצמה: אגף ימין הוא g(x) + ℓn x, והאיבר ℓn x דורש x > 0 - תנאי נוסף שאינו קיים ב־g לבדה.

ג. (1) בשני קצות התחום הביטוי 2.5x - x² שואף ל־0 מלמעלה, ולכן f(x) → -∞ גם כאשר x → 0⁺ וגם כאשר x → 2.5^-. האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x: x = 0 ו־x = 2.5.
אסימפטוטה המאונכת לציר ה־y אינה קיימת, והנימוק אינו חישוב אלא תחום ההגדרה עצמו: אסימפטוטה כזאת מתארת התנהגות כאשר x → ±∞, ואילו כאן x כלוא בין 0 ל־2.5 ואינו יכול לשאוף לאינסוף כלל.
(2) לפי כלל השרשרת: f'(x) = 2.5 - 2x2.5x - x². בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה: הנגזרת מתאפסת ב־x = 1.25, חיובית משמאל לנקודה זו ושלילית מימין לה - ולכן זו נקודת מקסימום.
ערך הפונקצייה: f(1.25) = ℓn(2.5·1.25 - 1.25²) = ℓn(3.125 - 1.5625) = ℓn 1.5625. נקודת מקסימום: (1.25 , ℓn 1.5625), כלומר ≈ (1.25 , 0.45).
(3) חיתוך עם ציר ה־x: ℓn(2.5x - x²) = 0, כלומר 2.5x - x² = 1, ומכאן x² - 2.5x + 1 = 0.
x = 2.5 ± 6.25 - 42 = 2.5 ± 1.52, ולכן (0.5 , 0) ו־(2 , 0) (שתיהן בתחום 0 < x < 2.5 ✓).
(סיכום התמונה, שישמש בסעיף ד: הגרף עולה מ־-∞ לצד האסימפטוטה x = 0, חותך את ציר ה־x ב־(0.5 , 0), מגיע למקסימום (1.25 , 0.45), יורד וחותך שוב ב־(2 , 0), וצונח ל־-∞ לצד האסימפטוטה x = 2.5.)

ד. הגרף המתאים הוא גרף II. הנימוקים, לפי סדר הפסילה:
תחום ההגדרה חסום משני צדדיו, ולכן חייבות להופיע שתי אסימפטוטות אנכיות והגרף חייב להיעלם בין שתיהן - וזה פוסל את גרף I, שבו הגרף נמשך שמאלה בלי גבול ויש בו אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
בשני קצות התחום הפונקצייה שואפת ל־-∞ (ולא ל־+∞) - וזה פוסל את גרף IV, שבו הענפים עולים בשני הקצוות.
יש נקודת מקסימום שערכה ℓn 1.5625 > 0, ולכן הגרף חייב לחתוך את ציר ה־x בשתי נקודות - וזה פוסל את גרף III, שכולו מתחת לציר.
נשאר גרף II, ואכן הוא מראה קשת עם מקסימום מעל הציר, שני חיתוכים עם ציר ה־x וצניחה ל־-∞ בשני הקצוות.

ה. (1) נגזור את F לפי כלל המכפלה:
F'(x) = 1·ℓn(2.5 - x) + (x - 2.5)·-12.5 - x - 1.
האיבר האמצעי: (x - 2.5)·-12.5 - x = -(x - 2.5)2.5 - x = 2.5 - x2.5 - x = 1.
לכן F'(x) = ℓn(2.5 - x) + 1 - 1 = ℓn(2.5 - x) = g(x) - כלומר F היא אכן פונקצייה קדומה של g בכל התחום x < 2.5.
(2) לפי סעיף א, g יורדת וחותכת את ציר ה־x רק ב־x = 1.5, ובנקודה x = 0.5 ערכה ℓn 2 ≈ 0.69 > 0. מכאן שהגרף, ציר ה־x והישר x = 0.5 תוחמים תחום אחד בלבד - מ־x = 0.5 ועד x = 1.5 - והוא כולו מעל הציר, ולכן השטח שווה לאינטגרל עצמו.
S = F(1.5) - F(0.5).
F(1.5) = (1.5 - 2.5)·ℓn(2.5 - 1.5) - 1.5 = (-1)·ℓn 1 - 1.5 = -1.5 (שכן ℓn 1 = 0).
F(0.5) = (0.5 - 2.5)·ℓn(2.5 - 0.5) - 0.5 = -2·ℓn 2 - 0.5.
S = -1.5 - (-2·ℓn 2 - 0.5) = -1.5 + 2·ℓn 2 + 0.5, ולכן S = 2·ℓn 2 - 1 ≈ 0.39.
(בדיקת סבירות: התחום ברוחב 1, וגובה הגרף בו יורד מ־ℓn 2 ≈ 0.69 עד 0, ולכן שטח של כ־0.39 - קצת יותר ממחצית המלבן החוסם - סביר ✓.)

ו. (1) הטענה נכונה. נבדוק את ההגדרה של סימטרייה ביחס לישר אנכי: יש להראות שבעבור כל t שבעבורו שתי הנקודות בתחום ההגדרה מתקיים f(1.25 + t) = f(1.25 - t).
נפרק את הביטוי שבתוך הלוגריתם לגורמים: 2.5x - x² = x(2.5 - x). אז
f(1.25 + t) = ℓn((1.25 + t)·(2.5 - 1.25 - t)) = ℓn((1.25 + t)(1.25 - t)) = ℓn(1.5625 - t²);
f(1.25 - t) = ℓn((1.25 - t)·(1.25 + t)) = ℓn(1.5625 - t²).
שני הביטויים זהים, ולכן הגרף סימטרי ביחס לישר x = 1.25. (זה גם מסביר מדוע נקודת המקסימום נמצאת ב־x = 1.25 ומדוע שתי נקודות החיתוך, 0.5 ו־2, מרוחקות ממנו במידה שווה.)
(2) הפונקצייה f חיובית בין שתי נקודות החיתוך ושלילית משני עבריהן, ולכן התחום הסגור היחיד שהגרף וציר ה־x מגבילים הוא זה שבין x = 0.5 ובין x = 2.
נשתמש בפירוק שבנתון: f(x) = g(x) + ℓn x, ולכן
S = ∫_0.5² g(x) dx + ∫_0.5² ℓn x dx.
שני האינטגרלים שווים זה לזה: לפי הסימטרייה שבתת־סעיף (1) ההצבה u = 2.5 - x מעבירה את הקטע [0.5 , 2] אל עצמו ומחליפה בין ℓn(2.5 - x) ובין ℓn x. לכן די לחשב אחד מהם ולהכפיל ב־2.
פונקצייה קדומה של ℓn x היא x·ℓn x - x (בדיקה בגזירה: ℓn x + 1 - 1 = ℓn x ✓), ולכן
∫_0.5² ℓn x dx = (2·ℓn 2 - 2) - (0.5·ℓn 0.5 - 0.5) = 2·ℓn 2 - 2 + 0.5·ℓn 2 + 0.5 = 2.5·ℓn 2 - 1.5
(השתמשנו ב־ℓn 0.5 = -ℓn 2).
לכן S = 2·(2.5·ℓn 2 - 1.5), כלומר S = 5·ℓn 2 - 3 ≈ 3.466 - 3 ≈ 0.466.
(בדיקה עצמאית של האינטגרל השני בעזרת F שבסעיף ה: F(2) - F(0.5) = (-0.5·ℓn 0.5 - 2) - (-2·ℓn 2 - 0.5) = 0.5·ℓn 2 - 2 + 2·ℓn 2 + 0.5 = 2.5·ℓn 2 - 1.5 - אכן אותו ערך ✓.)