מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: המעגל בשאלה הזאת אינו נתון ואינו נבנה מצורה כלשהי: הוא נולד מתנאי על מרחקים. התנאי PA = 2·PB נראה בתחילה כמו משוואה עם שני שורשים, אבל שני האגפים אינם שליליים, ולכן העלאה בריבוע היא פעולה הפיכה ואינה מוסיפה פתרונות זרים - וזה כל הסוד: אחרי ההעלאה בריבוע נשארת משוואה ריבועית פשוטה, ואחרי השלמה לריבוע מתגלה מעגל. שימו לב לדבר שאינו מובן מאליו: המרכז M אינו אמצע הקטע AB. הנקודה B נופלת בתוך המעגל והנקודה A נשארת מחוץ לו, וזו אי־הסימטרייה שמניעה את כל השאלה: היא שנותנת את היחס 2 : 1 בסעיף ב, והיא לבדה שמכריעה את הטענה בסעיף ה. בסעיף ג הנקודה אינה נתונה במיקומה אלא בשטח שהיא יוצרת, ומכיוון שהצלע AB מונחת על ציר ה־x, הגובה אל הצלע הזאת הוא פשוט שיעור ה־y של הנקודה - ולכן תנאי השטח הוא תנאי על y בלבד. ובסעיף ד, השאלה "מדוע ידענו מראש" נענית בהגדרה עצמה: כל נקודה על המעגל, ובכללן N, מקיימת את התנאי שממנו נבנה המעגל.
א. נסמן P (x , y) ונכתוב את שני המרחקים:
PA = (x + 8)² + y² , PB = (x - 7)² + y².
שני האגפים של התנאי אינם שליליים, ולכן PA = 2·PB שקול ל־PA² = 4·PB²:
(x + 8)² + y² = 4[(x - 7)² + y²]
x² + 16x + 64 + y² = 4x² - 56x + 196 + 4y²
0 = 3x² + 3y² - 72x + 132  →  x² + y² - 24x + 44 = 0.
נשלים לריבוע: (x - 12)² - 144 + y² + 44 = 0, כלומר
(x - 12)² + y² = 100.
זהו מעגל שמרכזו M (12 , 0) ואורך רדיוסו R = 10.
בדיקה בשתי נקודות: (2 , 0) - PA = 10 ו־PB = 5 ✓ ; (12 , 10) - PA = 400 + 100 = 500 ו־PB = 25 + 100 = 125, ואכן 500 = 4·125 ✓.
שימו לב: MA = 20 ו־MB = 5, ולכן M רחוק מ־A יותר מן הרדיוס וקרוב אל B פחות מן הרדיוס.

ב. (1) על ציר ה־x מתקיים y = 0, ולכן (x - 12)² = 100, כלומר x - 12 = ±10:
C (2 , 0) ו־D (22 , 0).
(2) שלוש הנקודות A , C , B מונחות על ציר ה־x, ומכיוון ש־-8 < 2 < 7 הנקודה C נמצאת בין A ובין B. אורכי הקטעים:
AC = 2 - (-8) = 10 ו־CB = 7 - 2 = 5, ולכן AC : CB = 10 : 5 = 2 : 1 - חלוקה פנימית ביחס 2 : 1.
בעבור D: 22 > 7, ולכן D אינה בין A ובין B אלא על המשך הקטע AB מעבר ל־B. אורכי הקטעים:
AD = 22 - (-8) = 30 ו־DB = 22 - 7 = 15, ולכן AD : DB = 30 : 15 = 2 : 1 - אותו יחס עצמו, הפעם כחלוקה חיצונית.
הערה: התוצאה הזאת הייתה חייבת להתקבל. C ו־D נמצאות על המעגל, ולכן הן מקיימות את התנאי שממנו נבנה המעגל, CA = 2·CB ו־DA = 2·DB; מכיוון שכולן על ציר ה־x, המרחקים האלה הם בדיוק אורכי הקטעים.

ג. הצלע AB מונחת על ציר ה־x, ואורכה AB = 7 - (-8) = 15. הנקודה P נמצאת מעל הציר, ולכן הגובה מן P אל הצלע AB שווה לשיעור ה־y שלה:
S_PAB = AB·y2 = 15y2 = 45  →  y = 6.
נציב במשוואת המעגל: (x - 12)² + 36 = 100, כלומר (x - 12)² = 64 ו־x - 12 = ±8:
K (4 , 6) ו־L (20 , 6).
(שתי הנקודות (4 , -6) ו־(20 , -6) נותנות אף הן שטח 45, אך הן מתחת לציר ה־x ולכן נפסלות.)
בדיקה בתנאי המקורי: KA = 12² + 6² = 180 = 65 ו־KB = 3² + 6² = 45 = 35, ואכן KA = 2·KB ✓.
LA = 28² + 6² = 820 ו־LB = 13² + 6² = 205, ואכן 820 = 4·205 ✓.

ד. (1) שיפוע הישר דרך K (4 , 6) ו־B (7 , 0): m = 0 - 67 - 4 = -2, ולכן y - 0 = -2(x - 7), כלומר 2x + y = 14.
נציב y = 14 - 2x במשוואת המעגל:
(x - 12)² + (14 - 2x)² = 100  →  x² - 24x + 144 + 4x² - 56x + 196 = 100  →  5x² - 80x + 240 = 0  →  x² - 16x + 48 = 0,
ומכאן (x - 4)(x - 12) = 0. הפתרון x = 4 הוא הנקודה K עצמה, והפתרון השני הוא x = 12 ו־y = 14 - 24 = -10:
N (12 , -10).
(שיעור ה־x של N שווה לשיעור ה־x של המרכז, ולכן N היא הנקודה הנמוכה ביותר במעגל.)
(2) NA = (12 + 8)² + 10² = 400 + 100 = 500 = 105 ≈ 22.36
NB = (12 - 7)² + 10² = 25 + 100 = 125 = 55 ≈ 11.18
ואכן NA = 2·NB.
מדוע ידענו מראש: המעגל שמצאנו בסעיף א הוא בדיוק אוסף כל הנקודות שהמרחק שלהן מ־A גדול פי שניים מן המרחק שלהן מ־B. הנקודה N נמצאת על המעגל, ולכן היא מקיימת את התנאי - בלי שום חישוב.
בדיקה נוספת: KB = 35 ו־BN = 55, וסכומם 85; ואכן KN = 8² + 16² = 320 = 85 ✓, כלומר B נמצאת בין K ובין N, כמצופה.

ה. הטענה נכונה.
המרחק בין מרכז המעגל ובין B הוא MB = |12 - 7| = 5, והוא קטן מן הרדיוס R = 10, ולכן הנקודה B נמצאת בתוך המעגל.
ניקח ישר כלשהו העובר דרך B, ונסמן ב־d את המרחק בין M ובין הישר הזה. המרחק בין נקודה ובין ישר הוא המרחק הקצר ביותר בין אותה נקודה ובין נקודות הישר, והרי B עצמה נמצאת על הישר, ולכן
d ≤ MB = 5 < 10 = R.
ישר שמרחקו ממרכז המעגל קטן מן הרדיוס חותך את המעגל בשתי נקודות שונות, ולכן כל ישר העובר דרך B הוא חותך, כנטען.
דוגמה מסעיף ד: הישר 2x + y = 14 עובר דרך B, ואכן פגש את המעגל פעמיים, ב־K וב־N.
לשם השוואה, בעבור A הטענה המקבילה אינה נכונה: MA = |12 - (-8)| = 20 > 10, כלומר A מחוץ למעגל, והישר x = -8 העובר דרכה מרוחק 20 מן המרכז ואינו פוגש את המעגל כלל.

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: שלושת המקצועות היוצאים מן הקודקוד O מאונכים בזוגות, ולכן הם בסיס נוח לכל הווקטורים בפירמידה, וסעיף א הוא כלל המשולש בלבד. בסעיף ב אין אורכים נתונים כלל: שלושת שטחי הפאות נותנים שלוש מכפלות של זוגות אורכים, ואת מערכת המשוואות הזאת פותרים בלי משוואה ריבועית - מכפילים את שלוש המשוואות ומקבלים את ריבוע המכפלה של שלושת האורכים, ואז כל אורך מתקבל מחלוקה. אחרי המעבר לשיעורים אפשר להימנע מחישוב אורך גובה כלשהו: את שטח המשולש ABC מקבלים מן המכפלה הסקלרית - היא נותנת את הקוסינוס של הזווית, וממנו את הסינוס. את משוואת המישור קוראים ישר מצורת המקטעים, שכן שלושת הקודקודים יושבים כל אחד על ציר אחר. בסעיף ה כדאי לשים לב שהמרחק מן O אל המישור והמקצוע OC הם ניצב ויתר באותו משולש ישר־זווית, ולכן הזווית מתקבלת מיחס פשוט. בטענה II מסתתר משפט פיתגורס התלת־ממדי, וכל הנתונים לבדיקתו כבר חושבו.
א. לפי כלל המשולש: AB = OB - OA = v - u.
הנקודה N היא אמצע BC, ולכן ON = 12(v + w), ומכאן
AN = ON - OA = 12v + 12w - u.

ב. נסמן OA = a, OB = b, OC = c. כל אחת משלוש הפאות היוצאות מן O היא משולש ישר־זווית שניצביו שני מקצועות, ולכן:
a·b2 = 6 → ab = 12 ;  a·c2 = 18 → ac = 36 ;  b·c2 = 24 → bc = 48.
נכפול את שלוש המשוואות: (abc)² = 12·36·48 = 20736, ומכיוון שהאורכים חיוביים abc = 144.
מכאן: c = 144ab = 14412 = 12 , b = 144ac = 14436 = 4 , a = 144bc = 14448 = 3.
כלומר OA = 3 , OB = 4 , OC = 12. בדיקה: 3·4 = 12 ✓ , 3·12 = 36 ✓ , 4·12 = 48 ✓.

ג. (1) A (3 , 0 , 0) , B (0 , 4 , 0) , C (0 , 0 , 12).
AB = 3² + 4² = 5 ; AC = 3² + 12² = 153 = 317 ≈ 12.37 ; BC = 4² + 12² = 160 = 410 ≈ 12.65.
(2) AB = (-3 , 4 , 0) , AC = (-3 , 0 , 12), ולכן המכפלה הסקלרית היא (-3)(-3) + 4·0 + 0·12 = 9.
cos(∠BAC) = 95·153 ≈ 0.1455, ומכאן ∠BAC ≈ 81.6°.
sin(∠BAC) = 1 - 0.1455² ≈ 0.9894, ולכן
S_ABC = AB·AC·sin(∠BAC)2 = 5·153·0.98942 ≈ 30.59.
הערך המדויק: S_ABC = 1225·153 - 9² = 123744 = 626, כלומר S_ABC = 626 ≈ 30.59.

ד. שלושת הקודקודים יושבים על שלושת הצירים, ולכן בצורת המקטעים: x3 + y4 + z12 = 1, ואחרי הכפלה ב־12: 4x + 3y + z = 12.
בדיקה: A: 4·3 = 12 ✓ ; B: 3·4 = 12 ✓ ; C: 12 ✓.
המרחק מן הראשית: d = |0 + 0 + 0 - 12|4² + 3² + 1² = 1226 ≈ 2.35.
בדיקה בנפח: הנפח הוא V = 13·3·42·12 = 24, וגם V = 13·S_ABC·d = 13·626·1226 = 24 ✓.

ה. נסמן ב־H את היטל הקודקוד O על המישור ABC. במשולש OHC הזווית ∠OHC ישרה, והזווית שבין המקצוע OC ובין המישור היא הזווית φ = ∠OCH.
sin φ = OHOC = 121226 = 126 ≈ 0.1961, ולכן φ ≈ 11.3°.
(אותה תוצאה בדרך הווקטורית: הנורמל למישור הוא (4 , 3 , 1), ווקטור הכיוון של OC הוא (0 , 0 , 1), ולכן sin φ = |0 + 0 + 1|26·1 = 126.)

ו. טענה I - אינה נכונה. ישר מאונך למישור אם ורק אם וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל של המישור. וקטור הכיוון של OC הוא (0 , 0 , 1), והנורמל הוא (4 , 3 , 1) - ואין ביניהם יחס קבוע (0 : 4 ≠ 1 : 1). כפי שראינו בסעיף ה הזווית היא 11.3° ולא 90°. (מסקנה גאומטרית: אף אחד משלושת המקצועות אינו מאונך לפאה ABC.)
טענה II - נכונה. S_ABC² = (626)² = 36·26 = 936, ומן העבר האחר 6² + 18² + 24² = 36 + 324 + 576 = 936 ✓.
זהו משפט פיתגורס התלת־ממדי, והוא נובע ישירות מן הנתונים: בסימוני סעיף ב, S_ABC² = (ab)² + (ac)² + (bc)²4, וזה בדיוק סכום ריבועי שטחי שלוש הפאות הישרות־זווית.

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: משוואה שכתובה בעזרת z והצמוד שלו הופכת למשוואה רגילה ברגע שמציבים z = x + iy, מפני ששני הביטויים שמופיעים בה הם ממשיים תמיד: z·z̄ = x² + y² ו־z + z̄ = 2x. שימו לב שהמעגל שמתקבל כאן אינו מרוכז בראשית הצירים, ולכן המודול אינו קבוע עליו - וזו בדיוק הסיבה שסעיף ב נפתר בסדר הפוך מן הצפוי: קודם מוצאים את הזווית מן התנאי על w³ (התנאי הזה אינו תלוי כלל ב־r), ורק אחר כך מציבים את השיעורים הקוטביים במשוואת המעגל ומקבלים משוואה פשוטה ב־r. בסעיף ג המשוואה עצמה איננה נתונה: היא נבנית מן הנקודות, ומה שמאפשר זאת הוא שההעלאה בחזקה שלישית מכפילה את הזווית ב־3, ולכן סיבוב ב־120° הופך לסיבוב ב־360° בדיוק - כלומר אינו משנה דבר בחזקה השלישית. בסעיף ה כדאי להיזהר: העובדה שכל שלוש הנקודות נמצאות על מעגל אחד שמרכזו בראשית איננה אומרת דבר על המעגל שבסעיף א, שמרכזו במקום אחר.
א. נציב z = x + iy ו־z̄ = x - iy:
z·z̄ = (x + iy)(x - iy) = x² + y² , z + z̄ = 2x.
המשוואה הופכת ל־x² + y² = 4x, ואחרי השלמה לריבוע: (x - 2)² + y² = 4.
זהו מעגל שמרכזו (2 , 0) ורדיוסו 2 (והוא עובר דרך ראשית הצירים).

ב. (1) נקודה ברביע הראשון מקיימת x > 0 וגם y > 0. בהצגה הקוטבית x = r·cos θ ו־y = r·sin θ, ומכיוון ש־r > 0 נובע מכאן cos θ > 0 וגם sin θ > 0 - וזה מתקיים בדיוק בתחום 0° < θ < 90°.
כעת לתנאי השני. לפי משפט דה־מואבר w³ = r³(cos 3θ + i·sin 3θ), והמודול r³ חיובי תמיד, ולכן התנאי הזה אינו תלוי כלל ב־r אלא בזווית בלבד. מספר הוא מדומה טהור שחלקו המדומה חיובי אם ורק אם זוויתו היא 90° עד כדי כפולות שלמות של 360°: 3θ = 90° + 360°k.
מן התחום שקיבלנו נובע 0° < 3θ < 270°, ולכן k = 0 היא האפשרות היחידה: 3θ = 90°, כלומר θ = 30°.
(2) שיעורי הנקודה המייצגת את w הם x = r·cos30° = 32r ו־y = r·sin30° = 12r. נציב במשוואת המקום הגאומטרי x² + y² = 4x:
34r² + 14r² = 4·32r  →  r² = 23·r  →  r(r - 23) = 0.
מכיוון ש־r > 0 מתקבל r = 23 ≈ 3.46.
(3) w = 23(cos30° + i·sin30°) = 23(32 + 12i), כלומר w = 3 + i3.
בדיקה: |w| = 9 + 3 = 12 = 23 ✓ , והנקודה (3 , 3) על המעגל: 9 + 3 = 12 = 4·3 ✓.

ג. (1) סיבוב סביב ראשית הצירים מוסיף לזווית ואינו משנה את המודול, ולכן שלושת המספרים הם
z_k = 23(cos(30° + 120°k) + i·sin(30° + 120°k)), k = 0 , 1 , 2, כלומר הזוויות 30° , 150° , 270°.
בצורה a + bi:
z₀ = 3 + i3 ; z₁ = 23(-32 + 12i) = -3 + i3 ; z₂ = 23(0 - i) = -23·i.
(2) נעלה כל אחד מהם בחזקה שלישית לפי משפט דה־מואבר:
z_k³ = (23)³(cos(90° + 360°k) + i·sin(90° + 360°k)) = 243(cos90° + i·sin90°) = 243·i, שכן תוספת של 360°k אינה משנה את המספר.
כל שלושת המספרים מקיימים אפוא את המשוואה z³ = 243·i, כלומר c = 243·i ≈ 41.57i. למשוואה מדרגה שלישית יש בדיוק שלושה פתרונות, ושלושת המספרים שלנו שונים זה מזה, ולכן הם כל פתרונותיה.
בדיקה ישירה: (3 + i3)² = 9 + 6i3 - 3 = 6 + 6i3, ולכן (3 + i3)³ = (6 + 6i3)(3 + i3) = 18 + 6i3 + 18i3 - 18 = 243·i ✓.

ד. (1) לשלושת המספרים אותו מודול 23, ולכן שלוש הנקודות נמצאות על מעגל אחד שמרכזו בראשית ורדיוסו 23. ההפרש בין זוויות סמוכות הוא 120° קבוע, ולכן שלוש הנקודות מחלקות את המעגל לשלוש קשתות שוות, והמיתרים הנשענים עליהן שווים - כלומר המשולש שווה־צלעות.
אורך הצלע: נחשב את המרחק בין (3 , 3) ובין (-3 , 3): 6² + 0² = 6.
בדיקה עם צלע שנייה: המרחק בין (3 , 3) ובין (0 , -23) הוא 3² + (33)² = 9 + 27 = 6 ✓. לכן אורך הצלע 6.
(2) שטח משולש שווה־צלעות שאורך צלעו s הוא 34s², ולכן
S = 34·36 = 93 ≈ 15.59, כלומר S = 93.

ה. הטענה אינה נכונה. נבדוק כל נקודה במשוואה x² + y² = 4x:
z₀ = (3 , 3): 9 + 3 = 12 ומן העבר האחר 4·3 = 12 - מתקיים (וזה מובן, שכן w נבחר על המקום הגאומטרי).
z₁ = (-3 , 3): 9 + 3 = 12, אבל 4·(-3) = -12 - אינו מתקיים.
z₂ = (0 , -23): 0 + 12 = 12, אבל 4·0 = 0 - אינו מתקיים.
לכן רק נקודה אחת מן השלוש, הנקודה המייצגת את w עצמו, נמצאת על המקום הגאומטרי.
הנימוק הכללי: שלוש הנקודות נמצאות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 23, ואילו המקום הגאומטרי שבסעיף א הוא מעגל שמרכזו (2 , 0) ורדיוסו 2. שני מעגלים שונים נחתכים לכל היותר בשתי נקודות, ולכן לא ייתכן שכל שלוש הנקודות יימצאו על שניהם.

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: שני הקבועים נעלמים, ולכן כדאי להיפטר מ־A לפני שמחפשים את k: חלוקת שתי המדידות זו בזו מבטלת אותו, ומשאירה משוואה מעריכית אחת בלבד. אחרי שנמצא k מציבים מדידה אחת וקוראים את A. סעיף ג הוא התכונה שמאפיינת כל דעיכה מעריכית - הקצב פרופורציוני לכמות עצמה - ולכן אין צורך לחשב מעריכים מחדש כדי לקבל אותו. הלב של השאלה הוא סעיף ה: לכאורה הכמות הכוללת היא סכום של שתי פונקציות שונות, אבל אחרי הוצאת גורם משותף מתברר שהיא דעיכה מעריכית אחת, עם אותו k בדיוק, שכאילו התחילה בזמן t = 6 מכמות של 50 מ"ג. מרגע שזה ברור, סעיף ו נענה בלי חישוב נוסף: הזמן שבו כמות יורדת למחציתה תלוי אך ורק ב־k.
א. נחלק את שתי המדידות זו בזו:
y(9)y(3) = A·e^-9kA·e^-3k = e^-6k, ומן הנתון e^-6k = 520 = 14.
נפעיל ℓn: -6k = ℓn14 = -ℓn 4, ולכן k = ℓn 46 = ℓn 23 ≈ 0.2310.
נציב במדידה הראשונה: 20 = A·e^-3k, ומכיוון ש־3k = ℓn 2 מתקבל e^-3k = 12, ולכן A = 40 מ"ג.
בדיקה: y(3) = 40·12 = 20 ✓ ; y(9) = 40·e^-3ℓn2 = 40·18 = 5 ✓.

ב. 40·e^-kt = 6  →  e^-kt = 0.15  →  -kt = ℓn 0.15 ≈ -1.8971.
t = 1.89710.2310 ≈ 8.21, כלומר כעבור כ־8.21 שעות (כ־8 שעות ו־13 דקות).
בדיקה: 40·e^{-0.2310·8.21} ≈ 40·0.150 = 6.00 ✓.

ג. (1) גוזרים לפי כלל השרשרת: y'(t) = A·e^-kt·(-k) = -k·(A·e^-kt) = -k·y(t) ✓.
(2) y'(3) = -k·y(3) = -0.2310·20 ≈ -4.62.
כלומר כמות התרופה יורדת בקצב של כ־4.62 מ"ג לשעה באותו רגע (הסימן השלילי מציין ירידה).

ד. (1) המנה הראשונה ניטלה בזמן 0 והמנה השנייה בזמן 6, ולכן "הגיל" של המנה השנייה בזמן t הוא t - 6:
Q(t) = 40·e^-kt + 40·e^{-k(t - 6)} , בעבור t ≥ 6.
(2) Q(9) = 40·e^-9k + 40·e^-3k = 40·18 + 40·12 = 5 + 20, כלומר Q(9) = 25 מ"ג.

ה. (1) נכתוב את המעריך של האיבר הראשון ביחס לזמן t - 6: -kt = -k(t - 6) - 6k, ולכן 40·e^-kt = 40·e^-6k·e^{-k(t - 6)}.
מכיוון ש־6k = 2ℓn 2 מתקבל e^-6k = 14, ולכן האיבר הראשון שווה 10·e^{-k(t - 6)}.
נחבר את שני האיברים: Q(t) = 10·e^{-k(t - 6)} + 40·e^{-k(t - 6)} = 50·e^{-k(t - 6)} ✓.
פירוש התוצאה: מרגע המנה השנייה מתנהגת הכמות הכוללת כדעיכה מעריכית יחידה, עם אותו קבוע k, שכאילו החלה בזמן t = 6 מכמות של 50 מ"ג. (בדיקה בזמן t = 9: 50·e^-3k = 50·12 = 25 ✓, כמו בסעיף ד.)
(2) 50·e^{-k(t - 6)} = 20  →  e^{-k(t - 6)} = 0.4  →  -k(t - 6) = ℓn 0.4 ≈ -0.9163.
t - 6 = 0.91630.2310 ≈ 3.97, ולכן t ≈ 9.97.
כלומר כעבור כ־9.97 שעות מרגע נטילת המנה הראשונה (כ־3.97 שעות מרגע המנה השנייה).
בדיקה: 50·e^{-0.2310·3.97} ≈ 50·0.400 = 20.0 ✓.

ו. הטענה אינה נכונה.
אחרי המנה הראשונה: y(t) = 40·e^-kt, והכמות יורדת למחציתה כאשר e^-kT = 12, כלומר T = ℓn 2k. מכיוון ש־k = ℓn 23, מתקבל T = 3 שעות.
אחרי המנה השנייה: לפי סעיף ה Q(t) = 50·e^{-k(t - 6)} - אותה צורת דעיכה, עם אותו k, ורק המקדם שונה. הכמות יורדת למחציתה כאשר e^-kT = 12, ושוב T = 3 שעות.
המקדם שלפני החזקה מצטמצם בחלוקה, ולכן זמן מחצית החיים תלוי אך ורק ב־k ואינו תלוי בכמות ההתחלתית. בשני המקרים הוא 3 שעות.
(המחשה: Q(6) = 50 ו־Q(9) = 25, ואכן חלפו 3 שעות.)

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: הלוגריתם קובע לבדו את תחום ההגדרה, והמכנה קובע לבדו את האסימפטוטה האנכית - וכאן שניהם מצביעים על אותו מקום, x = 0, ולכן נותרת רק שאלה אחת: לאיזה כיוון בורח הגרף שם. בסעיף ב הפרמטר משוחזר מנקודת החיתוך עם הציר, ולא מנקודת קיצון או משיפוע, ולכן די לפתור משוואה לוגריתמית פשוטה. הנגזרת בסעיף ג מצטמצמת יפה, והמונה שנשאר תלוי רק ב־ℓn x - ומכאן שנקודת הקיצון יושבת בדיוק ב־x = 1. בסעיף ה אין צורך למצוא קדומה: הקדומה נתונה, ועליכם רק לגזור אותה ולוודא. שימו לב שבמשוואת השטח החסם התחתון הוא נקודת החיתוך עם הציר ולא x = 0, שהרי שם הגרף בורח למינוס אין־סוף. בסעיף ו כל החישוב הופך למשוואה ריבועית פשוטה ב־ℓn t, מפני שהקדומה עצמה היא ריבוע.
א. (1) הלוגריתם מוגדר רק בעבור ארגומנט חיובי, וגם המכנה מחייב x ≠ 0, ולכן x > 0.
(2) אסימפטוטה אנכית: כאשר x → 0⁺ המונה שואף ל־-∞ והמכנה שואף ל־0 דרך ערכים חיוביים, ולכן f(x) → -∞. מכאן x = 0 אסימפטוטה אנכית (בעבור כל a).
אסימפטוטה אופקית: כאשר x → ∞ המכנה גדל מהר יותר מן הלוגריתם שבמונה, ולכן f(x) → 0, כלומר y = 0.
(3) עם ציר ה־x: a + ℓn x = 0 → ℓn x = -a →  (e^-a , 0).
עם ציר ה־y: הערך x = 0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־y.

ב. לפי סעיף א(3) שיעור החיתוך הוא x = e^-a, ומן הנתון e^-a = 1e = e^-1, ולכן a = 1.
הפונקצייה היא אפוא f(x) = 1 + ℓn xx.

ג. (1) לפי כלל המנה:
f'(x) = 1x·x - (1 + ℓn x)·1x² = 1 - 1 - ℓn xx², כלומר f'(x) = -ℓn xx².
(2) f'(x) = 0 → ℓn x = 0 → x = 1, ו־f(1) = 1 + 01 = 1.
המכנה x² חיובי תמיד, ולכן הסימן של הנגזרת הוא הסימן של -ℓn x: משמאל ל־1 מתקיים ℓn x < 0 ולכן f' > 0, ומימין ל־1 מתקיים f' < 0. זהו מעבר מעלייה לירידה, ולכן (1 , 1) היא נקודת מקסימום.
(3) עלייה: 0 < x < 1 ; ירידה: x > 1.

ד. הסקיצה: ענף יחיד בתחום x > 0 בלבד. משמאל הגרף בורח ל־-∞ לאורך ציר ה־y, חוצה את ציר ה־x בנקודה (1e , 0) ≈ (0.37 , 0), עולה עד נקודת המקסימום (1 , 1), ומשם יורד ומתקרב לציר ה־x מלמעלה בלי לחתוך אותו שוב (שכן 1 + ℓn x > 0 בכל x > 1e).

ה. (1) נגזור את F(x) לפי כלל השרשרת:
F'(x) = 12·2(1 + ℓn x)·1x = 1 + ℓn xx = f(x) ✓, ולכן F(x) היא פונקצייה קדומה של f(x) בתחום x > 0.
(2) הגרף חוצה את ציר ה־x ב־x = 1e ונמצא מעליו עד x = 1, ולכן השטח נמדד בתחום 1e ≤ x ≤ 1:
S = F(1) - F(1e) = 12(1 + 0)² - 12(1 - 1)² = 12 - 0, כלומר S = 0.5.

ו. הטענה נכונה.
בעבור t > 1 הגרף נמצא מעל ציר ה־x בכל התחום 1e ≤ x ≤ t, ולכן
S(t) = F(t) - F(1e) = 12(1 + ℓn t)² - 0.
נדרוש S(t) = 9·0.5 = 4.5:
12(1 + ℓn t)² = 4.5  →  (1 + ℓn t)² = 9  →  1 + ℓn t = 3 או 1 + ℓn t = -3.
האפשרות השנייה נותנת ℓn t = -4, כלומר t = e^-4 ≈ 0.018 < 1, והיא נפסלת מן התנאי t > 1.
האפשרות הראשונה נותנת ℓn t = 2, כלומר t = e² ≈ 7.39, והיא אכן גדולה מ־1.
בדיקה: S(e²) = 12(1 + 2)² = 4.5 = 9·0.5 ✓.