מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: ההיפרבולה איננה נתונה במשוואה, אלא בשני נתונים גאומטריים, ולכן העבודה הראשונה היא לתרגם כל אחד מהם לתנאי אלגברי. הנתון שהאסימפטוטות מאונכות זו לזו פירושו שמכפלת השיפועים שלהן שווה -1, והשיפועים האלה הם ba ו־-ba; מכאן נובע מיד a = b, וכל המשוואה תלויה בנעלם אחד בלבד - שאותו קובעת הנקודה A. שימו לב לרווח שנפתח כאן: כאשר a = b המשוואה הקנונית מתקצרת לצורה x² - y² = a², וכל סעיף בהמשך חוזר אל אותו הפרש x² - y². בסעיפים ב ו־ג אין צורך בשום כלי חדש: את משוואת הישר מציבים בכל אחת משתי משוואות האסימפטוטות, ואת שני המרחקים משווים ישירות. בסעיף ד משתלם לזכור שהאסימפטוטות מאונכות, ולכן המשולש OMN ישר־זווית, ושטחו הוא מחצית מכפלת שני הניצבים - בלי לחפש גובה ובלי נוסחה כללית. סעיף ה נראה כאילו הוא דורש חקירה של מרחק, אבל הצבה אחת, y² = x² - 36, הופכת את המרחק לביטוי ב־x² בלבד, והתחום x² ≥ 36 מכריע את הכול.
א. (1) בהיפרבולה x²a² - y²b² = 1 משוואות האסימפטוטות הן y = bax ו־y = -bax. שני ישרים מאונכים זה לזה אם ורק אם מכפלת שיפועיהם היא -1:
ba·(-ba) = -1, כלומר -b²a² = -1, ומכאן b² = a².
מכיוון ש־a > 0 ו־b > 0, מתקבל a = b.
לכן משוואת ההיפרבולה היא x²a² - y²a² = 1, ואחרי כפל ב־a² היא מקבלת את הצורה הקצרה x² - y² = a².
נציב את הנקודה A (10 , 8):  a² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36.
משוואת ההיפרבולה: x²36 - y²36 = 1, כלומר x² - y² = 36.
(2) a = b = 6.
האסימפטוטות: y = x ו־y = -x (ואכן 1·(-1) = -1, כנדרש).
הקודקודים: (6 , 0) ו־(-6 , 0).
בהיפרבולה c² = a² + b² = 36 + 36 = 72, ולכן c = 62 ≈ 8.49,
והמוקדים הם F₁ (62 , 0) ו־F₂ (-62 , 0).

ב. (1) הקודקוד השמאלי הוא C (-6 , 0). שיפוע הישר AC:
m = 8 - 010 - (-6) = 816 = 12.
דרך הנקודה C:  y - 0 = 12(x + 6), כלומר y = 12x + 3.
בדיקה: הצבת x = 10 נותנת y = 5 + 3 = 8 - אכן הנקודה A ✓
(2) הנקודה M היא פתרון המערכת y = 12x + 3 ו־y = x:
x = 12x + 3, ומכאן 12x = 3 ו־x = 6.  M (6 , 6).
הנקודה N היא פתרון המערכת y = 12x + 3 ו־y = -x:
-x = 12x + 3, ומכאן -1.5x = 3 ו־x = -2, ולכן y = 2.  N (-2 , 2).

ג. נחשב את שני המרחקים לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:
AM = (10 - 6)² + (8 - 6)² = 16 + 4 = 20 = 25,
CN = (-6 - (-2))² + (0 - 2)² = 16 + 4 = 20 = 25.
שני המרחקים שווים, ולכן AM = CN (שניהם 25 ≈ 4.47).
מבט שני, שמסביר מדוע זה קרה: ארבע הנקודות C , N , M , A נמצאות כולן על הישר AC, ולפי שיעורי ה־x שלהן (-6 , -2 , 6 , 10) זהו גם הסדר שלהן על הישר. נחשב שני אמצעים:
אמצע AC הוא (10 + (-6)2 , 8 + 02) = (2 , 4),
אמצע MN הוא (6 + (-2)2 , 6 + 22) = (2 , 4).
לשני הקטעים יש אותו אמצע, ולכן הקטעים העודפים בשני הקצוות שווים: AM = CN.
(הערה: אין כאן מקריות מספרית. נציב ישר כללי y = mx + k ב־x² - y² = 36 ונקבל (1 - m²)x² - 2mkx - (k² + 36) = 0, שסכום שורשיו 2mk1 - m². הצבת אותו ישר בשתי האסימפטוטות נותנת x = k1 - m ו־x = -k1 + m, שסכומם 2mk1 - m² - אותו סכום בדיוק. לכן לכל מיתר של היפרבולה ולקטע שהאסימפטוטות חותכות עליו יש תמיד אותו אמצע.)

ד. (1) הנקודה M נמצאת על האסימפטוטה y = x והנקודה N על האסימפטוטה y = -x, ולכן הקטעים OM ו־ON מונחים על שתי האסימפטוטות. האסימפטוטות מאונכות זו לזו (זה היה הנתון, ואכן 1·(-1) = -1), ולכן OM ⊥ ON.
OM = 6² + 6² = 72 = 62  ,  ON = (-2)² + 2² = 8 = 22.
המשולש OMN ישר־זווית בקודקוד O, ולכן שני הניצבים הם OM ו־ON:
S = 12·62·22 = 12·24 = 12.  S = 12.
בדיקה בעזרת משפט פיתגורס: MN = (6 - (-2))² + (6 - 2)² = 64 + 16 = 80, ואכן OM² + ON² = 72 + 8 = 80 = MN² ✓
(2) רדיוס המעגל הוא המרחק מן הראשית אל מוקד, כלומר OF₁ = c = 62, ומשוואתו x² + y² = 72.
הצבת M (6 , 6):  6² + 6² = 36 + 36 = 72 ✓
לכן הנקודה M נמצאת על המעגל (וזה בדיוק החישוב OM = 62 שכבר עשינו בסעיף (1)).
(הערה: M (6 , 6) היא הנקודה (a , b) של ההיפרבולה הזאת, והמרחק מן הראשית אל (a , b) הוא a² + b² = c בכל היפרבולה - זו הסיבה ש־c הוא אורך האלכסון של המלבן שצלעותיו 2a ו־2b.)

ה. הטענה אינה נכונה.
תהי P (x , y) נקודה כלשהי על ההיפרבולה, אז y² = x² - 36. מכיוון ש־y² ≥ 0, נובע מכאן x² ≥ 36 - כלומר כל נקודות ההיפרבולה מקיימות |x| ≥ 6.
נחשב את ריבוע המרחק מן הראשית ונשתמש באותה הצבה:
OP² = x² + y² = x² + (x² - 36) = 2x² - 36 ≥ 2·36 - 36 = 36,
ולכן OP ≥ 6 בעבור כל נקודה על ההיפרבולה.
שוויון מתקבל רק כאשר x² = 36, כלומר בשני הקודקודים (6 , 0) ו־(-6 , 0), ושם OP = 6 בדיוק. אין אפוא על ההיפרבולה אף נקודה שמרחקה מראשית הצירים קטן מ־6, והטענה נשללת.
נימוק גאומטרי שקול: מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו R < 6 כלוא כולו ברצועה |x| < 6, ואילו ההיפרבולה נמצאת כולה מחוץ לרצועה הזאת, ולכן אין להם אף נקודה משותפת.

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: במנסרה ישרה כל מקצוע צדדי מאונך לשני מישורי הבסיסים, ולכן כל אלכסון של המנסרה יושב במשולש ישר־זווית אחד ויחיד: ניצב אחד הוא אלכסון הבסיס, הניצב השני הוא הגובה, וההיטל על מישור הבסיס הוא בדיוק אלכסון הבסיס. מכאן שכל השאלה נשענת על מה שקורה בבסיס, והצעד הראשון הוא לפרק את המעוין. אלכסוני מעוין מאונכים וחוצים זה את זה, ולכן הם מחלקים אותו לארבעה משולשים ישרי־זווית חופפים שבכל אחד מהם היתר הוא הצלע - ומשם נופלים שני האלכסונים כפונקצייה של α בשורה אחת. בסעיף ד המפתח הוא משפט שלושת האנכים: AO מאונך ל־BD בבסיס, והוא ההיטל של A₁O, ולכן גם המשופע מאונך ל־BD - וזה נותן בבת אחת גם את הגובה במשולש וגם את הזווית הדו־מישורית. סעיף ה אינו דורש חישוב חדש כלל: הוא רק משווה שני טנגנסים שהמונה שלהם זהה.
א. (1) במעוין כל ארבע הצלעות שוות, ובפרט הוא מקבילית - ולכן אלכסוניו חוצים זה את זה. המשולש ABD שווה־שוקיים (AB = AD = 10), והקטע AO הוא התיכון לבסיס BD, ולכן הוא גם הגובה אליו וגם חוצה את הזווית ∠BAD. מכאן ש־האלכסונים מאונכים זה לזה, וש־∠BAO = α.
במשולש ישר־הזווית ABO (∠AOB = 90°), היתר הוא הצלע AB = 10:
BO = AB·sin α = 10·sin α , AO = AB·cos α = 10·cos α, ולכן
BD = 2·BO = 20·sin α  ו־  AC = 2·AO = 20·cos α.
(2) שטח מעוין הוא מחצית מכפלת אלכסוניו:
S = 12·AC·BD = 12·20·cos α·20·sin α = 200·sin α·cos α, כלומר S = 100·sin 2α (ואכן זהו גם AB·AD·sin(∠BAD) = 100·sin 2α).

ב. (1) מן הביטוי שבסעיף א: 20·sin α = 10, ולכן sin α = 0.5 ומכאן α = 30° (בתחום הנתון זה הפתרון היחיד שגם 2α שלו זווית של מעוין), ולכן ∠BAD = 60°.
AC = 20·cos 30° = 20·32, כלומר AC = 103 ≈ 17.32 ס"מ.
(בדיקה: BD = 10 שווה לצלע, ואכן המשולש ABD הוא שווה־צלעות, כמתחייב מזווית של 60° בין שתי שוקיים שוות ✓)
(2) שטח הבסיס: S = 100·sin 60° = 503 ≈ 86.60 סמ"ר.
נפח המנסרה: V = S·h = 503·10 = 5003 ≈ 866.0 סמ"ק.
שטח המעטפת: היקף הבסיס כפול הגובה, 4·10·10 = 400 סמ"ר.
שטח הפנים: 400 + 2·503 = 400 + 1003 ≈ 573.2 סמ"ר.

ג. (1) המנסרה ישרה, ולכן כל מקצוע צדדי מאונך למישור הבסיס ואורכו 10.
המשולש ACC₁ ישר־זווית ב־C: AC₁ = AC² + CC₁² = 300 + 100 = 400 = 20 ס"מ.
המשולש BDD₁ ישר־זווית ב־D: BD₁ = BD² + DD₁² = 100 + 100 = 102 ≈ 14.14 ס"מ.
(2) ההיטל של AC₁ על מישור הבסיס הוא AC, ולכן הזווית המבוקשת היא ∠C₁AC:
tan(∠C₁AC) = CC₁AC = 10103 = 13, ולכן ∠C₁AC = 30°.
ההיטל של BD₁ על מישור הבסיס הוא BD, ולכן הזווית המבוקשת היא ∠D₁BD:
tan(∠D₁BD) = DD₁BD = 1010 = 1, ולכן ∠D₁BD = 45°.

ד. (1) המקצוע AA₁ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך גם ל־AB וגם ל־AD. שני המשולשים A₁AB ו־A₁AD ישרי־זווית ב־A, הניצב AA₁ משותף להם והניצבים AB ו־AD שווים (צלעות המעוין), ולכן
A₁B = A₁D = 100 + 100 = 102, והמשולש A₁BD שווה־שוקיים ✓
לפי סעיף א, AO ⊥ BD. הקטע AO הוא ההיטל של A₁O על מישור הבסיס (שהרי AA₁ מאונך למישור), ולכן לפי משפט שלושת האנכים גם המשופע A₁O מאונך ל־BD ✓
(דרך שנייה לאותה תוצאה: O היא אמצע BD, ובמשולש שווה־השוקיים A₁BD התיכון לבסיס הוא גם הגובה.)
(2) AO = AC2 = 53, ובמשולש ישר־הזווית A₁AO (∠A₁AO = 90°):
A₁O = AO² + AA₁² = 75 + 100 = 175 = 57 ≈ 13.23 ס"מ.
(בדיקה בדרך שנייה: BO = 5, ולכן A₁O = A₁B² - BO² = 200 - 25 = 175 ✓ - אותו אורך.)
A₁O הוא הגובה לצלע BD במשולש A₁BD, ולכן
שטח המשולש A₁BD: 12·BD·A₁O = 12·10·57 = 257 ≈ 66.14 סמ"ר.
שני הקטעים A₁O ו־AO מאונכים ל־BD ויוצאים מאותה נקודה O שעל קו החיתוך, האחד במישור A₁BD והאחר במישור הבסיס, ולכן ∠A₁OA היא הזווית הדו־מישורית המבוקשת:
tan(∠A₁OA) = AA₁AO = 1053 = 23 ≈ 1.1547, ולכן ∠A₁OA ≈ 49.1°.

ה. הטענה נכונה. לפי סעיף ג(2), בעבור α כללי מתקיים
tan(∠D₁BD) = hBD = h20·sin α  ו־  tan(∠C₁AC) = hAC = h20·cos α,
כאשר h הוא גובה המנסרה. שני השברים בעלי אותו מונה חיובי, ולכן הגדול מביניהם הוא זה שהמכנה שלו קטן יותר:
tan(∠D₁BD) > tan(∠C₁AC) אם ורק אם 20·sin α < 20·cos α, כלומר אם ורק אם sin α < cos α.
בתחום 0° < α < 90° שתי הפונקציות חיוביות, ולכן אפשר לחלק ב־cos α: התנאי שקול ל־tan α < 1, כלומר ל־α < 45°, כלומר ל־∠BAD = 2α < 90°.
שתי הזוויות עצמן חדות (זוויות במשולשים ישרי־זווית), ופונקציית הטנגנס עולה בתחום 0° < x < 90°, ולכן אי־השוויון בין הטנגנסים גורר בדיוק את אותו אי־שוויון בין הזוויות. הטענה נכונה, והיא אינה תלויה כלל בגובה המנסרה.
(בדיקה במספרים שלנו: ∠BAD = 60° < 90°, ואכן 45° > 30° ✓. המקרה הגבולי הוא ∠BAD = 90°, שבו המעוין הוא ריבוע, שני האלכסונים שווים ושתי הזוויות שוות זו לזו.)

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: תנאי מן הצורה |z - z₀| = R אומר בשפה גאומטרית "המרחק בין הנקודה ובין z₀ קבוע", ולכן הוא מעגל. כאן המרכז אינו בראשית, וזו כל נשמת השאלה: המודול |z| אינו קבוע על המקום הגאומטרי אלא הוא המרחק מן הראשית, והראשית עצמה יושבת על המעגל. משום כך הנקודה הרחוקה ביותר מן הראשית היא הקצה השני של הקוטר היוצא ממנה, והמרכז הוא אמצע אותו קוטר - כך w מתקבל בלי שום משוואה. את השורש הריבועי של w נוח למצוא דווקא בדרך האלגברית, כי הארגומנט של w אינו זווית מיוחדת ואילו החלקים הממשי והמדומה שלו שלמים. שני הסעיפים האחרונים הם עבודה במשוואת המעגל: באחד הצבה, ובשני אי-שוויון קצר שמסיים את העניין בלי לפתור דבר.
א. (1) נסמן z = x + yi, כאשר x ו־y ממשיים. אז
z - 3 - 4i = (x - 3) + (y - 4)i, ולכן |z - 3 - 4i| = (x - 3)² + (y - 4)².
מן התנאי: (x - 3)² + (y - 4)² = 5, ובהעלאה בריבוע
(x - 3)² + (y - 4)² = 25.
זו משוואת מעגל שמרכזו (3 , 4) ורדיוסו 5.
(2) נציב x = 0 ו־y = 0: (0 - 3)² + (0 - 4)² = 9 + 16 = 25 ✓. השוויון מתקיים, ולכן ראשית הצירים נמצאת על המעגל. (במילים אחרות, המרחק בין המרכז (3 , 4) ובין הראשית הוא 9 + 16 = 5, בדיוק הרדיוס.)

ב. (1) |z| הוא המרחק בין הנקודה המתאימה ל־z ובין ראשית הצירים. המרחק הגדול ביותר מנקודה נתונה אל נקודות מעגל הוא המרחק אל המרכז ועוד הרדיוס:
|z|_מרבי = 5 + 5 = 10.  הערך הגדול ביותר הוא 10.
(2) הנקודה שבה מתקבל המרחק המרבי נמצאת על הישר שמחבר את הראשית עם המרכז, בצדו הרחוק של המרכז. מכיוון שהראשית עצמה על המעגל (סעיף א(2)), הקטע מן הראשית אל אותה נקודה הוא קוטר, והמרכז הוא אמצעו. לכן
(3 , 4) = (0 + x_w2 , 0 + y_w2), ומכאן x_w = 6 ו־y_w = 8: w = 6 + 8i.
בדיקה: (6 - 3)² + (8 - 4)² = 9 + 16 = 25 ✓, וגם |w| = 36 + 64 = 100 = 10 ✓.
הצגה קוטבית: r = |w| = 10. הנקודה (6 , 8) ברביע הראשון, ולכן tan θ = 86 ומכאן θ ≈ 53.1°.
w = 10·(cos 53.1° + i·sin 53.1°).

ג. נסמן u = a + bi (a ו־b ממשיים). אז
u² = (a + bi)² = a² + 2abi + b²i² = (a² - b²) + 2ab·i.
משוויון שני מספרים מרוכבים מקבלים מערכת:
a² - b² = 6   ו־   2ab = 8, כלומר ab = 4.
מן המשוואה השנייה b = 4a (ואכן a ≠ 0, אחרת ab = 0). מציבים בראשונה:
a² - 16a² = 6   →   a⁴ - 6a² - 16 = 0.
זו משוואה ריבועית ב־a²: (a² - 8)(a² + 2) = 0. הגורם a² + 2 חיובי תמיד, ולכן a² = 8 ומכאן a = ±22.
בעבור a = 22: b = 422 = 22 = 2.
בעבור a = -22: b = -2.
u₁ = 22 + 2·i   ו־   u₂ = -22 - 2·i  (שני מספרים נגדיים, כמצופה).
בדיקה: (22 + 2·i)² = 8 + 2·22·2·i + 2i² = 8 + 8i - 2 = 6 + 8i = w ✓
בדיקה נוספת במודול: |u₁| = 8 + 2 = 10, ואכן (10)² = 10 = |w| ✓

ד. הדרישה היא y = x. מציבים במשוואת המעגל שבסעיף א:
(x - 3)² + (x - 4)² = 25
x² - 6x + 9 + x² - 8x + 16 = 25
2x² - 14x = 0   →   2x(x - 7) = 0,
ולכן x = 0 או x = 7. שני המספרים הם
z = 0 (ראשית הצירים, שכבר ידענו שהיא על המקום הגאומטרי)  ו־  z = 7 + 7i.
בדיקה: (7 - 3)² + (7 - 4)² = 16 + 9 = 25 ✓. וכן |7 + 7i| = 72 ≈ 9.9, ואכן קטן מ־10 - בהתאם לסעיף ב.

ה. הטענה נכונה. נניח בשלילה שקיימת נקודה (x , y) על המעגל שבה x < 0 וגם y < 0.
אם x < 0 אז x - 3 < -3, ולכן (x - 3)² > 9.
אם y < 0 אז y - 4 < -4, ולכן (y - 4)² > 16.
בחיבור שני אי-השוויונות: (x - 3)² + (y - 4)² > 9 + 16 = 25.
אבל כל נקודה על המעגל מקיימת (x - 3)² + (y - 4)² = 25 - סתירה. לכן אין נקודה כזאת.
(המחשה: המעגל כלוא בתחום -2 ≤ x ≤ 8 ו־-1 ≤ y ≤ 9, והנקודה היחידה שלו שבה y = -1 היא (3 , -1) - שבה x חיובי.)

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: המודל בנוי משני חלקים: מספר קבוע ועוד ביטוי דועך. הקבוע 8 הוא הרמה שאליה התהליך מתכנס והוא האסימפטוטה האופקית, והמקדם 40 הוא כל מה שנועד להיעלם. לכן כמעט כל סעיף מתחיל באותה פעולה: מבודדים את הביטוי המעריכי, ורק אחר כך לוקחים לוגריתם. הנגזרת של ביטוי מן הצורה A·e^kt היא אותו ביטוי מוכפל ב־k, וזו הסיבה שהקצב יוצא פרופורציוני להפרש מן הרמה הסופית - וזה בדיוק חוק הדעיכה שסעיף ד מבקש לנסח. באינטגרל מקבלים את הקדומה של e^kt בחלוקה באותו k, ולכן חשוב לשים לב לסימן. הסעיף האחרון מזכיר שאסימפטוטה היא גבול ולא ערך שמתקבל.
א. (1) ברגע ההפעלה t = 0:
C(0) = 8 + 40·e⁰ = 8 + 40 = 48.  הריכוז ההתחלתי הוא 48 מ"ג לליטר.
(2) נגזור: C'(t) = 40·(-0.25)·e^-0.25t = -10·e^-0.25t.
הפונקצייה המעריכית חיובית תמיד, כלומר e^-0.25t > 0 לכל t, ולכן C'(t) < 0 תמיד - הריכוז יורד בכל רגע ובכל התחום.
כאשר t גדל, -0.25t שואף ל־-∞ ולכן e^-0.25t → 0, ומכאן C(t) → 8. הריכוז שואף ל־8 מ"ג לליטר (אסימפטוטה אופקית y = 8).

ב. נפתור את המשוואה C(t) = 18:
8 + 40·e^-0.25t = 18  →  40·e^-0.25t = 10  →  e^-0.25t = 0.25.
לוקחים ℓn משני האגפים: -0.25t = ℓn 0.25 = -ℓn 4, ולכן
t = ℓn 40.25 = 4·ℓn 4 = 8·ℓn 2 ≈ 5.55.
כעבור כ־5.55 שעות (כלומר כ־5 שעות ו־33 דקות).
בדיקה: 40·e^{-0.25·5.5452} = 40·0.25 = 10, ולכן C = 8 + 10 = 18 ✓

ג. הקצב הוא הנגזרת. לפי סעיף א(2), C'(t) = -10·e^-0.25t, וברגע שמצאנו כבר ידוע כי e^-0.25t = 0.25:
C'(t) = -10·0.25 = -2.5.
הקצב הוא -2.5 מ"ג לליטר לשעה. הסימן שלילי, ופירושו שהריכוז יורד: באותו רגע הוא פוחת בקצב של 2.5 מ"ג לליטר בכל שעה.

ד. מן הכלל הנתון: C(t) - 8 = 40·e^-0.25t.
נכפיל ב־-0.25: -0.25·(C(t) - 8) = -0.25·40·e^-0.25t = -10·e^-0.25t.
ולפי סעיף א(2) זהו בדיוק C'(t). לכן C'(t) = -0.25·(C(t) - 8) בכל t.
משמעות: קצב הירידה של הריכוז פרופורציוני להפרש שבין הריכוז הנוכחי ובין הרמה 8 שאליה התהליך מתכנס. ככל שהריכוז קרוב יותר ל־8, כך הירידה איטית יותר - הטיהור יעיל מאוד בתחילה, ומתמתן ככל שנשאר פחות מזהם. זהו חוק הדעיכה הקלאסי, וממנו מקבלים את הצורה המעריכית של המודל.

ה. נמצא תחילה פונקצייה קדומה. הקדומה של e^kt היא 1k·e^kt, וכאן k = -0.25:
∫ (8 + 40·e^-0.25t) dt = 8t + 40-0.25·e^-0.25t = 8t - 160·e^-0.25t.
(בדיקה בגזירה: 8 - 160·(-0.25)·e^-0.25t = 8 + 40·e^-0.25t ✓)
הצבת הגבולות:
∫₀⁸ C(t) dt = (8·8 - 160·e^-2) - (0 - 160·e⁰) = 64 - 160·e^-2 + 160 = 224 - 160·e^-2.
הריכוז הממוצע:
18·(224 - 160·e^-2) = 28 - 20·e^-2.
28 - 20·e^-2 ≈ 28 - 2.71 ≈ 25.29 מ"ג לליטר.
בדיקת סבירות: הריכוז יורד מ־48 בתחילה ועד C(8) = 8 + 40·e^-2 ≈ 13.41 בסוף התקופה, ואכן הממוצע שקיבלנו נמצא בין שני הערכים האלה ✓

ו. (1) נפתור את אי-השוויון C(t) < 10:
8 + 40·e^-0.25t < 10  →  40·e^-0.25t < 2  →  e^-0.25t < 0.05.
פונקציית ℓn עולה, ולכן מותר להפעיל אותה על שני האגפים בלי לשנות את כיוון אי-השוויון:
-0.25t < ℓn 0.05 = -ℓn 20, ובחלוקה ב־-0.25 (מספר שלילי) כיוון אי-השוויון מתהפך:
t > 4·ℓn 20 ≈ 11.98.
החל מכ־11.98 שעות (כמעט 12 שעות) לאחר הפעלת המערכת.
בדיקה: C(11.98) = 8 + 40·e^-2.9957 = 8 + 40·0.05 = 10 ✓, ומכאן ואילך הפונקצייה יורדת ולכן קטנה מ־10.
(2) הטענה אינה נכונה. אילו היה מתקיים C(t) = 8 בעבור t כלשהו, היה נובע
40·e^-0.25t = 0  →  e^-0.25t = 0,
וזה בלתי אפשרי: הפונקצייה המעריכית חיובית ממש בכל t ולעולם אינה מתאפסת.
לכן C(t) > 8 בכל רגע. הערך 8 הוא אסימפטוטה אופקית של הגרף: הריכוז מתקרב אליו כרצוננו ככל ש־t גדל, אך אינו מגיע אליו אף פעם. במונחי הבעיה: מערכת הטיהור לעולם אינה מסלקת את השארית האחרונה.

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: זו מכפלה של פולינום ממעלה ראשונה בפונקצייה מעריכית, ולכן הגורם e^-x קובע כמעט הכול: הוא חיובי תמיד, ולכן הוא לעולם אינו מוסיף אף נקודת חיתוך עם ציר ה־x וגם אינו משנה את סימן הנגזרת - הסימן נקבע רק על ידי הגורם הליניארי שנשאר אחרי ההוצאה מחוץ לסוגריים. בשני קצות התחום מתנהגת הפונקצייה הפוך לגמרי: בצד אחד המעריכי מנצח את הליניארי ומאפס אותו, ובצד השני שניהם גדלים באותו כיוון ואין אסימפטוטה. הפרמטר a אינו נתון אלא משוחזר מתכונה גאומטרית אחת של נקודת הקיצון, ולכן חייבים למצוא את הקיצון בכלליות עוד לפני שיודעים מהו a. בסעיף האחרון חוזרים לביטוי הכללי של הנגזרת ומציבים בו את שיעור נקודת החיתוך; מכיוון שהחישוב נעשה באותיות בלבד, התוצאה תקפה בבת אחת לכל a.
א. (1) x + a הוא פולינום ו־e^-x מוגדרת לכל x ממשי, ולכן תחום ההגדרה הוא כל x ממשי (התחום אינו תלוי ב־a).
(2) חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0, כלומר (x + a)·e^-x = 0. מכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים מתאפס, ו־e^-x > 0 לכל x, ולכן x + a = 0 ומכאן x = -a. הנקודה: (-a , 0) - נקודה אחת בדיוק.
חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = (0 + a)·e⁰ = a. הנקודה: (0 , a).
(3) אסימפטוטה המאונכת לציר ה־y היא אסימפטוטה אופקית. נכתוב f(x) = x + ae^x. כאשר x → ∞ המכנה e^x גדל מהר יותר מכל פולינום, ולכן f(x) → 0: האסימפטוטה היא y = 0, והיא מתקבלת בכיוון החיובי של ציר ה־x בלבד.
בכיוון השני, כאשר x → -∞, מתקיים x + a → -∞ וגם e^-x → ∞, ולכן f(x) → -∞ - ואין שם אסימפטוטה.
(4) נגזור לפי כלל המכפלה:
f'(x) = 1·e^-x + (x + a)·(-e^-x) = e^-x·[1 - (x + a)], כלומר f'(x) = e^-x·(1 - a - x).
f'(x) = 0 רק כאשר 1 - a - x = 0, כלומר x = 1 - a. ערך הפונקצייה שם:
f(1 - a) = (1 - a + a)·e^{-(1 - a)} = 1·e^{a - 1} = e^{a - 1}.
סוג הקיצון: הגורם e^-x חיובי תמיד, ולכן סימן f' הוא סימן הביטוי הליניארי 1 - a - x, שהוא חיובי כאשר x < 1 - a ושלילי כאשר x > 1 - a. הנגזרת עוברת מ־+ ל־-, ולכן זו נקודת מקסימום:
(1 - a , e^{a - 1}) - נקודת מקסימום, בעבור כל ערך של a.

ב. נקודה נמצאת על ציר ה־y אם ורק אם שיעור ה־x שלה הוא 0. לפי סעיף א(4):
1 - a = 0, ולכן a = 1.
מכאן ואילך f(x) = (x + 1)·e^-x, ונקודת המקסימום היא (0 , e⁰) = (0 , 1) - ואכן זו גם נקודת החיתוך עם ציר ה־y, שלפי סעיף א(2) היא (0 , a) = (0 , 1) ✓

ג. נציב a = 1 בנגזרת שמצאנו:
f'(x) = e^-x·(1 - 1 - x) = -x·e^-x.
e^-x > 0 תמיד, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן -x:
עלייה: x < 0 ;  ירידה: x > 0 ;  מקסימום ב־(0 , 1).
סקיצה: הגרף עולה מ־-∞ (כאשר x → -∞), חוצה את ציר ה־x בנקודה (-1 , 0), ממשיך לעלות עד לשיא (0 , 1) שעל ציר ה־y, ואחר כך יורד ומתקרב לאסימפטוטה y = 0 מלמעלה (למשל f(1) = 2·e^-1 ≈ 0.74). כל הגרף מימין ל־x = -1 נמצא מעל ציר ה־x, וכל הגרף משמאל לה מתחתיו.

ד. (1) נגזור את F(x) = -(x + 2)·e^-x לפי כלל המכפלה:
F'(x) = -[1·e^-x + (x + 2)·(-e^-x)] = -e^-x + (x + 2)·e^-x
F'(x) = e^-x·(x + 2 - 1) = (x + 1)·e^-x = f(x) ✓
לכן F היא פונקצייה קדומה של f.
(2) גבולות האינטגרציה: מימין הישר x = 1, ומשמאל נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־x, שהיא x = -1 (סעיף א(2) עם a = 1). בתחום -1 < x ≤ 1 מתקיים f(x) > 0 (שני הגורמים חיוביים), ולכן השטח שווה לאינטגרל עצמו:
S = ∫_-1¹ (x + 1)·e^-x dx = F(1) - F(-1)
F(1) = -(1 + 2)·e^-1 = -3·e^-1 ;   F(-1) = -(-1 + 2)·e¹ = -e
S = -3·e^-1 - (-e) = e - 3·e^-1.
S = e - 3e ≈ 2.7183 - 1.1036 ≈ 1.615 יחידות שטח.
בדיקת סבירות: התחום רחב 2 יחידות, והפונקצייה בו נעה בין 0 ל־1 (עם ערך 0.74 בקצה הימני), ולכן שטח של כ־1.6 הוא סביר ✓

ה. הטענה נכונה. נעבוד בביטויים הכלליים, בלי להציב ערך מסוים ל־a.
לפי סעיף א(2), נקודת החיתוך עם ציר ה־x היא (-a , 0) - ויש בדיוק אחת כזאת בעבור כל a.
לפי סעיף א(4), f'(x) = e^-x·(1 - a - x). נציב x = -a:
f'(-a) = e^-(-a)·(1 - a - (-a)) = e^a·(1 - a + a) = e^a·1 = e^a.
זהו בדיוק שיפוע המשיק באותה נקודה, ולכן הטענה מתקיימת בעבור כל ערך של a.
בדיקה במקרה שכבר חישבנו (a = 1): נקודת החיתוך היא (-1 , 0), והנגזרת שם היא f'(-1) = -(-1)·e¹ = e - ואכן e = e¹ = e^a ✓
(הערה: ככל ש־a גדל, נקודת החיתוך זזה שמאלה והמשיק בה נעשה תלול יותר ויותר, שכן e^a פונקצייה עולה.)