מתמטיקה

פתרון מלא - שאלה 1 הדרך: המשוואה נתונה בצורה הקנונית y² = 2px, ולכן המוקד והמדריך נקראים ישירות מן המקדם. הנתון על המרחק מן המוקד בסעיף ב הוא הזמנה להשתמש בתכונה המגדירה של הפרבולה - המרחק מנקודה על הפרבולה אל המוקד שווה למרחקה מן המדריך - וכך המשוואה שמתקבלת היא ליניארית ולא ריבועית. את המקום הגאומטרי בסעיף ג בונים בשיטה הרגילה: מסמנים את שיעורי הנקודה הנעה, מביעים באמצעותם את שיעורי הנקודה שעליה שואלים, מבודדים ומציבים חזרה בתנאי שהנקודה הנעה מקיימת. בסעיף ד המפתח הוא ששני הדברים - רדיוס המעגל והמרחק ממרכזו לציר ה־y - שווים שניהם למחצית המרחק המוקדי, ולכן ההשקה איננה מקרה אלא תכונה כללית. בסעיף ה די להסתכל היכן יושב קודקוד הפרבולה שהתקבלה כדי לענות בלי שום חישוב נוסף.
א. הצורה הקנונית היא y² = 2px, וכאן 2p = 4, כלומר p = 2. המוקד: F (1 , 0) (כלומר p2 = 1), והמדריך: x = -1.

ב. לפי התכונה המגדירה של הפרבולה, המרחק מנקודה שעליה אל המוקד שווה למרחקה מן המדריך: AF = x_A + 1. מן הנתון AF = 5 מתקבל x_A = 4. מציבים במשוואת הפרבולה: y² = 4·4 = 16, כלומר y = ±4. ברביע הראשון y > 0, ולכן A (4 , 4). (בדיקה: AF = (4 - 1)² + 4² = 25 = 5 ✓.)

ג. נסמן T (x₀ , y₀), ומתקיים y₀² = 4x₀. הנקודה M היא אמצע TF, ולכן x_M = x₀ + 12 ו־y_M = y₀2. מבודדים: x₀ = 2x_M - 1 ו־y₀ = 2y_M, ומציבים בתנאי y₀² = 4x₀: (2y_M)² = 4(2x_M - 1), כלומר 4y_M² = 8x_M - 4. מחלקים ב־4 ומשמיטים את המדד: y² = 2x - 1. זו פרבולה שקודקודה (0.5 , 0) והיא פתוחה לכיוון החיובי של ציר ה־x (בצורה y² = 2(x - 0.5)).

ד. (1) הקטע AF הוא קוטר, ולכן מרכז המעגל הוא אמצעו: (4 + 12 , 4 + 02) = (2.5 , 2), והרדיוס הוא מחצית הקוטר: r = 52 = 2.5. המעגל: (x - 2.5)² + (y - 2)² = 6.25.
(2) המרחק ממרכז המעגל אל ציר ה־y (הישר x = 0) הוא שיעור ה־x של המרכז, כלומר 2.5 - בדיוק הרדיוס. מרחק השווה לרדיוס פירושו השקה, ולכן המעגל משיק לציר ה־y.
נימוק כללי: תהי A (x₀ , y₀) נקודה כלשהי על הפרבולה, ולכן x₀ ≥ 0. לפי סעיף ב AF = x₀ + 1, ולכן רדיוס המעגל הוא x₀ + 12. מרכז המעגל הוא אמצע AF, ושיעור ה־x שלו הוא x₀ + 12 - אותו ביטוי בדיוק. המרחק אל ציר ה־y שווה אפוא תמיד לרדיוס, ולכן ההשקה מתקיימת בעבור כל נקודה על הפרבולה, ולא רק בעבור A (4 , 4).

ה. הטענה אינה נכונה. מציבים x = 0 במשוואת המקום הגאומטרי y² = 2x - 1 ומקבלים y² = -1 - משוואה שאין לה פתרון ממשי, ולכן אין ולו נקודת חיתוך אחת. הנימוק הגאומטרי: הפרבולה y² = 2(x - 0.5) פתוחה ימינה וקודקודה בנקודה (0.5 , 0), ולכן כל נקודותיה מקיימות x ≥ 0.5 והיא כולה מימין לציר ה־y.

פתרון מלא - שאלה 2 הדרך: שלושת המקצועות היוצאים מן הקודקוד A הם בסיס נוח לכל הווקטורים בתיבה, ולכן סעיף א הוא כלל המשולש בלבד, בתוספת שתי עובדות על תיבה: פאות נגדיות חופפות ומקבילות. בסעיף ב אין שיעורים מן המוכן - שלושת המקצועות נעלמים, ושלושת הנתונים משחררים אותם בזה אחר זה: משפט פיתגורס במשולש ACC' מוציא את AA' לבדו, ואז נשארת מערכת של סכום ריבועים ומכפלה, שנפתרת בלי משוואה ריבועית בעזרת שתי הזהויות (m + n)² = m² + n² + 2mn ו־(m - n)² = m² + n² - 2mn. אחרי המעבר לשיעורים כדאי לשים לב שהקודקוד C' נמצא בדיוק מעל C, ולכן ההיטל של האלכסון על מישור הבסיס הוא אלכסון הבסיס, וסעיף ג(2) מתרחש כולו במשולש ישר-זווית אחד. את משוואת המישור אפשר לקרוא ישר מצורת המקטעים, שכן שלושת הקודקודים A', B ו־D יושבים כל אחד על ציר אחר. סעיף ה הוא לב השאלה: מציבים את הצגת האלכסון בעזרת פרמטר אחד במשוואת המישור, ומקבלים ערך שאינו תלוי כלל באורכי המקצועות - ומכאן גם היחס 1 : 2, וגם ההכרעה בטענה II בלי חישוב מרחקים כלל.
א. לפי כלל המשולש: A'C = AC - AA'. בבסיס AC = AB + BC = u + v (כי BC = AD), ולכן A'C = u + v - w.
באותה דרך BD' = AD' - AB, וכן AD' = AD + DD' = v + w, ולכן BD' = v + w - u.

ב. נסמן AB = m, AD = n, AA' = h.
המקצוע CC' מאונך למישור הבסיס, ולכן המשולש ACC' ישר-זווית ב־C: AC'² = AC² + CC'², כלומר 17² = 15² + h², ומכאן h² = 289 - 225 = 64 ו־AA' = 8.
הבסיס הוא מלבן, ולכן m² + n² = AC² = 225, ומן השטח m·n = 108. מכאן:
(m + n)² = m² + n² + 2mn = 225 + 216 = 441, ולכן m + n = 21;
(n - m)² = m² + n² - 2mn = 225 - 216 = 9, ולכן n - m = 3 (בחרנו את הסימן החיובי כי נתון AD > AB).
פתרון שתי המשוואות: AB = m = 9, AD = n = 12 (בדיקה: 9·12 = 108 ✓, 9² + 12² = 225 ✓, 225 + 64 = 17 ✓).

ג. (1) לפי בחירת הצירים: B (9 , 0 , 0), D (0 , 12 , 0), A' (0 , 0 , 8). הבסיס הוא מלבן, ולכן C = B + D - A = (9 , 12 , 0), והקודקוד שמעליו הוא C' (9 , 12 , 8).
(2) הקודקוד C' נמצא בדיוק מעל C, ולכן ההיטל של האלכסון AC' על מישור הבסיס הוא אלכסון הבסיס AC, והזווית המבוקשת היא ∠C'AC. במשולש ישר-הזווית ACC': cos(∠C'AC) = ACAC' = 1517 ≈ 0.882, ולכן ∠C'AC ≈ 28.1°.

ד. שלוש הנקודות B (9 , 0 , 0), D (0 , 12 , 0), A' (0 , 0 , 8) יושבות כל אחת על ציר אחר, ולכן צורת המקטעים נותנת מיד x9 + y12 + z8 = 1, וכפל ב־72 נותן 8x + 6y + 9z = 72.
(מי שמעדיף וקטורים: BA' = (-9 , 0 , 8) ו־BD = (-9 , 12 , 0), והמכפלה הווקטורית שלהם היא (-96 , -72 , -108), שאחרי צמצום ב־-12 נותנת את הנורמל n = (8 , 6 , 9).)

ה. (1) כל נקודה על האלכסון AC' היא מן הצורה (9t , 12t , 8t), כאשר 0 ≤ t ≤ 1 (t = 0 נותן את A ו־t = 1 את C'). הצבה במשוואת המישור:
8·9t + 6·12t + 9·8t = 72, כלומר 72t + 72t + 72t = 72, ומכאן 216t = 72 ו־t = 13.
לכן P (3 , 4 , 83).
שימו לב לשלושת המחוברים השווים: כל אחד משלושת הקודקודים B, D, A' תורם 72t, ולכן הערך t = 13 אינו תלוי כלל באורכי המקצועות.
מכאן AP = t·AC' = 173 ו־PC' = (1 - t)·AC' = 343, ולכן AP : PC' = 1 : 2.
(2) וקטור הכיוון של האלכסון הוא (9 , 12 , 8) שאורכו 17, והנורמל למישור הוא (8 , 6 , 9) שאורכו 64 + 36 + 81 = 181 ≈ 13.454. הזווית φ שבין ישר ובין מישור מקיימת: sin φ = |8·9 + 6·12 + 9·8|17·181 = 21617181 ≈ 216228.71 ≈ 0.944, ולכן φ ≈ 70.8°.

ו. טענה I - אינה נכונה. ישר מאונך למישור אך ורק כאשר וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל. כאן וקטור הכיוון הוא (9 , 12 , 8) והנורמל הוא (8 , 6 , 9), ומכיוון ש־ 98 ≠ 126 הם אינם מקבילים. גם סעיף ה(2) מאשש זאת: φ ≈ 70.8° ולא 90°.
טענה II - נכונה. אפשר להכריע אותה ישר מסעיף ה(1), בלי לחשב מרחקים: הנקודות A ו־C' נמצאות משני עברי המישור על אותו ישר, החותך אותו ב־P. המרחק של נקודה מן המישור פרופורציוני למרחקה מן P לאורך הישר (אותה זווית φ בדיוק), ולכן d(C')d(A) = PC'AP = 2.
בדיקה בחישוב ישיר מן המישור 8x + 6y + 9z - 72 = 0:
d(A) = |0 + 0 + 0 - 72|181 = 72181 ≈ 5.35;
d(C') = |8·9 + 6·12 + 9·8 - 72|181 = 144181 ≈ 10.70, ואכן 10.70 = 2·5.35 ✓.

פתרון מלא - שאלה 3 הדרך: במקום גאומטרי שמנוסח בעזרת ערכים מוחלטים מרובעים את שני האגפים כדי להיפטר מן השורשים, ואז |z - a|² = (x - a)² + y² הופך את התנאי למשוואה אלגברית רגילה. המעגל שמתקבל כאן מרוכז בראשית הצירים, ולכן משמעותו היחידה היא |z| = 2 - וזו כל התשובה לסעיף ב(1): המודול של w אינו נעלם אלא נקרא מן המקום הגאומטרי. משם השאלה מתקדמת בכיוון ההפוך לרגיל: לא נתון לנו w ואנחנו מחשבים את חזקותיו, אלא נתונה תכונה של חזקה ואנחנו משחזרים ממנה את הזווית. הכלי הוא משפט דה־מואבר בכיוון ההיפוך - "ממשי שלילי" פירושו זווית 180° עד כדי סיבובים שלמים, ותחום הזוויות של θ הוא שמכריע איזה מן הסיבובים אפשרי. בסעיף ד גם המשוואה עצמה איננה נתונה: שש נקודות מסומנות במישור, ומהן בונים את המשוואה. הבנייה עובדת מפני שסיבוב ב־60° מכפיל את הזווית ב־6 בדיוק ב־360°, כלומר אינו משנה דבר בחזקה השישית.
א. נציב z = x + iy ונרבע את שני האגפים: |z - 4|² = 4|z - 1|², כלומר (x - 4)² + y² = 4[(x - 1)² + y²].
אגף שמאל: x² - 8x + 16 + y². אגף ימין: 4x² - 8x + 4 + 4y².
הפרש האגפים: -3x² - 3y² + 12 = 0, ואחרי חלוקה ב־-3: x² + y² = 4 - מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 2.

ב. (1) המעגל שמצאתם הוא בדיוק אוסף הנקודות שמרחקן מן הראשית הוא 2, כלומר התנאי "w נמצא על המקום הגאומטרי" שקול ל־|w| = 2. מכיוון שבהצגה קוטבית |w| = r, מתקבל r = 2.
(2) -w = 2(cos(θ + 180°) + i·sin(θ + 180°)) - הכפלה ב־-1 היא סיבוב ב־180° ואינה משנה את המודול.
ההופכי: 1w = 12(cos(-θ) + i·sin(-θ)), ולכן 4w = 2(cos(-θ) + i·sin(-θ)) (ואפשר לכתוב גם 2(cos(360° - θ) + i·sin(360° - θ))).
מודול שני המספרים האלה הוא 2, ולכן שתי הנקודות המייצגות אותם מרוחקות 2 מן הראשית ומקיימות x² + y² = 4 - כלומר שתיהן על אותו מקום גאומטרי.

ג. (1) לפי משפט דה־מואבר w⁶ = 2⁶(cos 6θ + i·sin 6θ) = 64(cos 6θ + i·sin 6θ). מספר הוא ממשי שלילי אם ורק אם זוויתו היא 180° עד כדי כפולות שלמות של 360°: 6θ = 180° + 360°k.
מן הנתון 0° < θ < 90° נובע 0° < 6θ < 540°, ולכן בתחום הזה יש רק שתי אפשרויות: 6θ = 180° ו־6θ = 540°. השנייה נותנת θ = 90° שאיננה בתחום, ולכן θ = 30°.
(2) w = 2(cos30° + i·sin30°) = 2(32 + 12i), כלומר w = 3 + i (בדיקה: |w| = 3 + 1 = 2 ✓).

ד. (1) סיבוב סביב הראשית מוסיף לזווית ואינו משנה את המודול, ולכן ששת המספרים הם z_k = 2(cos(30° + 60°k) + i·sin(30° + 60°k)), k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, כלומר הזוויות 30° , 90° , 150° , 210° , 270° , 330°.
המודול של כל אחד מהם הוא 2, ולכן כל שש הנקודות מקיימות x² + y² = 4 ונמצאות על המקום הגאומטרי שבסעיף א.
(2) נעלה כל אחד מהם בחזקה שישית: z_k⁶ = 2⁶(cos(180° + 360°k) + i·sin(180° + 360°k)) = 64(cos180° + i·sin180°) = -64, שכן תוספת של 360°k אינה משנה את המספר.
כל ששת המספרים מקיימים אפוא את המשוואה z⁶ = -64, כלומר c = -64. למשוואה מדרגה שישית יש בדיוק שישה פתרונות, וששת המספרים שלנו שונים זה מזה, ולכן הם כל פתרונותיה.

ה. (1) ששת המספרים בעלי מודול 2 שווה, וההפרש בין זוויות סמוכות הוא 60° קבוע, ולכן שש הנקודות מחלקות את המעגל שרדיוסו 2 לשש קשתות שוות - כלומר המשושה משוכלל. משושה משוכלל החסום במעגל שרדיוסו R מורכב משישה משולשים שווי-צלעות שאורך צלעם R:
S = 6·34·2² = 63 ≈ 10.39, כלומר S = 63.
(2) לכל k = 0 , 1 , 2 מתקיים z_k+3 = 2(cos(30° + 60°k + 180°) + i·sin(30° + 60°k + 180°)) = -z_k. ששת המספרים מתחלקים אפוא לשלושה זוגות של מספרים נגדיים, וסכום כל זוג הוא 0, ולכן הסכום כולו הוא 0.
(3) הטענה אינה נכונה. המודול של מכפלה הוא מכפלת המודולים: 2⁶ = 64. הזווית של מכפלה היא סכום הזוויות:
30° + 90° + 150° + 210° + 270° + 330° = 1080°, ו־1080° = 3·360°, כלומר זווית 0°.
לכן המכפלה היא 64(cos0° + i·sin0°) = 64 - מספר ממשי חיובי, ולא -64.
(דרך שנייה לאותה מסקנה: ששת המספרים הם פתרונות המשוואה z⁶ + 64 = 0, ובמשוואה מדרגה זוגית מכפלת הפתרונות שווה למקדם החופשי מחולק במקדם המוביל, כלומר 64.)

פתרון מלא - שאלה 4 הדרך: זו פונקציית מנה שבה e^x מופיע גם במונה וגם במכנה, ולכן הצעד הראשון הוא תמיד לשאול מתי המכנה מתאפס - זה נותן את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית בבת אחת. את האסימפטוטות האופקיות מקבלים משני הקצוות בנפרד: כאשר x שואף לאינסוף שולט e^x בשני האגפים, וכאשר x שואף למינוס אינסוף e^x מתאפס ונשארים הקבועים בלבד - ולכן יש כאן שתי אסימפטוטות אופקיות שונות, אחת לכל צד, ורק אחת מהן תלויה בפרמטר. זו נקודת המפתח של סעיף ב: המרחק ביניהן הוא נעלם יחיד במשוואה ליניארית פשוטה, ולכן הפרמטר משוחזר מתכונה גאומטרית של הגרף ולא מנתון אלגברי. הפונקצייה g אינה נתונה בכלל אלא מוגדרת על ידי המשוואה f·g = 1, ולכן סעיף ד מתחיל בכתיבת הכלל שלה - וההופכי של מנה הוא היפוך המונה והמכנה. דווקא ההיפוך הזה מרחיב את תחום ההגדרה: המכנה החדש e^x + 3 חיובי תמיד, ומה שהיה מכנה מתאפס הפך למונה מתאפס - כלומר לנקודת חיתוך עם הצירים. בסעיף האחרון הלוגריתם מצמצם שוב את התחום: מותר לקחת ℓn רק היכן ש־g חיובית.
א. (1) המכנה חייב להיות שונה מאפס: e^x - 1 ≠ 0, כלומר e^x ≠ 1, ולכן x ≠ 0. תחום ההגדרה: x < 0 או x > 0 (התחום אינו תלוי בפרמטר).
(2) אסימפטוטה המאונכת לציר ה־x: בנקודה שבה המכנה מתאפס. כאשר x → 0⁺ המכנה שואף ל־0 מלמעלה והמונה שואף ל־1 + a > 0, ולכן f(x) → +∞; כאשר x → 0^- המכנה שלילי ושואף ל־0, ולכן f(x) → -∞. האסימפטוטה: x = 0.
אסימפטוטות המאונכות לציר ה־y: כאשר x → ∞ מחלקים מונה ומכנה ב־e^x ומקבלים f(x) = 1 + a·e^-x1 - e^-x → 11 = 1, ולכן y = 1. כאשר x → -∞ מתקיים e^x → 0, ולכן f(x) → 0 + a0 - 1 = -a, ומכאן y = -a.
(3) חיתוך עם ציר ה־x דורש f(x) = 0, כלומר מונה מתאפס: e^x + a = 0, כלומר e^x = -a - וזה בלתי אפשרי, שכן a > 0 ואילו e^x > 0 לכל x. חיתוך עם ציר ה־y דורש x = 0, אבל x = 0 אינו בתחום ההגדרה. לכן הגרף אינו חותך אף אחד מן הצירים, ובעבור כל ערך של הפרמטר.

ב. שתי האסימפטוטות המאונכות לציר ה־y הן, לפי סעיף א(2), y = 1 ו־y = -a. שני ישרים אופקיים אלה מקבילים, והמרחק ביניהם הוא ההפרש בין שיעורי ה־y שלהם:
|1 - (-a)| = 1 + a (חיובי, שכן a > 0).
מן הנתון: 1 + a = 4, ולכן a = 3.
מכאן ואילך f(x) = e^x + 3e^x - 1, והאסימפטוטות האופקיות הן y = 1 ו־y = -3.

ג. (1) לפי נוסחת נגזרת המנה: f'(x) = e^x(e^x - 1) - (e^x + 3)e^x(e^x - 1)² = e^x[(e^x - 1) - (e^x + 3)](e^x - 1)², כלומר f'(x) = -4e^x(e^x - 1)².
(2) אין לפונקצייה נקודות קיצון. המונה -4e^x שלילי לכל x (כי e^x > 0), והמכנה (e^x - 1)² חיובי בכל תחום ההגדרה. לכן f'(x) < 0 תמיד, ובפרט f'(x) אינה מתאפסת - הפונקצייה יורדת ממש בכל אחד משני תת-התחומים, ואין נקודות קיצון.
(3) סקיצה. בתחום x < 0: המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן f(x) < 0; הענף יורד מן האסימפטוטה y = -3 (משמאל) עד -∞ בהתקרב לאסימפטוטה x = 0. בתחום x > 0: המונה והמכנה חיוביים, ולכן f(x) > 0; הענף יורד מ־+∞ (ליד x = 0) ומתקרב לאסימפטוטה y = 1 מלמעלה. שני הענפים אינם חוצים אף ציר.

ד. (1) מן התנאי f(x)·g(x) = 1 נובע g(x) = 1f(x), וההופכי של מנה הוא היפוך המונה והמכנה: g(x) = e^x - 1e^x + 3.
(התנאי אכן מקיים f·g = 1 בכל x ≠ 0: שני הגורמים e^x + 3 ו־e^x - 1 מצטמצמים, שכן שניהם שונים מאפס שם.)
(2) המכנה של g הוא e^x + 3, וכיוון ש־e^x > 0 מתקיים e^x + 3 > 3 > 0 לכל x - המכנה לעולם אינו מתאפס. לכן תחום ההגדרה של g הוא כל x ממשי, והוא רחב יותר מתחום ההגדרה של f בדיוק בנקודה x = 0.
הסיבה היא היפוך התפקידים: הביטוי e^x - 1, שהיה מכנה ב־f ולכן אסר על x = 0, הפך למונה ב־g - ומונה מתאפס מותר לגמרי. במקומו נכנס למכנה הביטוי e^x + 3, שסכום של מספר חיובי ושל 3 לעולם אינו מתאפס.
(3) אין אסימפטוטה המאונכת לציר ה־x, כי המכנה אינו מתאפס. כאשר x → ∞: g(x) → 1, ולכן y = 1; כאשר x → -∞: g(x) → 0 - 10 + 3 = -13, ולכן y = -13. חיתוך עם הצירים: g(x) = 0 כאשר e^x - 1 = 0, כלומר x = 0; וגם g(0) = 04 = 0. הגרף חותך את שני הצירים בנקודה אחת ויחידה - ראשית הצירים (0 , 0).

ה. הגרף המתאים הוא גרף II. הנימוקים: הפונקצייה מוגדרת לכל x, ולכן הגרף אינו יכול לכלול אסימפטוטה אנכית - וזה פוסל את גרף I. יש שתי אסימפטוטות אופקיות, y = 1 מימין ו־y = -13 משמאל, והגרף עובר דרך ראשית הצירים - וזה פוסל את גרף IV, שכולו מעל ציר ה־x ואינו חותך אותו. לבסוף הנגזרת g'(x) = 4e^x(e^x + 3)² > 0 לכל x, כלומר הפונקצייה עולה ממש - וזה פוסל את גרף III, שבו הפונקצייה יורדת. נשאר גרף II.

ו. (1) ℓn מוגדר רק על ביטוי חיובי, ולכן דורשים g(x) > 0. המכנה e^x + 3 חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי המונה: e^x - 1 > 0, כלומר e^x > 1. תחום ההגדרה: x > 0.
(2) כאשר x → 0⁺ מתקיים g(x) → 0⁺, ולכן h(x) = ℓn(g(x)) → -∞: אסימפטוטה x = 0 (מאונכת לציר ה־x). כאשר x → ∞ מתקיים g(x) → 1 (מלמטה), ולכן h(x) → ℓn 1 = 0 (מלמטה): אסימפטוטה y = 0 (מאונכת לציר ה־y).

פתרון מלא - שאלה 5 הדרך: הפונקצייה היא הפרש בין לוגריתם ובין ישר, ולכן תחום ההגדרה נקבע רק על ידי הלוגריתם, והתנהגות הקצוות ידועה מראש: ליד 0 שולט הלוגריתם ומושך למטה, ובאינסוף שולט -x ומושך למטה - כלומר יש מקסימום יחיד ותו לא. סעיף ב הוא הצומת של השאלה, ויש בו שני תנאי השקה, אך רק אחד מהם דרוש: שוויון השיפועים בנקודה נתונה נותן משוואה ליניארית ב־a, ואילו שוויון הערכים משמש כבדיקה. שימו לב שהמשיק כאן אינו ציר ה־x אלא ישר משופע, ולכן נקודת ההשקה אינה נקודת הקיצון. בסעיף ד מחשבים שטח שבין עקומה ובין משיק שלה, ולכן קודם קובעים מי מעל מי - ובקעורה כלפי מטה המשיק תמיד מעל - ורק אחר כך מציבים בהפרש. האינטגרל של ℓn x אינו בדפי הנוסחאות כנוסחה מוכנה, ולכן מקבלים אותו באינטגרציה בחלקים או פשוט בבדיקה שהנגזרת של x·ℓn x - x היא ℓn x. סעיף ה חוזר אל הפרמטר החופשי, והמפתח הוא שערך המקסימום עצמו הוא פונקצייה של a: די להראות שהוא חיובי בעבור ערך אחד כדי להכריע.
א. (1) הלוגריתם מוגדר רק על ביטוי חיובי, ולכן x > 0.
(2) כאשר x → 0⁺ מתקיים ℓn x → -∞, ולכן a·ℓn x → -∞ (שכן a > 0), ואילו -x → 0. לכן f(x) → -∞, והאסימפטוטה המאונכת לציר ה־x היא x = 0.
(3) f'(x) = ax - 1. איפוס: ax = 1, כלומר x = a (בתחום ההגדרה, שכן a > 0).
f(a) = a·ℓn a - a, ולכן נקודת הקיצון היא (a , a·ℓn a - a).
הסוג: f''(x) = -ax² < 0 לכל x > 0, ולכן זו נקודת מקסימום (ובאותה מידה: f' חיובית בעבור x < a ושלילית בעבור x > a).

ב. תנאי ההשקה בנקודה שבה x = 1 הוא שוויון השיפועים: שיפוע הישר y = x - 2 הוא 1, ולכן f'(1) = 1.
f'(1) = a1 - 1 = a - 1, ומכאן a - 1 = 1 ולכן a = 2.
בדיקה (שוויון הערכים): f(1) = 2·ℓn 1 - 1 = -1, והישר בנקודה x = 1 נותן 1 - 2 = -1 - שתי הנקודות מתלכדות ב־(1 , -1) ✓.
מכאן ואילך f(x) = 2·ℓn x - x.

ג. f'(x) = 2x - 1 = 2 - xx. בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי המונה:
עלייה: 0 < x < 2; ירידה: x > 2.
נקודת המקסימום (לפי סעיף א(3) עם a = 2): (2 , 2·ℓn 2 - 2), ו־2·ℓn 2 - 2 ≈ 1.386 - 2 = -0.614.
סקיצה: הגרף מוגדר רק מימין לציר ה־y, עולה מ־-∞ (לאורך האסימפטוטה x = 0) עד המקסימום (2 , -0.614) ואז יורד שוב אל -∞. מכיוון שערך המקסימום שלילי, כל הגרף נמצא מתחת לציר ה־x ואינו חותך אותו כלל. הישר y = x - 2 משיק לו מלמעלה בנקודה (1 , -1).

ד. תחילה קובעים מי מעל מי בתחום 1 ≤ x ≤ 2. נסמן d(x) = (x - 2) - (2·ℓn x - x) = 2x - 2 - 2·ℓn x.
d(1) = 2 - 2 - 0 = 0 (זו נקודת ההשקה), ו־ d'(x) = 2 - 2x > 0 בעבור x > 1, ולכן d עולה ו־d(x) > 0 בכל 1 < x ≤ 2 - כלומר המשיק נמצא מעל הגרף בכל התחום (וזה נכון תמיד בפונקצייה קעורה כלפי מטה).
השטח הוא אפוא האינטגרל של ההפרש:
S = ∫₁² (2x - 2 - 2·ℓn x) dx.
פונקצייה קדומה: ∫ ℓn x dx = x·ℓn x - x (בדיקה בגזירה: ℓn x + x·1x - 1 = ℓn x ✓), ולכן
∫ (2x - 2 - 2·ℓn x) dx = x² - 2x - 2(x·ℓn x - x) = x² - 2x·ℓn x (המחוברים -2x ו־+2x מתבטלים).
הצבת הגבולות:
S = (2² - 2·2·ℓn 2) - (1² - 2·1·ℓn 1) = (4 - 4·ℓn 2) - 1 = 3 - 4·ℓn 2.
S = 3 - 4·ℓn 2 ≈ 3 - 2.7726 ≈ 0.227.

ה. הטענה נכונה. לפי סעיף א(3) ערך המקסימום של הפונקצייה הוא M(a) = a·ℓn a - a = a(ℓn a - 1), ומכיוון ש־a > 0 סימנו נקבע רק על ידי הסוגר: M(a) > 0 אם ורק אם ℓn a > 1, כלומר a > e.
נבחר למשל a = e². אז M = e²(2 - 1) = e² ≈ 7.39 > 0.
הפונקצייה רציפה בכל התחום x > 0, שואפת ל־-∞ בשני קצותיו (ליד 0 ובאינסוף), עולה עד המקסימום ויורדת אחריו. ערך מקסימום חיובי מבטיח אפוא בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x - אחת בכל אחד מן הענפים.
(ולשם ההשלמה: בעבור a ≤ e ערך המקסימום אינו חיובי, ואז יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת - כפי שראינו בסעיף ג, שבו a = 2 < e ואין אף נקודת חיתוך.)

ו. (1) 500·2^0.5t = 8,000, ולכן 2^0.5t = 16 = 2⁴, כלומר 0.5t = 4, ו־t = 8 שעות.
(2) היחס בין מספרי החיידקים בשתי שעות עוקבות קבוע: N(t + 1)N(t) = 2^0.5 ≈ 1.4142. כלומר בכל שעה מספר החיידקים גדל בכ־41.42%.
(3) הנגזרת של a^u היא a^u·ℓn a·u', ולכן N'(t) = 500·2^0.5t·ℓn 2·0.5 = 250·ℓn 2·2^0.5t. ברגע t = 4: N'(4) = 250·ℓn 2·2² = 1,000·ℓn 2 ≈ 693.15. קצב הגידול כ־693.15 חיידקים לשעה.