מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י׳ במסלול 3 יחידות לימוד: פתרון משוואות (לינאריות וריבועיות, נוסחת השורשים x = (-b ± b² - 4ac) / (2a) והדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac), הפונקציה הקווית y = mx + b (שיפוע, חיתוכים, מקבילים), הפונקציה הריבועית והפרבולה (חיתוכים, קודקוד x = -b / (2a), כיוון פתיחה), דרך, מהירות וזמן d = v · t, וכן בעיות מילוליות, יחס ואחוזים. מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - משיפוע הישר וקודקוד הפרבולה, דרך פתרון משוואה ריבועית ודרך, מהירות וזמן, ועד אחוזים והדיסקרימיננטה. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". הישר · הפרבולה · משוואה ריבועית · דרך ומהירות · אחוזים.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נפתור משוואה לינארית (2x - 3 = x + 4 ⟵ x = 7) וריבועית (x² - 5x + 6 = 0 ⟵ x = 2, 3), נמצא שיפוע ומשוואת ישר (דרך (1, 3) ו-(4, 9) ⟵ y = 2x + 1), נחלץ קודקוד פרבולה (x = -b / (2a)), נחשב דרך, מהירות וזמן (80 · 3 = 240 ק״מ), ונשלב יחס ואחוזים. כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י׳, במסלול 3 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת הפרבולה y = x² - 5x + 6:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - משוואות, הפונקציה הקווית, הפונקציה הריבועית, נוסחת השורשים והדיסקרימיננטה, דרך, מהירות וזמן, ובעיות מילוליות עם יחס ואחוזים - לפי דפי הלימוד של כיתה י׳ (3 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
משוואות
משוואה לינארית פותרים בהעברת אגפים: 2x - 3 = x + 4 ⟵ x = 7. משוואה ריבועית פותרים בפירוק: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 ⟵ x = 2, 3. בסוף מציבים בחזרה ובודקים.
הפונקציה הקווית
הצורה y = mx + b: m השיפוע ו-b החיתוך עם ציר ה-y. שיפוע בין שתי נקודות: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). ישרים בעלי אותו שיפוע מקבילים.
הפונקציה הריבועית
לפרבולה y = ax² + bx + c: חיתוך עם y ב-(0, c), חיתוכים עם x בפתרון ax² + bx + c = 0, וקודקוד ב-x = -b / (2a) (בלי נגזרת). אם a > 0 יש מינימום, ואם a < 0 מקסימום.
נוסחת השורשים והדיסקרימיננטה
עובדת תמיד: x = (-b ± b² - 4ac) / (2a). הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac קובעת כמה שורשים: חיובית ⟵ שניים, אפס ⟵ אחד, שלילית ⟵ אין שורש ממשי.
דרך, מהירות וזמן
במהירות קבועה הדרך שווה למהירות כפול הזמן: d = v · t. מכאן v = d : t ו-t = d : v. למשל רכב שנוסע 80 קמ״ש במשך 3 שעות עובר 240 ק״מ. לפני שמציבים, בודקים שהיחידות מתאימות: קמ״ש עם שעות ועם ק״מ.
בעיות, יחס ואחוזים
בעיה מילולית: בוחרים נעלם, בונים משוואה ופותרים - x(x + 3) = 40 ⟵ רוחב 5, אורך 8. שינוי באחוזים הוא כפל במקדם: הנחה 15% ⟵ 200 · 0.85 = 170. חלוקה ביחס 2 : 3 של 3,000 ⟵ 1,200 ו-1,800.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י׳ (3 יח״ל).
פתרו: (א) את המשוואה הלינארית 2x - 3 = x + 4 ; (ב) את המשוואה הריבועית x² - 5x + 6 = 0 בפירוק לגורמים ; (ג) את המשוואה x² + 2x - 15 = 0 בנוסחת השורשים.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: הם 2 ו-3, ולכן x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס, ולכן x = 2 או x = 3.
(ג) a = 1, b = 2, c = -15, ולכן Δ = 2² - 4 · 1 · (-15) = 4 + 60 = 64 ו-64 = 8. מציבים בנוסחה: x = (-2 ± 8) / 2, כלומר x = 3 או x = -5. בדיקה: 9 + 6 - 15 = 0.
(א) מצאו את שיפוע הישר העובר דרך (1, 3) ו-(4, 9) ואת משוואתו. (ב) מצאו את נקודות החיתוך של הישר y = 2x - 6 עם הצירים. (ג) האם הישר מ-(א) מקביל לישר מ-(ב)? נמקו.
לחצו לפתרון המלא
(ב) חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים y = -6, כלומר (0, -6). חיתוך עם ציר x: מציבים y = 0: 2x - 6 = 0, ולכן x = 3, כלומר (3, 0).
(ג) שני הישרים בעלי אותו שיפוע m = 2 אך b שונה (1 מול -6), ולכן הם מקבילים ואינם נחתכים.
נתונה הפרבולה y = x² - 6x + 8. מצאו: (א) את החיתוך עם ציר y ; (ב) את החיתוכים עם ציר x ; (ג) את הקודקוד ואת ציר הסימטריה, וקבעו אם זו נקודת מינימום או מקסימום.
לחצו לפתרון המלא
(ב) פותרים x² - 6x + 8 = 0: שני מספרים שמכפלתם 8 וסכומם 6 הם 2 ו-4, ולכן (x - 2)(x - 4) = 0 ומקבלים (2, 0) ו-(4, 0).
(ג) שיעור ה-x של הקודקוד: x = -b / (2a) = 62 = 3 (בדיוק אמצע החיתוכים). מציבים: y = 3² - 6 · 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. ציר הסימטריה x = 3, וכיוון ש-a = 1 > 0 - זו נקודת מינימום.
(א) רכב נוסע במהירות קבועה של 90 קמ״ש במשך 2.5 שעות. איזו דרך עבר? (ב) רוכב אופניים עבר 36 ק״מ ב-3 שעות, במהירות קבועה. מהי מהירותו? (ג) כמה זמן ייקח לרכב שנוסע במהירות קבועה של 70 קמ״ש לעבור 210 ק״מ?
לחצו לפתרון המלא
(ב) מבודדים את המהירות: מהירות = דרך : זמן, ולכן 36 : 3 = 12 קמ״ש.
(ג) זמן = דרך : מהירות, ולכן 210 : 70 = 3 שעות. בדיקה: 70 · 3 = 210.
(א) אורך מלבן גדול ב-3 ס״מ מרוחבו, ושטחו 40 ס״מ². מצאו את ממדי המלבן ואת היקפו. (ב) מחירו של מוצר, 1,200 ₪, עלה ב-10% ואחר כך ירד ב-10%. מהו המחיר הסופי, והאם חזר למחירו המקורי?
לחצו לפתרון המלא
(ב) מכפלת מקדמים: 1,200 · 1.1 · 0.9 = 1,200 · 0.99 = 1,188 ₪. המחיר לא חזר למקורי: הוא נמוך ממנו ב-1%, כי 0.99 = 1 - 0.01.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - משוואות, הפונקציה הקווית, הפונקציה הריבועית, דרך, מהירות וזמן, ובעיות עם יחס ואחוזים (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1משוואות: לינארית בהעברת אגפים; ריבועית בפירוק או בנוסחה x = (-b ± b² - 4ac) / (2a); Δ = b² - 4ac קובע כמה שורשים.
- 2הישר: y = mx + b; שיפוע m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁); אותו שיפוע = מקבילים.
- 3הפרבולה: חיתוך עם y ב-(0, c), קודקוד ב-x = -b / (2a); a > 0 מינימום, a < 0 מקסימום.
- 4דרך, מהירות וזמן: d = v · t, ומכאן v = d : t ו-t = d : v.
- 5יחס ואחוזים: חלוקה לפי חלקים, וכל שינוי באחוזים הוא כפל במקדם (200 · 0.85 = 170).
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| משוואות | פירוק או נוסחת השורשים; Δ = b² - 4ac קובע כמה שורשים | x² - 5x + 6 = 0 ⟵ x = 2, 3 |
| הפונקציה הקווית | m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), ואז y = mx + b | (1, 3), (4, 9) ⟵ y = 2x + 1 |
| הפונקציה הריבועית | קודקוד x = -b / (2a), חיתוך y ב-(0, c) | y = x² - 6x + 8 ⟵ קודקוד (3, -1) |
| דרך, מהירות וזמן | d = v · t, ומכאן v = d : t ו-t = d : v | 80 · 3 = 240 ק״מ |
| יחס ואחוזים | חלוקה לפי חלקים; שינוי = כפל במקדם | 200 · 0.85 = 170 ; 3,000 ⟵ 1,200, 1,800 |
