נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה י׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · 4 יח״ל

מבחן רבעוני רבעון א׳

המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י׳ במסלול 4 יחידות לימוד (רמה גבוהה יותר מ-3 יח״ל): טכניקה אלגברית (נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, שברים אלגבריים ותחום הצבה), משוואות ואי-שוויונות ריבועיים (פירוק, נוסחת השורשים x = (-b ± b² - 4ac) / (2a) והדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac, שיטת התחומים ומערכת ריבועית-לינארית), גאומטריה אנליטית של הישר (מרחק (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², אמצע, שיפוע, y = mx + b, מקבילות וניצבות), וחקירת פונקציה (תחום, חיתוכים, קודקוד x = -b / (2a), עלייה/ירידה וסימן של פולינום). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן רבעוני רבעון א׳ מתמטיקה · כיתה י׳ 4 יחידות לימוד 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מפיתוח נוסחת הכפל המקוצר ופירוק לגורמים, דרך מרחק ושיפוע ניצב, ועד פתרון משוואה ריבועית ותחום הצבה. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". טכניקה אלגברית · משוואות · גאומטריה אנליטית · תחום הצבה.

כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נפתח נוסחת כפל מקוצר ((2x - 3)² = 4x² - 12x + 9) ונפרק טרינום (x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)), נפתור משוואה ריבועית (x² - 5x + 6 = 0 ⟵ x = 2, 3) ואי-שוויון בשיטת התחומים (x² - x - 6 > 0 ⟵ x < -2 או x > 3), נמדוד מרחק ושיפוע במישור (מ-(0, 0) ל-(3, 4) ⟵ 5; ניצב לשיפוע 2 ⟵ -12), ונחקור פרבולה (y = x² - 6x + 5 ⟵ קודקוד (3, -4)) וסימן של פולינום. כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 4 יח״ל.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י׳, במסלול 4 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית נוסחת השורשים. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת הפרבולה y = x² - 5x + 6:

החלקים של הפרבולה - על y = x² - 5x + 6 (שורשים 2, 3, קודקוד (2.5, -0.25))
y = x² - 5x + 6 x (0, 6) חיתוך עם ציר y (2, 0) (3, 0) חיתוכים עם ציר x (2.5, -0.25) קודקוד (מינימום) x = 2.5
דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 4 יח״ל - טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות ריבועיים, גאומטריה אנליטית של הישר, וחקירת פונקציה וסימן של פולינום - לפי דפי הלימוד של כיתה י׳ (4 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.

1

טכניקה אלגברית

נוסחאות הכפל המקוצר (a ± b)² = a² ± 2ab + b² ו-a² - b² = (a - b)(a + b). טרינום x² + px + q מתפרק ל-(x + m)(x + n) עם m·n = q ו-m + n = p. בשבר אלגברי קובעים תחום הצבה (מכנה ≠ 0), מפרקים ומצמצמים: (x² - 25)/(x - 5) = x + 5 עבור x ≠ 5.

2

משוואה ריבועית

פותרים בפירוק (x - r₁)(x - r₂) = 0, ואם הפירוק לא מיידי - בנוסחת השורשים x = (-b ± b² - 4ac) / (2a). הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac קובעת: חיובית ⟵ שני פתרונות, אפס ⟵ אחד, שלילית ⟵ אין פתרון ממשי.

3

אי-שוויון ומערכת

אי-שוויון ריבועי בשיטת התחומים: מוצאים שורשים, מסמנים על ציר ה-x, ובודקים סימן. פרבולה כלפי מעלה חיובית מחוץ לשורשים. מערכת ריבועית-לינארית: משווים אגפים (x² = x + 2), מסדרים לריבועית ופותרים.

4

גאומטריה אנליטית

מרחק (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², אמצע = ממוצע השיעורים, ושיפוע m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). הישר y = mx + b: ישרים מקבילים אם m₁ = m₂, וניצבים אם m₁·m₂ = -1.

5

חקירת פרבולה

לפרבולה y = ax² + bx + c: חיתוך עם y ב-(0, c), חיתוכים עם x בפתרון ax² + bx + c = 0, וקודקוד ב-x = -b / (2a) (אמצע השורשים). אם a > 0 - מינימום, ויורדת לפני הקודקוד ועולה אחריו.

6

סימן של פולינום

פולינום מפורק לגורמים: כל גורם (x - r) נותן שורש. השורשים מחלקים את הציר לקטעים, ובכל קטע בודקים נקודה. f(x) = (x - 1)(x - 3): f > 0 עבור x < 1 או x > 3, ו-f < 0 עבור 1 < x < 3. תחום ההגדרה של פולינום - כל x.

a > 0
נפתחת כלפי מעלה
a > 0: נפתחת כלפי מעלה - יש נקודת מינימום
a < 0
נפתחת כלפי מטה
a < 0: נפתחת כלפי מטה - יש נקודת מקסימום
פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י׳ (4 יח״ל).

שאלה 1 · טכניקה אלגברית8 נקודות

(א) פתחו את הריבוע (2x - 3)². (ב) פרקו לגורמים את הטרינום x² - 7x + 10. (ג) צמצמו את השבר (x² - 25) / (x - 5) וכתבו את תחום ההצבה.

לחצו לפתרון המלא
(א) לפי (a - b)² = a² - 2ab + b² עם a = 2x ו-b = 3: (2x)² = 4x², האמצע -2·2x·3 = -12x, והחופשי 3² = 9. מכאן (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.
(ב) מחפשים שני מספרים שמכפלתם 10 וסכומם -7: הם -2 ו--5, ולכן x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5).
(ג) קודם תחום הצבה: המכנה x - 5 אסור שיתאפס, ולכן x ≠ 5. מפרקים את המונה בהפרש ריבועים x² - 25 = (x - 5)(x + 5) ומצמצמים: (x² - 25) / (x - 5) = x + 5.
(א) 4x² - 12x + 9 · (ב) (x - 2)(x - 5) · (ג) x + 5, בתוקף עבור x ≠ 5.
שאלה 2 · משוואות ואי-שוויונות8 נקודות

(א) פתרו בפירוק לגורמים את x² - 5x + 6 = 0. (ב) פתרו בשיטת התחומים את אי-השוויון x² - x - 6 > 0. (ג) פתרו את משוואת השבר (x + 1) / (x - 3) = 2 וציינו את תחום ההצבה.

לחצו לפתרון המלא
(א) שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5 הם 2 ו-3, ולכן (x - 2)(x - 3) = 0 ומכאן x = 2 או x = 3. (אימות: Δ = (-5)² - 4·1·6 = 1.)
(ב) פותרים x² - x - 6 = 0, מפרקים ל-(x + 2)(x - 3) = 0 ומקבלים שורשים -2 ו-3. המקדם a = 1 > 0, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה וחיובית מחוץ לשורשים: x < -2 או x > 3.
(ג) תחום הצבה: x - 3 ≠ 0, כלומר x ≠ 3. מכפילים במכנה: x + 1 = 2(x - 3), כלומר x + 1 = 2x - 6, ולכן x = 7 - מקיים x ≠ 3 ולכן תקין.
(א) x = 2 ו-x = 3 · (ב) x < -2 או x > 3 · (ג) x = 7 (בתחום x ≠ 3).
שאלה 3 · גאומטריה אנליטית8 נקודות

נתונות A(1, 2) ו-B(4, 6). (א) מצאו את אורך AB, את נקודת האמצע ואת שיפוע AB. (ב) מצאו את משוואת הישר העובר דרך (2, 1) בשיפוע 3. (ג) מהו שיפוע ישר הניצב לישר y = (12)x + 3?

לחצו לפתרון המלא
(א) מרחק: AB = (4 - 1)² + (6 - 2)² = 9 + 16 = 25 = 5. אמצע: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4). שיפוע: m = (6 - 2) / (4 - 1) = 43 (חיובי, ולכן הישר עולה).
(ב) מתחילים מ-y = 3x + b ומציבים את (2, 1): 1 = 3·2 + b, כלומר b = 1 - 6 = -5, והישר הוא y = 3x - 5.
(ג) לישר y = (12)x + 3 שיפוע 12. ישרים ניצבים מקיימים m₁·m₂ = -1, ולכן (12)·m = -1 ומכאן m = -2.
(א) AB = 5, אמצע (2.5, 4), שיפוע 43 · (ב) y = 3x - 5 · (ג) m = -2.
שאלה 4 · חקירת פרבולה8 נקודות

נתונה הפרבולה y = x² - 6x + 5. מצאו: (א) את החיתוך עם ציר y ; (ב) את החיתוכים עם ציר x ; (ג) את הקודקוד (בעזרת x = -b / (2a)) וקבעו אם זו נקודת מינימום או מקסימום, ובאיזה תחום הפונקציה עולה ובאיזה יורדת.

לחצו לפתרון המלא
(א) מציבים x = 0 ומקבלים y = 5 (המקדם החופשי c), כלומר (0, 5).
(ב) פותרים x² - 6x + 5 = 0: שני מספרים שמכפלתם 5 וסכומם 6 הם 1 ו-5, ולכן (x - 1)(x - 5) = 0 והחיתוכים (1, 0) ו-(5, 0).
(ג) שיעור ה-x של הקודקוד: x = -b / (2a) = 62 = 3 (בדיוק אמצע השורשים). מציבים: y = 3² - 6·3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. כיוון ש-a = 1 > 0 - זו נקודת מינימום; הפונקציה יורדת עבור x < 3 ועולה עבור x > 3.
(א) (0, 5) · (ב) (1, 0) ו-(5, 0) · (ג) קודקוד מינימום (3, -4); יורדת עבור x < 3, עולה עבור x > 3.
שאלה 5 · סימן של פולינום ומערכת8 נקודות

(א) נתונה f(x) = (x - 1)(x - 3). מצאו את השורשים (חיתוכים עם ציר x), את החיתוך עם ציר y, ואת תחומי החיוביות והשליליות. (ב) מצאו את נקודות המפגש של y = x² ו-y = x + 2.

לחצו לפתרון המלא
(א) כל גורם מתאפס: x = 1 ו-x = 3, כלומר החיתוכים (1, 0) ו-(3, 0). חיתוך עם ציר y: f(0) = (-1)(-3) = 3, כלומר (0, 3). לוח סימנים: ב-x = 0 מקבלים (-)(-) = +, ב-x = 2 מקבלים (+)(-) = -, וב-x = 4 מקבלים (+)(+) = +. לכן f > 0 עבור x < 1 או x > 3, ו-f < 0 עבור 1 < x < 3.
(ב) משווים אגפים: x² = x + 2, מסדרים x² - x - 2 = 0, מפרקים (x - 2)(x + 1) = 0 ומקבלים x = 2 ו-x = -1. מציבים: ב-x = 2 יוצא y = 4, וב-x = -1 יוצא y = 1.
(א) שורשים (1, 0), (3, 0); חיתוך (0, 3); f > 0 ל-x < 1 או x > 3, f < 0 ל-1 < x < 3 · (ב) (2, 4) ו-(-1, 1).

דוגמה 1
    דוגמה 2
      דוגמה 3
        פרק א · רב-ברירה והקלדה

        פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

        ניקוד: 0 / 0

        24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 4 יח״ל - טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות ריבועיים, גאומטריה אנליטית של הישר, וחקירת פונקציה וסימן של פולינום (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית נוסחת השורשים. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

        לוח המשחק

        דרכים לתרגל את הדף הזה

        המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

        0%
        שליטה
        0חדש
        0בלימוד
        0בחזרה
        0שולט

        נקודות לבדיקה עצמית

        • 1טכניקה אלגברית: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² - b² = (a - b)(a + b), וטרינום לפי מכפלה וסכום; בשבר תמיד תחום הצבה.
        • 2משוואה ריבועית: פירוק או x = (-b ± b² - 4ac) / (2a); Δ = b² - 4ac קובע כמה שורשים.
        • 3אי-שוויון ומערכת: שיטת התחומים (שורשים + סימן); מערכת ריבועית-לינארית בהשוואת אגפים.
        • 4הישר: מרחק, אמצע, m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁); מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁·m₂ = -1.
        • 5חקירה וסימן: קודקוד ב-x = -b / (2a); לוח סימנים לפי השורשים; לפולינום תחום הגדרה - כל x.
        נושאי הרבעון של 4 יח״ל במבט אחד
        הנושאהכללדוגמה
        טכניקה אלגבריתפיתוח נוסחה, פירוק לגורמים, צמצום ותחום הצבה(x² - 25) / (x - 5) = x + 5, x ≠ 5
        משוואות ואי-שוויונותפירוק או נוסחת השורשים; שיטת התחומים לאי-שוויוןx² - x - 6 > 0 ⟵ x < -2 או x > 3
        גאומטריה אנליטיתm = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁); ניצבים m₁·m₂ = -1(0, 0), (3, 4) ⟵ מרחק 5
        חקירת פרבולהחיתוכים; קודקוד x = -b / (2a) (אמצע השורשים)y = x² - 6x + 5 ⟵ קודקוד (3, -4)
        סימן של פולינוםשורשים ← לוח סימנים ← תחומי חיוביות ושליליות(x - 1)(x - 3) ⟵ f < 0 ל-1 < x < 3
        מפתח פתרונות (תרגול)

          היי! זהו מבחן רבעוני במתמטיקה לכיתה י׳ (4 יח״ל) - טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות ריבועיים, גאומטריה אנליטית של הישר, וחקירת פונקציה וסימן של פולינום. פרק א רב-ברירה והקלדה נבדק אוטומטית, ובפרק ב פתרו לעצמכם ואז גלו את הפתרון המלא. בהצלחה!

          תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי