נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה י׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · 4 יח״ל

מבחן רבעוני רבעון ב׳

המבחן מכסה את חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה י׳ במסלול 4 יחידות לימוד (רמה גבוהה יותר מ-3 יח״ל): הנגזרת ומשוואת המשיק (הנגזרת f'(x) כשיפוע המשיק, כלל החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, שיפוע בנקודה ומשוואת המשיק y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)), הוכחת מרובעים במערכת צירים (סיווג לפי שיפועים m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) ואורכים (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², היקף ושטח), נקודות וקווים מיוחדים במשולש (תיכונים ונקודת מפגש התיכונים ביחס 2:1, גבהים, חוצי זווית ואנכים אמצעיים), דמיון משולשים (ז.ז, צ.ז.צ ביחס, צ.צ.צ ביחס; היקפים ×k ושטחים ×k²), וטריגונומטריה ושטח המשולש (sin, cos, tan ו-S = ½·a·b·sinC). מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן רבעוני רבעון ב׳ מתמטיקה · כיתה י׳ 4 יחידות לימוד 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מגזירת פולינום ושיפוע המשיק, דרך הוכחת סוג מרובע ויחס התיכון במשולש, ועד מקום גאומטרי ושטח משולש בטריגונומטריה. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". נגזרת · מרובעים · קווים מיוחדים · מקומות גאומטריים · טריגונומטריה.

כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נגזור פולינום ונמצא שיפוע משיק (f(x) = x² ⟵ f'(x) = 2x, בנקודה x = 3 שיפוע 6), נכתוב משוואת משיק (ל-f(x) = x² ב-(1, 1) ⟵ y = 2x - 1), נוכיח סוג מרובע ממערכת צירים (A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3) ⟵ מלבן, היקף 14, שטח 12), נשתמש ביחס התיכון (תיכון 12 ⟵ 8 ו-4), נקבע דמיון משולשים (יחס 3:5, צלע 6 ⟵ 10) ונחשב שטח משולש (צלעות 6, 8 וזווית 30° ⟵ S = 12). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 4 יח״ל.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה י׳, במסלול 4 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - סמנו את התשובה הנכונה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית נוסחת השורשים (שימושית כשמשווים נגזרת לאפס). לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת המשיק ל-f(x) = x² בנקודה (1, 1):

המשיק ל-f(x) = x² בנקודה (1, 1) - שיפוע f'(1) = 2, ומשוואתו y = 2x - 1
f(x) = x² · משיק ב-(1, 1) x y y = 2x - 1 (1, 1) נקודת המגע f′(1) = 2 שיפוע המשיק f′(x) = 2x
דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לנושאי הרבעון השני של 4 יח״ל - הנגזרת ומשוואת המשיק, הוכחת מרובעים במערכת צירים, נקודות וקווים מיוחדים במשולש, דמיון משולשים, וטריגונומטריה ושטח המשולש - לפי דפי הלימוד של כיתה י׳ (4 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.

1

הנגזרת ושיפוע המשיק

הנגזרת f'(x) היא שיפוע המשיק לגרף בכל נקודה. את השיפוע בנקודה x₀ מקבלים בהצבה f'(x₀). למשל ל-f(x) = x² יש f'(x) = 2x, ובנקודה x = 3 השיפוע 2·3 = 6.

2

כללי גזירה לפולינום

כלל החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, גוזרים סכום איבר-איבר וקבוע כופל נשמר: (6x²)' = 12x. כך f(x) = x³ - 6x² + 9x נותנת f'(x) = 3x² - 12x + 9. משוואת המשיק: y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).

3

הוכחת מרובעים

מסווגים מרובע מארבעה קדקודים דרך שיפועי הצלעות (מקבילות אם m₁ = m₂, ניצבות אם m₁·m₂ = -1) ואורכי הצלעות. זוג מקביל ושווה ⟵ מקבילית; + זווית ישרה ⟵ מלבן; + כל הצלעות שוות ⟵ מעוין; שניהם ⟵ ריבוע.

4

קווים מיוחדים במשולש

שלושת התיכונים נחתכים בנקודת מפגש התיכונים, שמחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקדקוד (תיכון 12 ⟵ 8 ו-4). הגבהים ⟵ נקודת מפגש הגבהים, חוצי הזווית ⟵ נקודת מפגש חוצי הזוויות, האנכים האמצעיים ⟵ נקודת מפגש האנכים האמצעיים.

5

דמיון משולשים

שני משולשים דומים אם מתקיים אחד המשפטים ז.ז, צ.ז.צ ביחס או צ.צ.צ ביחס. ביחס דמיון k כל האורכים וההיקפים גדלים פי k, והשטחים פי k². ישר מקביל לצלע יוצר משולש דומה למקורי.

6

טריגונומטריה ושטח

במשולש ישר-זווית sinα = מול/יתר, cosα = סמוך/יתר, tanα = מול/סמוך. שטח כל משולש S = ½·a·b·sinC - שתי צלעות והזווית שביניהן. גם לזווית קהה: sin(180° - α) = sinα, למשל sin150° = 0.5.

f′(x) > 0
המשיק עולה
שיפוע חיובי (f'(x) > 0): הפונקציה עולה - המשיק עולה
f′(x) < 0
המשיק יורד
שיפוע שלילי (f'(x) < 0): הפונקציה יורדת - המשיק יורד
פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון השני בכיתה י׳ (4 יח״ל).

שאלה 1 · הנגזרת ומשוואת המשיק8 נקודות

נתונה הפונקציה f(x) = x² - 4x + 3. (א) מצאו את הנגזרת f'(x). (ב) מהו שיפוע המשיק בנקודה x = 3? (ג) מצאו את f(3) (שיעור ה-y של נקודת המגע). (ד) כתבו את משוואת המשיק בנקודה זו.

לחצו לפתרון המלא
(א) גוזרים איבר-איבר לפי כלל החזקה: f'(x) = 2x - 4.
(ב) מציבים x = 3 בנגזרת: f'(3) = 2·3 - 4 = 2, ולכן שיפוע המשיק הוא m = 2.
(ג) מציבים x = 3 בפונקציה עצמה: f(3) = 3² - 4·3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0, כלומר נקודת המגע היא (3, 0).
(ד) משוואת המשיק y - y₀ = m(x - x₀) עם m = 2 ו-(3, 0): y - 0 = 2(x - 3), ומכאן y = 2x - 6.
(א) f'(x) = 2x - 4 · (ב) m = 2 · (ג) (3, 0) · (ד) y = 2x - 6.
שאלה 2 · הוכחת מרובע במערכת צירים8 נקודות

נתון מרובע A(0, 0), B(4, 3), C(0, 6), D(-4, 3). (א) חשבו את אורכי הצלעות AB ו-BC. (ב) קבעו את סוג המרובע ונמקו. (ג) חשבו את היקפו ואת שטחו (היעזרו באלכסונים AC ו-BD).

לחצו לפתרון המלא
(א) לפי נוסחת המרחק: AB = (4 - 0)² + (3 - 0)² = 16 + 9 = 25 = 5, ו-BC = (0 - 4)² + (6 - 3)² = 16 + 9 = 5. באותו אופן CD = DA = 5 - כל ארבע הצלעות שוות.
(ב) הצלעות הנגדיות AB ו-DC בעלות אותו שיפוע 34, ולכן זו מקבילית; מקבילית שכל צלעותיה שוות היא מעוין.
(ג) היקף = 4·5 = 20. האלכסונים: AC מ-(0, 0) ל-(0, 6) אנכי באורך 6, ו-BD מ-(4, 3) ל-(-4, 3) אופקי באורך 8 - הם ניצבים, כמצופה במעוין. שטח = (AC·BD)/2 = (6·8)/2 = 24.
(א) AB = BC = 5 · (ב) מעוין · (ג) היקף 20, שטח 24.
שאלה 3 · נקודות וקווים מיוחדים במשולש8 נקודות

במשולש ABC התיכון AM באורך 18, ונקודת מפגש התיכונים G נמצא עליו. שטח המשולש הוא 30. (א) מהו AG (מהקדקוד אל G)? (ב) מהו GM (מ-G אל הצלע)? (ג) מהו היחס AG : GM? (ד) לאילו שני שטחים מחלק התיכון AM את המשולש?

לחצו לפתרון המלא
(א) נקודת מפגש התיכונים מחלק את התיכון ביחס 2:1 מהקדקוד, ולכן AG = (23)·18 = 12.
(ב) החלק אל הצלע הוא שליש התיכון: GM = (13)·18 = 6.
(ג) היחס AG : GM = 12 : 6 = 2 : 1 - בדיוק היחס 2:1 מהקדקוד.
(ד) התיכון מגיע לאמצע M של הצלע, ולכן שני המשולשים ABM ו-ACM יושבים על בסיסים שווים BM = MC ובעלי גובה משותף מ-A - הם שווי-שטח, כל אחד 30 : 2 = 15.
(א) AG = 12 · (ב) GM = 6 · (ג) 2 : 1 · (ד) שני משולשים בשטח 15 כל אחד.
שאלה 4 · דמיון משולשים8 נקודות

במשולש ABC נקודה D על AB ונקודה E על AC, כך ש-DE ∥ BC. (א) הוכיחו △ADE ∼ △ABC. (ב) נתון AD = 6 ו-AB = 10 - מהו יחס הדמיון, ומהו DE אם BC = 15? (ג) שטח △ABC הוא 50 - מהו שטח △ADE?

לחצו לפתרון המלא
(א) הזווית ∠A משותפת לשני המשולשים, ו-∠ADE = ∠ABC כזוויות מתאימות בין המקבילים DE ∥ BC עם החותך AB. שתי זוויות שוות ⟵ לפי ז.ז המשולשים דומים.
(ב) יחס הדמיון הוא ADAB = 610 = 0.6. הצלעות המתאימות ביחס הזה, ולכן DE = 0.6 · 15 = 9.
(ג) יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: k² = 0.6² = 0.36, ולכן שטח △ADE = 0.36 · 50 = 18.
(א) לפי ז.ז · (ב) k = 0.6, DE = 9 · (ג) שטח = 18.
שאלה 5 · טריגונומטריה ושטח המשולש8 נקודות

במשולש ABC נתון AB = 10 ו-AC = 12. (א) מצאו את שטח המשולש כאשר הזווית A = 30°. (ב) מצאו את השטח כאשר A = 150° (אותן צלעות). (ג) במשולש ישר-זווית נפרד היתר 10 וזווית חדה 30° - מהו אורך הניצב שמול הזווית?

לחצו לפתרון המלא
(א) שתי צלעות והזווית שביניהן נתונות, ולכן S = ½·AB·AC·sinA = ½·10·12·sin30° = 60·0.5 = 30.
(ב) עבור זווית קהה sin150° = sin(180° - 150°) = sin30° = 0.5, ולכן S = ½·10·12·0.5 = 30 - אותו שטח בדיוק.
(ג) הניצב שמול הזווית קשור ליתר דרך sinα = מול/יתר, ולכן מול = יתר·sin30° = 10·0.5 = 5.
(א) S = 30 · (ב) S = 30 (כי sin150° = sin30°) · (ג) הניצב שמול הזווית = 5.

דוגמה 1
    דוגמה 2
      דוגמה 3
        פרק א · רב-ברירה

        פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

        ניקוד: 0 / 0

        24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון השני של 4 יח״ל - הנגזרת ומשוואת המשיק, הוכחת מרובעים, קווים מיוחדים במשולש, דמיון משולשים וטריגונומטריה (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית נוסחת השורשים, שימושית כשמשווים נגזרת לאפס. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

        לוח המשחק

        דרכים לתרגל את הדף הזה

        המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

        0%
        שליטה
        0חדש
        0בלימוד
        0בחזרה
        0שולט

        נקודות לבדיקה עצמית

        • 1הנגזרת והמשיק: f'(x) הוא שיפוע המשיק; כלל החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; שיפוע בנקודה f'(x₀); משיק y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).
        • 2הוכחת מרובע: שיפועים (מקביל/ניצב) ואורכים ⟵ מקבילית / מלבן / מעוין / ריבוע; היקף = סכום הצלעות, שטח לפי הסוג.
        • 3קווים מיוחדים: תיכונים ⟵ נקודת מפגש התיכונים (יחס 2:1), גבהים ⟵ נקודת מפגש הגבהים, חוצי זווית ⟵ מפגש חוצי הזוויות, אנכים אמצעיים ⟵ מפגש האנכים האמצעיים.
        • 4דמיון משולשים: ז.ז / צ.ז.צ ביחס / צ.צ.צ ביחס; ביחס k ההיקפים ×k והשטחים ×k².
        • 5טריגונומטריה: sin/cos/tan במשולש ישר-זווית; שטח S = ½·a·b·sinC; sin(180° - α) = sinα.
        נושאי הרבעון השני של 4 יח״ל במבט אחד
        הנושאהכללדוגמה
        הנגזרת והמשיקכלל החזקה; שיפוע המשיק בנקודה; משוואת המשיקf(x) = x² ⟵ f'(3) = 6
        הוכחת מרובעיםשיפועים ואורכים ⟵ סוג המרובע, היקף ושטחA(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3) ⟵ מלבן, שטח 12
        קווים מיוחדים במשולשתיכון ⟵ נקודת מפגש התיכונים ביחס 2:1 מהקדקודתיכון 12 ⟵ 8 ו-4
        דמיון משולשיםז.ז / צ.ז.צ ביחס / צ.צ.צ ביחס; היקפים ×k, שטחים ×k²יחס 3:5, צלע 6 ⟵ 10
        טריגונומטריהS = ½·a·b·sinC; sin(180 - α) = sinα6, 8, 30° ⟵ S = 12
        מפתח פתרונות (תרגול)

          היי! זהו מבחן רבעוני במתמטיקה לכיתה י׳ (4 יח״ל) - הנגזרת ומשוואת המשיק, הוכחת מרובעים, קווים מיוחדים במשולש, דמיון משולשים וטריגונומטריה. פרק א רב-ברירה נבדק אוטומטית, ובפרק ב פתרו לעצמכם ואז גלו את הפתרון המלא. בהצלחה!

          תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי