מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י׳ במסלול 5 יחידות לימוד (המסלול המתקדם ביותר): משוואות ואי-שוויונות מתקדמות (משוואה דו-ריבועית בהצבה t = x², אי-שוויון פולינומי בשיטת התחומים, אי-שוויון רציונלי (x - 2)/(x + 1) > 0 עם תחום הגדרה, ומערכת ריבועית-לינארית), גאומטריה אנליטית של הישר (מרחק Δx² + Δy², אמצע, שיפוע, y = mx + b, מקבילות וניצבות), המעגל הקנוני x² + y² = r² ו-(x - a)² + (y - b)² = r² (מרכז, רדיוס ושייכות נקודה), פעולות על פונקציות (הזזה, שיקוף, הרכבה f(g(x)) ופונקציה הופכית), וחקירת פולינום (שורשים, חיתוך עם ציר y, ולוח סימנים). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - ממשוואה דו-ריבועית בהצבה ואי-שוויון בשיטת התחומים, דרך מרחק ומעגל קנוני, ועד הרכבת פונקציות ושיפוע ניצב. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". משוואות ואי-שוויונות · גאומטריה אנליטית · המעגל · פעולות על פונקציות.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נפתור משוואה דו-ריבועית בהצבה (x⁴ - 5x² + 4 = 0 ⟵ x = ±1, ±2) ואי-שוויון בשיטת התחומים ((x - 1)(x - 3) > 0 ⟵ x < 1 או x > 3), נקרא אי-שוויון רציונלי ((x - 2)/(x + 1) > 0 ⟵ x < -1 או x > 2), נמדוד מרחק ושיפוע ניצב במישור (מ-(0, 0) ל-(6, 8) ⟵ 10; ניצב לשיפוע 2 ⟵ -12), נקרא מעגל קנוני (x² + y² = 25 ⟵ רדיוס 5, והנקודה (3, 4) עליו), נרכיב פונקציות (f(x) = x², g(x) = x + 1 ⟵ f(g(x)) = (x + 1)²), ונחקור סימן של פולינום. כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 5 יח״ל.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י׳, במסלול 5 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית נוסחת השורשים. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת הפרבולה y = x² - 4x + 3:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 5 יח״ל - משוואות ואי-שוויונות מתקדמות, גאומטריה אנליטית של הישר, המעגל הקנוני, פעולות על פונקציות וחקירת פולינום - לפי דפי הלימוד של כיתה י׳ (5 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
משוואות ואי-שוויונות מתקדמות
משוואה דו-ריבועית פותרים בהצבה t = x²: x⁴ - 5x² + 4 = 0 ⟵ t² - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0, וכל t > 0 נותן שני שורשים x = ±t. אי-שוויון פולינומי פותרים בשיטת התחומים: מעבירים הכול לצד אחד מול 0, מפרקים, ובכל תחום בודקים נקודת מבחן. (x - 1)(x - 3) > 0 ⟵ x < 1 או x > 3.
אי-שוויון רציונלי ומערכת
בשבר (x - 2)/(x + 1) תמיד קובעים תחום הגדרה (המכנה ≠ 0): הקצה שמאפס את המכנה לעולם לא נכלל. (x - 2)/(x + 1) > 0 ⟵ x < -1 או x > 2. מערכת ריבועית-לינארית פותרים בהשוואת אגפים: x² = 2x ⟵ x(x - 2) = 0 ⟵ x = 0, 2.
גאומטריה אנליטית של הישר
מרחק d = Δx² + Δy², אמצע = ממוצע השיעורים, ושיפוע m = Δy / Δx. הישר y = mx + b (או y - y₁ = m(x - x₁)): ישרים מקבילים אם m₁ = m₂, וניצבים אם m₁·m₂ = -1. חיתוך ישרים הוא הפתרון המשותף של שתי המשוואות.
המעגל הקנוני
מעגל שמרכזו בראשית הוא x² + y² = r² - שימו לב שבאגף ימין יושב r², ולכן ב-x² + y² = 25 הרדיוס הוא r = 25 = 5. מרכז מוזז אל (a, b) נותן (x - a)² + (y - b)² = r² (הסימן הפוך לשיעור המרכז). נקודה על המעגל אם היא מקיימת את המשוואה: (3, 4) על x² + y² = 25 כי 9 + 16 = 25.
פעולות על פונקציות
f(x) + k מזיז אנכית, f(x - h) אופקית (סימן הפוך), -f(x) משקף סביב ציר x ו-f(-x) סביב ציר y. בהרכבה מציבים את כל g בתוך f: עם f(x) = x² ו-g(x) = x + 1 מקבלים f(g(x)) = (x + 1)² (הסדר חשוב). ההופכית של f(x) = 2x + 1 היא f⁻¹(x) = (x - 1)/2.
חקירת פולינום (שורשים וסימן)
פולינום מפורק לגורמים: כל גורם (x - r) נותן שורש (חיתוך עם ציר x), והחיתוך עם ציר y מתקבל בהצבת x = 0. השורשים מחלקים את הציר לקטעים, ובכל קטע בודקים נקודה. f(x) = (x - 1)(x + 2): חיתוך עם y ב-(0, -2); f > 0 עבור x < -2 או x > 1, ו-f < 0 עבור -2 < x < 1.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י׳ (5 יח״ל).
(א) פתרו בהצבה t = x² את המשוואה הדו-ריבועית x⁴ - 5x² + 4 = 0. (ב) פתרו בשיטת התחומים את אי-השוויון (x - 1)(x - 3) > 0. (ג) פתרו את אי-השוויון הרציונלי (x - 2)/(x + 1) > 0 וציינו את תחום ההגדרה.
לחצו לפתרון המלא
(ב) הביטוי מתאפס ב-x = 1 וב-x = 3 - שני שורשים, שלושה תחומים. בודקים נקודת מבחן: x = 0: (-1)(-3) = 3 > 0; x = 2: (1)(-1) = -1 < 0; x = 4: (3)(1) = 3 > 0. מבקשים > 0, ולכן לוקחים את התחומים החיצוניים: x < 1 או x > 3.
(ג) תחום ההגדרה: המכנה x + 1 ≠ 0, כלומר x ≠ -1. הנקודות הקריטיות הן x = 2 (מונה) ו-x = -1 (מכנה). בודקים סימן: x = -2: (-4)/(-1) = 4 > 0; x = 0: (-2)/(1) = -2 < 0; x = 3: (1)/(4) > 0. השבר חיובי בתחומים החיצוניים, והקצה x = -1 לעולם לא נכלל.
נתונות A(1, 2) ו-B(4, 6). (א) מצאו את אורך AB, את נקודת האמצע ואת שיפוע AB. (ב) מצאו את משוואת הישר העובר דרך (0, 1) ו-(2, 5). (ג) מהו שיפוע הישר הניצב לישר שמצאתם בסעיף (ב)?
לחצו לפתרון המלא
(ב) שיפוע הישר החדש: m = (5 - 1)/(2 - 0) = 42 = 2. מציבים בנקודה (0, 1) שעל ציר y: b = 1, ולכן הישר הוא y = 2x + 1.
(ג) ניצבות פירושה m₁·m₂ = -1, ולכן 2·m₂ = -1 ומכאן m₂ = -12.
(א) נתון המעגל x² + y² = 25. מצאו את מרכזו ואת רדיוסו, ובדקו אם הנקודה (3, 4) נמצאת עליו. (ב) כתבו את משוואת המעגל שמרכזו (2, -1) ורדיוסו 3. (ג) קבעו היכן נמצאת הנקודה (6, 3) ביחס למעגל x² + y² = 25.
לחצו לפתרון המלא
(ב) תבנית ההזזה: (x - a)² + (y - b)² = r² עם a = 2 ו-b = -1. הסימן הפוך לשיעור המרכז, ו-r² = 3² = 9, ולכן המשוואה היא (x - 2)² + (y + 1)² = 9.
(ג) מציבים את הנקודה באגף שמאל: 6² + 3² = 36 + 9 = 45. מכיוון ש-45 > 25, הנקודה רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס, ולכן היא מחוץ למעגל.
נתונות f(x) = x² ו-g(x) = x + 1. (א) מצאו את ההרכבה f(g(x)) ואת ערכה ב-x = 2, והשוו ל-g(f(x)). (ב) מהו קודקוד הפרבולה המתקבלת מ-f בהזזה (x - 2)² + 3? (ג) מצאו את הפונקציה ההופכית של f(x) = 2x + 1 ואת ערכה f⁻¹(5).
לחצו לפתרון המלא
(ב) החלפת x ב-x - 2 מזיזה שתי יחידות ימינה, וההוספה של +3 מזיזה שלוש יחידות מעלה, ולכן הקודקוד עובר מ-(0, 0) ל-(2, 3).
(ג) כותבים y = 2x + 1, מחליפים x ו-y: x = 2y + 1, ומחלצים y = (x - 1)/2. מכאן f⁻¹(x) = (x - 1)/2, ולכן f⁻¹(5) = (5 - 1)/2 = 2.
(א) נתונה f(x) = (x - 1)(x + 2). מצאו את השורשים (חיתוכים עם ציר x), את החיתוך עם ציר y, ואת תחומי החיוביות והשליליות. (ב) מצאו את נקודות המפגש של y = x² ו-y = 2x.
לחצו לפתרון המלא
(ב) משווים אגפים: x² = 2x, מסדרים x² - 2x = 0, מוציאים גורם משותף x(x - 2) = 0 ומקבלים x = 0 ו-x = 2. מציבים: ב-x = 0 יוצא y = 0, וב-x = 2 יוצא y = 4.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 5 יח״ל - משוואות ואי-שוויונות מתקדמות, גאומטריה אנליטית של הישר, המעגל הקנוני, פעולות על פונקציות וחקירת פולינום (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית נוסחת השורשים. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1משוואות ואי-שוויונות: הצבה t = x² לדו-ריבועית; שיטת התחומים לאי-שוויון; באי-שוויון רציונלי המכנה תמיד ≠ 0.
- 2הישר: מרחק Δx² + Δy², אמצע, שיפוע m = Δy / Δx; מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁·m₂ = -1.
- 3המעגל: x² + y² = r² ו-(x - a)² + (y - b)² = r²; באגף ימין r², וסימן המרכז הפוך.
- 4פונקציות: הזזה/שיקוף; הרכבה f(g(x)) (הסדר חשוב); הופכית על ידי החלפת x ו-y.
- 5חקירת פולינום: שורשים מהפירוק, חיתוך עם y בהצבת x = 0, ולוח סימנים לפי השורשים.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| משוואות ואי-שוויונות | הצבה t = x²; שיטת התחומים; רציונלי עם תחום הגדרה | (x - 2)/(x + 1) > 0 ⟵ x < -1 או x > 2 |
| גאומטריה אנליטית | m = Δy / Δx; ניצבים m₁·m₂ = -1 | (0, 0), (6, 8) ⟵ מרחק 10 |
| המעגל הקנוני | (x - a)² + (y - b)² = r²; מרכז, רדיוס, שייכות | x² + y² = 25 ⟵ r = 5, (3, 4) עליו |
| פעולות על פונקציות | הזזה/שיקוף; הרכבה f(g(x)); הופכית | f = x², g = x + 1 ⟵ f(g(x)) = (x + 1)² |
| חקירת פולינום | שורשים ← חיתוך y ← לוח סימנים | (x - 1)(x + 2) ⟵ f < 0 ל-(-2 < x < 1) |
