מבחן רבעוני רבעון ב׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה י׳ במסלול 5 יחידות לימוד (המסלול המתקדם ביותר): הנגזרת - מהגדרתה כגבול f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h ועד חוק החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ והנגזרת כשיפוע המשיק, משוואת המשיק y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀) ובעיות קיצון יישומיות (בונים פונקציית מטרה, גוזרים ומאפסים), חקירת פונקציה רציונלית ושורש (תחום הגדרה, אסימפטוטות, ונקודות קיצון), טריגונומטריה במעגל היחידה (הנקודה (cos θ, sin θ), ערכים מיוחדים, סימני רביעים והזהות sin²θ + cos²θ = 1), ומשוואות טריגונומטריות בתחום נתון. מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מנגזרת וכללי גזירה, דרך משוואת משיק ובעיית קיצון, ועד מעגל היחידה ומשוואה טריגונומטרית. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". הנגזרת · משיק וקיצון · חקירת פונקציה · מעגל היחידה וטריגונומטריה.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נגזור לפי חוק החזקה (f(x) = x³ - 3x ⟵ f'(x) = 3x² - 3) ונמצא שיפוע משיק בנקודה (f(x) = x² ⟵ f'(2) = 4), נכתוב משוואת משיק (ל-x² ב-(1, 1) ⟵ y = 2x - 1) ונפתור בעיית קיצון (מלבן שהיקפו 20 ⟵ ריבוע 5×5, שטח 25), נחקור פונקציה רציונלית (1/x ⟵ אסימפטוטות x = 0 ו-y = 0) ושורש (תחום x - 2 הוא x ≥ 2), נקרא ערכים במעגל היחידה (sin 30° = ½, cos 180° = -1) ונפתור משוואה טריגונומטרית (sin x = ½ ⟵ x = 30° או x = 150°). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 5 יח״ל.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה י׳, במסלול 5 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה י׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית נוסחת השורשים. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת המשיק לפרבולה y = x² בנקודה (1, 1):
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 5 יח״ל - הנגזרת וכללי הגזירה, משוואת המשיק ובעיות קיצון, חקירת פונקציה רציונלית ושורש, מעגל היחידה ומשוואות טריגונומטריות - לפי דפי הלימוד של כיתה י׳ (5 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
הנגזרת - הגדרה וחוק החזקה
הנגזרת היא גבול שיפוע המיתר: f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h - שיפוע המשיק בנקודה. במקום גבול משתמשים בחוק החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹: מורידים את החזקה כמקדם ומקטינים אותה באחד. למשל (x²)' = 2x, ולכן f'(2) = 4.
כללי גזירה
גוזרים איבר-איבר וקבוע יוצא החוצה: (f + g)' = f' + g' ו-(k·f)' = k·f'. כך (x³ - 3x)' = 3x² - 3. החוק עובד גם לחזקה שלילית ולשורש: (1/x)' = -1/x² ו-(x·x)' = (x1.5)' = 1.5x.
משיק ובעיות קיצון
משוואת המשיק היא ישר דרך נקודת ההשקה עם שיפוע f'(x₀): y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀). למשל ל-x² ב-(1, 1) מקבלים y = 2x - 1. בבעיית קיצון בונים פונקציית מטרה, גוזרים ומאפסים: מלבן שהיקפו 20 נותן A(x) = x(10 - x), A'(x) = 10 - 2x = 0 ב-x = 5 - ריבוע 5×5, שטח 25.
חקירת רציונלית ושורש
קודם תחום (מכנה ≠ 0, או ביטוי תחת שורש ≥ 0 - תחום x - 2 הוא x ≥ 2), אחר כך אסימפטוטות (ב-1/x: אנכית x = 0, אופקית y = 0), ואז נגזרת וקיצון: ב-x + 1/x הנגזרת 1 - 1/x² מתאפסת ב-x = ±1 - מינימום (1, 2) ומקסימום (-1, -2).
מעגל היחידה
כל זווית θ נותנת נקודה (cos θ, sin θ) על המעגל: cos θ שיעור ה-x, sin θ שיעור ה-y. ערכים מיוחדים: sin 30° = ½, cos 60° = ½, tan 45° = 1, cos 180° = -1. סימנים: רביע I כולם +, II רק sin +, III כולם -, IV רק cos +. והזהות sin²θ + cos²θ = 1.
משוואות טריגונומטריות
מזהים ערך מיוחד, מוצאים זווית ייחוס α ברביע I, קובעים לפי הסימן באילו שני רביעים נמצאים הפתרונות, ואוספים את הזוויות שבתחום. sin x = ½ ⟵ x = 30° או x = 150°; cos x = 0 ⟵ x = 90° או x = 270°; tan x = 1 ⟵ x = 45° או x = 225°.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י׳ (5 יח״ל).
(א) נתונה f(x) = x³ - 3x. מצאו את הנגזרת f'(x) ואת שיפוע המשיק בנקודה x = 2. (ב) נתונה f(x) = x². חשבו את מנת ההפרשים (f(2 + h) - f(2))/h, פשטו, ומצאו את הגבול כאשר h → 0. (ג) כתבו את f(x) = x·x כחזקה וגזרו.
לחצו לפתרון המלא
(ב) f(2 + h) = (2 + h)² = 4 + 4h + h² ו-f(2) = 4, ולכן (f(2 + h) - f(2))/h = (4h + h²)/h = 4 + h. כאשר h → 0 הביטוי 4 + h שואף ל-4 - זהו בדיוק f'(2) = 4, שיפוע המשיק ל-x² ב-x = 2.
(ג) כותבים x·x = x·x0.5 = x1.5. לפי חוק החזקה (x1.5)' = 1.5·x0.5, וחוזרים לשורש: x0.5 = x.
(א) נתונה f(x) = x². מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה (1, 1). (ב) מבין כל המלבנים שהיקפם 20, מצאו את זה בעל השטח המרבי (בנו פונקציית מטרה, גוזרו ואפסו). (ג) מצאו את משוואת המשיק ל-f(x) = x² בנקודה (3, 9).
לחצו לפתרון המלא
(ב) אם צלע אחת היא x, מחצית ההיקף היא 10 והצלע השנייה 10 - x. השטח: A(x) = x(10 - x) = 10x - x². גוזרים ומאפסים: A'(x) = 10 - 2x = 0, ומכאן x = 5. הנגזרת עוברת מ-+ ל-- ב-x = 5, ולכן זה מקסימום. הצלע השנייה 10 - 5 = 5 - ריבוע 5×5, שטח A(5) = 25.
(ג) f'(3) = 2·3 = 6, ומציבים בנוסחה: y - 9 = 6(x - 3) = 6x - 18, כלומר y = 6x - 9.
(א) נתונה f(x) = 1/x. מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות, וקבעו אם היא עולה או יורדת. (ב) נתונה f(x) = x + 1/x שנגזרתה f'(x) = 1 - 1/x². מצאו את נקודות הקיצון וסווגו אותן. (ג) מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת ההתחלה של f(x) = x - 2.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מאפסים בתוך התחום: 1 - 1/x² = 0 נותן x² = 1, כלומר x = ±1. בדיקת שינוי סימן: ב-x = 1 הנגזרת עוברת מ-- ל-+ (מינימום), f(1) = 1 + 1 = 2; ב-x = -1 מ-+ ל-- (מקסימום), f(-1) = -1 - 1 = -2.
(ג) הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: x - 2 ≥ 0, כלומר התחום הוא x ≥ 2. בקצה x = 2 מתקבל f(2) = 0 = 0 - נקודת ההתחלה על ציר x היא (2, 0).
(א) כתבו את הערכים sin 30°, cos 60°, sin 90° ו-tan 45°. (ב) מהם סימני sin θ ו-cos θ ברביע II, ומהו cos 180°? (ג) נתון sin θ = 35 ברביע II. מצאו את cos θ ואת tan θ בעזרת הזהות sin²θ + cos²θ = 1.
לחצו לפתרון המלא
(ב) ברביע II הנקודה משמאל לציר y ומעל ציר x, ולכן sin θ > 0 ואילו cos θ < 0. ב-180° הנקודה היא (-1, 0), ולכן cos 180° = -1.
(ג) מהזהות cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (35)² = 1 - 925 = 1625, ולכן cos θ = ±45. ברביע II cos θ < 0, אז בוחרים cos θ = -45. ואז tan θ = sin θ / cos θ = (35)/(-45) = -34.
פתרו בתחום 0° ≤ x ≤ 360°: (א) sin x = ½. (ב) cos x = 0. (ג) tan x = 1, ואז ציינו איזה מהפתרונות נשאר בתחום המצומצם 0° ≤ x ≤ 180°.
לחצו לפתרון המלא
(ב) cos x הוא שיעור ה-x, והוא מתאפס כשהנקודה על ציר ה-y - הקצה העליון 90° והקצה התחתון 270°. שתיהן בתחום, ולכן x = 90° או x = 270°.
(ג) זווית הייחוס: tan 45° = 1, אז α = 45°. פתרונות tan במרחק 180° זה מזה: x = 45° ו-x = 180° + 45° = 225°. בתחום המצומצם 0°-180° נשאר רק 45°.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 5 יח״ל - הנגזרת וכללי הגזירה, משוואת המשיק ובעיות קיצון, חקירת פונקציה רציונלית ושורש, מעגל היחידה ומשוואות טריגונומטריות (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית נוסחת השורשים. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1הנגזרת: f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h; חוק החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; f'(x₀) הוא שיפוע המשיק.
- 2משיק וקיצון: y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀); בקיצון בונים פונקציית מטרה, גוזרים ומאפסים A'(x) = 0.
- 3חקירה: קודם תחום (מכנה ≠ 0 או שורש ≥ 0), אז אסימפטוטות, ואז נגזרת וקיצון - -→+ מינימום.
- 4מעגל היחידה: נקודה (cos θ, sin θ); ערכים מיוחדים; סימני רביעים; הזהות sin²θ + cos²θ = 1.
- 5משוואות טריגו: זווית ייחוס α ⟵ רביעים לפי הסימן ⟵ איסוף כל הזוויות בתחום (בדרך כלל שתיים ב-0°-360°).
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| הנגזרת וכללי הגזירה | חוק החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; שיפוע המשיק f'(x₀) | x³ - 3x ⟵ f'(x) = 3x² - 3, f'(2) = 9 |
| משיק ובעיות קיצון | y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀); קיצון A'(x) = 0 | x² ב-(1, 1) ⟵ y = 2x - 1 |
| חקירת רציונלית ושורש | תחום ← אסימפטוטות ← נגזרת וקיצון | x + 1/x ⟵ מינימום (1, 2), מקסימום (-1, -2) |
| מעגל היחידה | נקודה (cos θ, sin θ); sin²θ + cos²θ = 1 | sin 30° = ½, cos 180° = -1 |
| משוואות טריגונומטריות | זווית ייחוס + רביעים בתחום נתון | sin x = ½ ⟵ x = 30° או x = 150° |
