מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה יא׳ במסלול 3 יחידות לימוד: טריגונומטריה במשולש ישר-זווית (sin = מול / יתר, cos = נגד / יתר, tan = מול / נגד, מציאת צלע וזווית), המודל המעריכי של גדילה ודעיכה (כמות = התחלתי · מקדםזמן), תהליכים מעריכיים בכלכלה - גדילה ודעיכה (סופי = התחלתי · qt), סטיית תקן ומדדי פיזור (ממוצע, סטיות, שונות ושורש), יחס, פרופורציה וקנה מידה (כפל בהצלבה, a·d = b·c, קנה מידה 1 : n), ודמיון משולשים יישומי (k, k, k²). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מהיחסים הטריגונומטריים במשולש ישר-זווית, דרך המודל המעריכי והממוצע, ועד יחס השטחים בדמיון משולשים. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". טריגונומטריה · מודל מעריכי · סטיית תקן · דמיון משולשים.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נמצא צלע במשולש ישר-זווית (יתר 10, זווית 30° ⟵ מול = 10 · sin 30° = 5), נחשב מודל מעריכי (10,000 · 1.02³ ≈ 10,612) ודעיכה (80,000 · 0.85² = 57,800), נחשב גדילה מעריכית של חיסכון (5,000 · 1.04³ = 5,624.32), נמדוד פיזור בסטיית תקן (2, 4, 6, 8, 10 ⟵ S = 8 ≈ 2.83), נחלץ ממד ממגרש שיחס צלעותיו 3 : 4 ושטחו 588 מ״ר (12x² = 588 ⟵ 28 מ׳), ונמדוד גובה עץ בשיטת הצל (8 · (1 / 0.5) = 16 מ׳). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה יא׳, במסלול 3 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". נפתח בתזכורת חזותית: מפת המשולש ישר-הזווית 3, 4, 5 - נקודת הפתיחה לטריגונומטריה של הרבעון:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - טריגונומטריה במשולש ישר-זווית, מציאת צלע וזווית, המודל המעריכי וגדילה מעריכית בהקשר פיננסי, סטיית תקן, ויחס, קנה מידה ודמיון - לפי דפי הלימוד של כיתה יא׳ (3 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
טריגונומטריה במשולש ישר-זווית
שלושת היחסים: sin α = מול / יתר, cos α = נגד / יתר, tan α = מול / נגד. במשולש 3, 4, 5: sin = 35 = 0.6, cos = 45 = 0.8, tan = 34 = 0.75.
מציאת צלע וזווית
עם צלע וזווית מבודדים צלע: אם ידוע היתר, מול = יתר · sin α. עם שני ניצבים מוצאים את הזווית בפעולה ההפוכה: α = tan⁻¹(מול / נגד). היתר תמיד ניצב² + ניצב².
המודל המעריכי
כמות = התחלתי · מקדםזמן. מקדם גדילה 1 + אחוז/100 (גדול מ-1), מקדם דעיכה 1 - אחוז/100 (בין 0 ל-1). גדילה 2% ⟵ 1.02, ירידה 15% ⟵ 0.85.
ריבית דריבית
אותה נוסחה בכלכלה: סופי = התחלתי · qt. חיסכון 5,000 ₪ בריבית 4% אחרי 3 שנים = 5,000 · 1.04³ = 5,624.32 ₪. את הזמן מחפשים בניסוי - בלי לוגריתמים.
ממוצע וסטיית תקן
סדר קבוע: ממוצע ⟵ סטיות ⟵ ריבועים ⟵ שונות ⟵ שורש. למדגם 2, 4, 6, 8, 10: ממוצע 6, שונות S² = 405 = 8, וסטיית תקן S = 8 ≈ 2.83. קטנה = הומוגני.
יחס, קנה מידה ודמיון
פרופורציה נפתרת בכפל בהצלבה: מ-2 : 3 = 8 : x נובע 2x = 24, כלומר x = 12. קנה מידה 1 : n - מהשרטוט למציאות כופלים ב-n. דמיון משולשים: אורכים והיקף פי k, שטח פי k².
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה יא׳ (3 יח״ל).
(א) במשולש ישר-זווית היתר הוא 10 וזווית חדה היא 30°. מצאו את הניצב שמול הזווית. (ב) במשולש ישר-זווית הניצבים הם 3 ו-4: מצאו את היתר ואת הזווית שמול הניצב 3. (ג) סולם באורך 5 מ׳ נשען בזווית 60° עם הקרקע: לאיזה גובה הוא מגיע?
לחצו לפתרון המלא
(ב) לפי פיתגורס יתר = 3² + 4² = 25 = 5. ידועים שני הניצבים, ולכן tan α = 34, ומכאן α = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°.
(ג) הגובה הוא הניצב שמול הזווית מול היתר (הסולם): גובה = 5 · sin 60° ≈ 5 · 0.866 ≈ 4.33 מ׳.
(א) אוכלוסייה של 10,000 תושבים גדלה 2% בשנה: כמה תושבים אחרי 3 שנים? (ב) מכונית שווה 80,000 ₪ ומאבדת 15% מערכה בשנה: מה ערכה אחרי שנתיים? (ג) אחרי כמה שנים שלמות גדילה של 2% מגדילה את האוכלוסייה ביותר מ-20%? (נתון 1.02⁹ ≈ 1.195, 1.02¹⁰ ≈ 1.219)
לחצו לפתרון המלא
(ב) ירידה של 15% - שומרים 85% - נותנת מקדם 0.85, ולכן 80,000 · 0.85² = 80,000 · 0.7225 = 57,800 ₪.
(ג) גידול של יותר מ-20% פירושו שהמקדם המצטבר 1.02t עובר את 1.2. בניסוי: בשנה ה-9 המקדם 1.195 (עדיין מתחת), ובשנה ה-10 הוא 1.219 (עבר את 1.2). לכן דרושות 10 שנים - בלי לוגריתמים.
(א) מפקידים 5,000 ₪ בריבית שנתית של 4% לשנה: מה הסכום בחשבון אחרי 3 שנים? (ב) בכמה שקלים גדל הסכום בשלוש השנים (הרווח)? (ג) מוצר במחיר 1,200 ₪ יורד 10% בכל חודש: מה מחירו אחרי חודשיים?
לחצו לפתרון המלא
(ב) הרווח הוא הסכום הסופי פחות הקרן: 5,624.32 - 5,000 = 624.32 ₪ - זו הריבית שנצברה.
(ג) ירידה של 10% נותנת מקדם q = 1 - 10100 = 0.9, ולכן אחרי חודשיים 1,200 · 0.9² = 1,200 · 0.81 = 972 ₪.
נתון המדגם 2, 4, 6, 8, 10. מצאו: (א) את הממוצע ; (ב) את השונות S² (דרך הסטיות מהממוצע וריבועיהן) ; (ג) את סטיית התקן S.
לחצו לפתרון המלא
(ב) הסטיות מהממוצע -4, -2, 0, 2, 4, ריבועיהן 16, 4, 0, 4, 16 וסכומם 40. השונות היא ממוצע הריבועים: S² = 405 = 8.
(ג) סטיית התקן היא שורש השונות: S = 8 ≈ 2.83 - במדד היחידות המקוריות.
(א) עץ מטיל צל 8 מ׳, ובאותה שעה מקל בגובה 1 מ׳ מטיל צל 0.5 מ׳. מהו גובה העץ? (ב) שני משולשים דומים ביחס 2 : 5, והיקף הקטן 12 ס״מ: מהו היקף הגדול? (ג) שני משולשים דומים ביחס 3, ושטח הקטן 20 סמ״ר: מהו שטח הגדול?
לחצו לפתרון המלא
(ב) יחס הדמיון k = 52 = 2.5. ההיקף גדל פי k, ולכן היקף הגדול = 12 · 2.5 = 30 ס״מ.
(ג) יחס השטחים הוא k² = 3² = 9 (ולא k), ולכן שטח הגדול = 20 · 9 = 180 סמ״ר.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - טריגונומטריה במשולש ישר-זווית, המודל המעריכי וגדילה מעריכית בהקשר פיננסי, סטיית תקן, יחס וקנה מידה ודמיון משולשים (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1טריגונומטריה: sin = מול/יתר, cos = נגד/יתר, tan = מול/נגד; צלע מול = יתר · sin α, זווית α = tan⁻¹(מול/נגד).
- 2מודל מעריכי: כמות = התחלתי · מקדםזמן; גדילה 1 + אחוז/100, דעיכה 1 - אחוז/100.
- 3גדילה מעריכית בהקשר פיננסי: סופי = התחלתי · qt (5,000 · 1.04³ = 5,624.32).
- 4סטיית תקן: ממוצע ⟵ סטיות ⟵ שונות S² ⟵ שורש S = S²; קטנה = הומוגני.
- 5יחס ודמיון: כפל בהצלבה a·d = b·c, קנה מידה 1 : n; אורכים והיקף פי k, שטח פי k².
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| טריגונומטריה במשולש ישר-זווית | sin/cos/tan; צלע = יתר · sin; זווית = tan⁻¹ | יתר 10, 30° ⟵ מול = 5 |
| המודל המעריכי | כמות = התחלתי · מקדםזמן | 10,000 · 1.02³ ≈ 10,612 |
| ריבית דריבית | סופי = התחלתי · qt | 5,000 · 1.04³ = 5,624.32 |
| סטיית תקן | ממוצע ⟵ סטיות ⟵ שונות ⟵ שורש | 2,4,6,8,10 ⟵ S = 8 ≈ 2.83 |
| יחס, פרופורציה וקנה מידה | כפל בהצלבה a·d = b·c ; קנה מידה 1 : n | 3 : 4, שטח 588 ⟵ 21 ו-28 מ׳ |
| דמיון משולשים | אורכים והיקף פי k, שטח פי k² | צל: 8 · (10.5) = 16 מ׳ |
