מבחן רבעוני רבעון ב׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה יא׳ במסלול 3 יחידות לימוד, ובראשו הנושא החדש של הרבעון - הסתברות מתקדמת: חיתוך מאורעות בלתי תלויים (P(A∩B) = P(A)·P(B)), איחוד (P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)), מעבר למשלים (P(לא A) = 1 - P(A)) ומאורעות תלויים במכד ללא החזרה. לצדו: סטיית תקן ומדדי פיזור (גם מטבלת שכיחויות), מדדי מרכז (ממוצע, חציון והשפעת ערך חריג), המודל המעריכי של גדילה ודעיכה (כמות = התחלתי · מקדםזמן), גדילה מעריכית בהקשר פיננסי והשוואת מסלולים, טריגונומטריה במשולש ישר-זווית (sin, cos, tan) ודמיון משולשים יישומי (k, k², שיטת הצל). מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מהסתברות (חיתוך ומשלים), דרך מקדם הריבית והחציון, ועד יחס השטחים בדמיון משולשים. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". הסתברות · מודל מעריכי · מדדי מיקום · דמיון משולשים.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נחשב הסתברויות: שני עצים ברצף (½ · ½ = ¼) ולפחות עץ אחד דרך המשלים (1 - ¼ = ¾), ומכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים ששולפים ממנו בלי החזרה (58 · 47 = 514). נמדוד פיזור בסטיית תקן (10, 20, 30, 40, 50 → S = 200 ≈ 14.14), נמצא חציון (3, 6, 9, 12, 15, 18 → 10.5), נחשב מודל מעריכי ודעיכה (15,000 · 0.8² = 9,600) וגדילה מעריכית של חיסכון (10,000 · 1.05⁴ ≈ 12,155), נמצא צלע בעזרת זווית עלייה (200 · sin 30° = 100) ונמדוד גובה בניין בשיטת הצל (30 · (2 / 1.5) = 40 מ׳). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה יא׳, במסלול 3 יחידות לימוד, ובראשו הנושא החדש של הרבעון - הסתברות מתקדמת. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". נפתח בתזכורת חזותית לרצועת הגיאומטריה שבמבחן: מפת המשולש ישר-הזווית 3, 4, 5 - נקודת הפתיחה לטריגונומטריה ולדמיון המשולשים:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - הסתברות מתקדמת (חיתוך, איחוד ומשלים; מאורעות תלויים), סטיית תקן ומדדי מרכז, המודל המעריכי וגדילה מעריכית בהקשר פיננסי, וטריגונומטריה ודמיון משולשים - לפי דפי הלימוד של כיתה יא׳ (3 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
הסתברות: חיתוך ומשלים
מאורעות בלתי תלויים - מכפילים: P(A∩B) = P(A)·P(B), לשני מאורעות. "לפחות אחד" קל דרך המשלים: P(לפחות אחד) = 1 - P(אף אחד). שני עצים = ¼, ולפחות עץ אחד בשתי הטלות = 1 - ¼ = ¾.
הסתברות: תלויים ואיחוד
בשליפה בלי החזרה ההסתברות משתנה בין השלבים: מכד 5 אדומים ו-3 כחולים, שני אדומים = 58 · 47 = 514. איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) - מחסירים את החיתוך כדי לא לספור פעמיים.
סטיית תקן ומדדי מרכז
סדר קבוע: ממוצע ⟵ סטיות ⟵ ריבועים ⟵ שונות ⟵ שורש. למדגם 10, 20, 30, 40, 50: שונות S² = 10005 = 200, סטיית תקן S = 200 ≈ 14.14. מטבלת שכיחויות פורשים תחילה את המדגם. החציון הוא הערך האמצעי אחרי סידור (במספר זוגי - ממוצע שני האמצעיים), והוא כמעט אינו מושפע מערך חריג, בעוד הממוצע נגרר אחריו.
המודל המעריכי - גדילה ודעיכה באחוז קבוע
כמות = התחלתי · מקדםזמן. גדילה 1 + אחוז/100, דעיכה 1 - אחוז/100. פחת 20% ⟵ 0.8: 15,000 · 0.8² = 9,600. חיסכון 10,000 ₪ בריבית 5% ל-4 שנים = 10,000 · 1.05⁴ ≈ 12,155 ₪. את הזמן מחפשים בניסוי - בלי לוגריתמים.
טריגונומטריה במשולש ישר-זווית
שלושת היחסים: sin α = מול / יתר, cos α = נגד / יתר, tan α = מול / נגד. בזווית עלייה של מטוס 30° לאורך יתר 200: הגובה = 200 · sin 30° = 100. היתר תמיד ניצב² + ניצב².
דמיון משולשים יישומי
משולשים דומים ⟵ יחס דמיון k קבוע. אורכים והיקף גדלים פי k, שטח פי k². שיטת הצל: גובה = צל · (גובה ידוע / צל ידוע). קנה מידה 1:200 ⟵ שטחים פי 200² = 40,000.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה יא׳ (3 יח״ל).
(א) מטילים מטבע הוגן 2 פעמים. מה ההסתברות לקבל שני עצים? (ב) מה ההסתברות לקבל לפחות עץ אחד? (ג) קלע פוגע במטרה בהסתברות 0.8 בכל ירייה, ובאופן בלתי תלוי בין היריות. הוא יורה 2 יריות: מה ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)
לחצו לפתרון המלא
(ב) "לפחות עץ אחד" הוא המשלים של "אף עץ" (שני פלים), שגם הוא ¼. לכן P(לפחות עץ אחד) = 1 - ¼ = ¾ = 0.75.
(ג) המשלים של "לפחות פגיעה אחת" הוא "פספוס בשתי היריות". פספוס אחד = 1 - 0.8 = 0.2, ולכן P(לפחות פגיעה) = 1 - 0.2² = 1 - 0.04 = 0.96.
במכד 5 כדורים אדומים ו-3 כחולים. שולפים 2 כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. (א) מה ההסתברות ששניהם אדומים? (ב) מה ההסתברות ששניהם כחולים? (ג) מה ההסתברות שלפחות אחד כחול? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)
לחצו לפתרון המלא
(ב) לכחולים: 38 · 27 = 656 = 328 ≈ 0.107.
(ג) "לפחות אחד כחול" הוא המשלים של "שניהם אדומים": P(לפחות כחול) = 1 - 514 = 914 ≈ 0.643.
(א) עובד מרוויח 8,000 ₪ בחודש ומקבל העלאה של 3% בכל שנה: מה יהיה שכרו אחרי 5 שנים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה) (ב) מכונית שווה 20,000 ₪ ומאבדת 15% מערכה בשנה: מה ערכה אחרי 3 שנים? (עגלו לשתי ספרות) (ג) מה עדיף - ריבית 5% לשנה או ריבית 0.4% לחודש? (נתון 1.004¹² ≈ 1.049)
לחצו לפתרון המלא
(ב) ירידה של 15% - שומרים 85% - נותנת מקדם 0.85, ולכן 20,000 · 0.85³ = 20,000 · 0.614125 = 12,282.50 ₪.
(ג) מביאים לאותה יחידת זמן: מסלול שנתי נותן מקדם 1.05 לשנה, והמסלול החודשי נותן 1.004¹² ≈ 1.049 לשנה. מכיוון ש-1.05 > 1.049, המסלול השנתי (5% לשנה) מעט עדיף - אך ההפרש זעום.
(א) נתון המדגם 10, 20, 30, 40, 50. מצאו את הממוצע, את השונות S² ואת סטיית התקן S (עגלו את S לשתי ספרות אחרי הנקודה). (ב) בטבלת שכיחויות הערך 4 מופיע פעמיים, הערך 6 פעם אחת והערך 8 פעמיים. מצאו את הממוצע, את החציון, את השונות S² ואת סטיית התקן S (עגלו את S לשתי ספרות אחרי הנקודה).
לחצו לפתרון המלא
(ב) קודם פורשים את הטבלה למדגם: 4, 4, 6, 8, 8 (חמישה נתונים). הממוצע x̄ = 305 = 6, והחציון הוא הערך השלישי אחרי סידור: 6. הסטיות -2, -2, 0, 2, 2, ריבועיהן 4, 4, 0, 4, 4 וסכומם 16, ולכן S² = 165 = 3.2 ו-S = 3.2 ≈ 1.79.
(א) במשולש ישר-זווית הניצבים הם 6 ו-8: מצאו את היתר, את ההיקף ואת השטח. (ב) עץ מטיל צל 9 מ׳; באותה שעה מקל בגובה 1.2 מ׳ מטיל צל 0.8 מ׳: מהו גובה העץ? (ג) שני משולשים דומים ביחס דמיון 4, ושטח הקטן 5 סמ״ר: מהו שטח הגדול?
לחצו לפתרון המלא
(ב) העץ+צלו והמקל+צלו הם שני משולשים דומים (זווית שמש משותפת). היחס במקל גובה / צל = 1.2 / 0.8 = 1.5, ולכן גובה העץ = 9 · 1.5 = 13.5 מ׳.
(ג) יחס השטחים הוא k² = 4² = 16 (ולא k), ולכן שטח הגדול = 5 · 16 = 80 סמ״ר.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - הסתברות מתקדמת, סטיית תקן ומדדי מרכז, המודל המעריכי וגדילה מעריכית בהקשר פיננסי, טריגונומטריה ודמיון משולשים (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1הסתברות: בלתי תלויים P(A∩B) = P(A)·P(B); איחוד P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B); "לפחות אחד" = 1 - P(אף אחד).
- 2תלויים (בלי החזרה): ההסתברות בשלב השני משתנה - 58 · 47 = 514.
- 3פיזור ומרכז: ממוצע ⟵ שונות S² ⟵ שורש S = S²; מטבלת שכיחויות פורשים תחילה את המדגם; החציון הוא הערך האמצעי, וערך חריג מזיז את הממוצע חזק ואת החציון כמעט לא.
- 4מודל מעריכי וכלכלה: כמות = התחלתי · מקדםזמן; גדילה 1 + אחוז/100, דעיכה 1 - אחוז/100.
- 5טריגונומטריה ודמיון: sin = מול/יתר, cos = נגד/יתר, tan = מול/נגד; אורכים והיקף פי k, שטח פי k².
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| הסתברות מתקדמת | חיתוך בלתי תלוי, איחוד, משלים | ½·½ = ¼ ; לפחות אחד = 1 - ¼ |
| הסתברות תלויה | בלי החזרה - המכנה קטן בין השלבים | 58 · 47 = 514 |
| סטיית תקן ומדדי מרכז | ממוצע ⟵ שונות ⟵ שורש ; חציון = הערך האמצעי | 10,20,30,40,50 → S = 200 ≈ 14.14 |
| מודל מעריכי וכלכלה | סופי = התחלתי · qt | 20,000 · 0.85³ = 12,282.50 |
| טריגונומטריה ודמיון | sin/cos/tan ; שטח פי k² | צל: 9 · 1.5 = 13.5 מ׳ |
